Number field 27.27.138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969.26

• Label: 27.27.138...969.26
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.385\times 10^{62}$
• Root discriminant: \(200.23\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459)

Normalized defining polynomial

x^27 - 378*x^25 - 513*x^24 + 55404*x^23 + 119529*x^22 - 4213269*x^21 - 11188530*x^20 + 187674894*x^19 + 564813855*x^18 - 5181539058*x^17 - 17108570007*x^16 + 90541039644*x^15 + 324183358323*x^14 - 999376119261*x^13 - 3875525392122*x^12 + 6883130455848*x^11 + 28927459576170*x^10 - 29696195966094*x^9 - 132253465860747*x^8 + 85388283789075*x^7 + 357696434522934*x^6 - 187333813