Number field 27.27.138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969.27

• Label: 27.27.138...969.27
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.385\times 10^{62}$
• Root discriminant: \(200.23\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^6.C_3^3:C_9$ (as 27T1470)

Normalized defining polynomial

x^27 - 378*x^25 - 18*x^24 + 55404*x^23 - 39501*x^22 - 4348530*x^21 + 7442604*x^20 + 201518712*x^19 - 560792619*x^18 - 5579090460*x^17 + 22367172438*x^16 + 85766616873*x^15 - 509251811157*x^14 - 498924299331*x^13 + 6562951486776*x^12 - 4053952736253*x^11 - 43741290249000*x^10 + 74889249020109*x^9 + 117207205935372*x^8 - 353698342106850*x^7 - 51675639694047*x^6 + 690611312567574*x^5 - 186204036367638*x^4 - 604512053961813*x^3 + 147108894400044*x^2 + 233132005533258*x + 33274751851323

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{18}\)
Root discriminant:		\(200.23\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{19}a^{12}+\frac{2}{19}a^{10}+\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{13}+\frac{2}{19}a^{11}+\frac{1}{19}a^{10}$, $\frac{1}{57}a^{14}-\frac{6}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{1083}a^{15}+\frac{7}{361}a^{13}-\frac{6}{361}a^{12}-\frac{2}{19}a^{11}-\frac{2}{19}a^{10}-\frac{5}{19}a^{9}+\frac{4}{19}a^{8}-\frac{9}{19}a^{7}-\frac{1}{19}a^{6}+\frac{5}{19}a^{5}+\frac{9}{19}a^{4}+\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{1083}a^{16}+\frac{2}{1083}a^{14}-\frac{6}{361}a^{13}+\frac{4}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}-\frac{6}{19}a^{9}-\frac{9}{19}a^{8}-\frac{1}{19}a^{7}+\frac{5}{19}a^{6}+\frac{9}{19}a^{5}+\frac{1}{19}a^{4}$, $\frac{1}{1083}a^{17}+\frac{1}{1083}a^{14}+\frac{5}{361}a^{13}-\frac{7}{361}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}+\frac{8}{19}a^{9}-\frac{9}{19}a^{8}+\frac{4}{19}a^{7}-\frac{8}{19}a^{6}-\frac{9}{19}a^{5}+\frac{1}{19}a^{4}-\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{18}+\frac{2}{20577}a^{16}+\frac{1}{20577}a^{15}-\frac{8}{1083}a^{14}-\frac{8}{361}a^{13}+\frac{8}{361}a^{12}+\frac{175}{361}a^{11}-\frac{47}{361}a^{10}-\frac{39}{361}a^{9}+\frac{138}{361}a^{8}+\frac{66}{361}a^{7}-\frac{37}{361}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}-\frac{4}{19}a^{4}-\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{19}+\frac{2}{20577}a^{17}+\frac{1}{20577}a^{16}-\frac{5}{1083}a^{14}+\frac{7}{361}a^{13}-\frac{6}{361}a^{12}+\frac{143}{361}a^{11}+\frac{151}{361}a^{10}-\frac{166}{361}a^{9}-\frac{48}{361}a^{8}+\frac{39}{361}a^{7}-\frac{6}{19}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}-\frac{8}{19}a^{4}+\frac{8}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{20}+\frac{1}{20577}a^{17}-\frac{4}{20577}a^{16}-\frac{2}{20577}a^{15}-\frac{1}{1083}a^{14}+\frac{7}{361}a^{13}+\frac{2}{361}a^{12}+\frac{124}{361}a^{11}+\frac{42}{361}a^{10}+\frac{87}{361}a^{9}+\frac{143}{361}a^{8}-\frac{18}{361}a^{7}-\frac{59}{361}a^{6}-\frac{6}{19}a^{5}+\frac{4}{19}a^{4}-\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{21}+\frac{2}{390963}a^{19}+\frac{1}{390963}a^{18}-\frac{8}{20577}a^{17}-\frac{5}{20577}a^{16}+\frac{5}{20577}a^{15}-\frac{53}{6859}a^{14}+\frac{67}{6859}a^{13}+\frac{75}{6859}a^{12}+\frac{3026}{6859}a^{11}+\frac{1510}{6859}a^{10}-\frac{3286}{6859}a^{9}-\frac{36}{361}a^{8}-\frac{61}{361}a^{7}+\frac{129}{361}a^{6}+\frac{5}{19}a^{5}+\frac{2}{19}a^{4}+\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{22}+\frac{2}{390963}a^{20}+\frac{1}{390963}a^{19}-\frac{5}{20577}a^{17}+\frac{2}{20577}a^{16}+\frac{1}{20577}a^{15}+\frac{10}{6859}a^{14}+\frac{37}{6859}a^{13}+\frac{81}{6859}a^{12}+\frac{674}{6859}a^{11}-\frac{1405}{6859}a^{10}-\frac{120}{361}a^{9}+\frac{17}{361}a^{8}+\frac{30}{361}a^{7}-\frac{87}{361}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}+\frac{3}{19}a^{4}-\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{23}+\frac{1}{390963}a^{20}-\frac{4}{390963}a^{19}-\frac{2}{390963}a^{18}-\frac{1}{20577}a^{17}+\frac{2}{20577}a^{16}+\frac{2}{6859}a^{15}-\frac{9}{6859}a^{14}+\frac{156}{6859}a^{13}+\frac{87}{6859}a^{12}-\frac{3106}{6859}a^{11}+\frac{2148}{6859}a^{10}+\frac{302}{6859}a^{9}-\frac{25}{361}a^{8}+\frac{118}{361}a^{7}-\frac{158}{361}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}-\frac{2}{19}a^{4}-\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{24}+\frac{2}{7428297}a^{22}+\frac{1}{7428297}a^{21}-\frac{8}{390963}a^{20}-\frac{5}{390963}a^{19}+\frac{5}{390963}a^{18}-\frac{53}{130321}a^{17}-\frac{160}{390963}a^{16}-\frac{136}{390963}a^{15}+\frac{499}{130321}a^{14}+\frac{1149}{130321}a^{13}-\frac{1120}{130321}a^{12}-\frac{1841}{6859}a^{11}-\frac{783}{6859}a^{10}-\frac{2398}{6859}a^{9}+\frac{81}{361}a^{8}-\frac{93}{361}a^{7}-\frac{36}{361}a^{6}+\frac{1}{19}a^{5}-\frac{1}{19}a^{4}+\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{25}+\frac{2}{7428297}a^{23}+\frac{1}{7428297}a^{22}-\frac{5}{390963}a^{20}+\frac{2}{390963}a^{19}+\frac{1}{390963}a^{18}+\frac{10}{130321}a^{17}+\frac{37}{130321}a^{16}-\frac{118}{390963}a^{15}+\frac{674}{130321}a^{14}+\frac{2927}{130321}a^{13}-\frac{6}{6859}a^{12}+\frac{2905}{6859}a^{11}-\frac{3219}{6859}a^{10}-\frac{2614}{6859}a^{9}-\frac{65}{361}a^{8}-\frac{16}{361}a^{7}-\frac{138}{361}a^{6}+\frac{4}{19}a^{5}-\frac{2}{19}a^{4}-\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{10\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{96\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!63}{54\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!59}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!50}{54\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!98}{54\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!71}{54\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!12}{95\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!84}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!24}{95\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!54}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!56}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!97}{50\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!59}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!07}a+\frac{49\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!63}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{59\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{66\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!31}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!64}{54\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!11}a+\frac{32\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!11}$, $\frac{21\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{52\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!31}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!31}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!31}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!49}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!49}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!49}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!11}a-\frac{11\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!11}$, $\frac{62\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{69\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!49}{61\!\cdots\!69}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{74\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!84}{61\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!44}{56\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!21}{56\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!33}{56\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!71}{29\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!94}{29\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!08}{29\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!63}a-\frac{35\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{36\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!45}{61\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!23}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!81}{61\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!89}{61\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!67}{56\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!15}{56\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!73}{56\!\cdots\!43}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!44}{29\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!63}a+\frac{20\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{17\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{95\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!55}{61\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!73}{56\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!25}{56\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!59}{56\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!48}{29\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!63}a-\frac{10\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!40}{61\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!14}{38\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{94\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!23}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!96}{61\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!39}{56\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!98}{56\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!76}{56\!\cdots\!43}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{76\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!23}{29\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!63}a+\frac{63\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{96\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!88}{38\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{89\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!55}{61\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!99}{61\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!31}{56\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!66}{56\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!49}{56\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!78}{29\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!72}{29\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!63}a-\frac{53\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{17\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!14}{38\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{94\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{95\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!34}{61\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!70}{56\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!33}{56\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!18}{56\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!25}{56\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!55}{29\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!66}{29\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!75}{29\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!63}a-\frac{10\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{94\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!05}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!10}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!78}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!15}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a-\frac{20\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{23\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!66}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!04}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!26}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!04}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!99}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!60}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!90}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a-\frac{40\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{16\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{39\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{50\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!58}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!68}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!94}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!06}{50\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!55}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{98\!\cdots\!13}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!77}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!07}a-\frac{36\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{12\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{83\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!35}{54\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!27}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!67}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{71\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{72\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!52}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!86}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!31}{50\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!07}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!30}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!07}a-\frac{93\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{19\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!37}{95\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!69}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!34}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!15}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!40}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!41}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a-\frac{13\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{12\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!92}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!54}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!00}{95\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!52}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!59}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!94}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!65}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!77}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a-\frac{26\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{19\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{73\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{87\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!90}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!54}{95\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!04}{50\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!83}{50\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{79\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a+\frac{12\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{20\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{75\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{94\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!36}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!49}{95\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!03}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!92}{50\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!72}{50\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!10}{50\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a+\frac{42\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{73\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!25}{50\!\cdots\!27}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!20}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!08}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!80}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!50}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a-\frac{70\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{92\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{95\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!67}{54\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!77}{54\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!18}{95\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!47}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!08}{95\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{80\!\cdots\!22}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!10}{50\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!88}{50\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{97\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a+\frac{59\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{36\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!16}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!76}{50\!\cdots\!27}a^{10}+\frac{93\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!48}{50\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!36}{50\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!07}a+\frac{66\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{73\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!67}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!82}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!85}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!90}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!66}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!59}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!87}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{92\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{93\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a-\frac{14\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{10\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{51\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!40}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!52}{95\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!04}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!60}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!65}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!18}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!77}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a-\frac{79\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{28\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{91\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{86\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{98\!\cdots\!29}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!03}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!96}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!75}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a-\frac{56\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{34\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{88\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{76\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!61}{54\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!02}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!51}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!25}{50\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!94}{50\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a+\frac{22\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{15\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!86}{54\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!96}{54\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!59}{54\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!45}{54\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!21}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!48}{95\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!27}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!76}{50\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!46}{50\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{68\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!07}a+\frac{33\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{58\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!51}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!28}{95\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!09}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!59}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!19}{50\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!53}{50\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a-\frac{12\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!63}$, $\frac{32\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{77\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{29\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{93\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!63}{61\!\cdots\!69}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!32}{61\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!06}{61\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!70}{61\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!28}{61\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!67}{56\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!45}{56\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!16}{56\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{97\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!33}{29\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!63}a-\frac{62\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!63}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 46311770302077570000000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 46311770302077570000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969}}\cr\approx \mathstrut & 0.264068998115524 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^6.C_3^3:C_9$ (as 27T1470):

A solvable group of order 177147

The 251 conjugacy class representatives for $C_3^6.C_3^3:C_9$

Character table for $C_3^6.C_3^3:C_9$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.7

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{6}$	$27$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{6}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$82$
\(19\)	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.2.1	$x^{3} + 76$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.2	$x^{3} + 19$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.6.2	$x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$	$3$	$3$	$6$	$C_3^2$	$[\ ]_{3}^{3}$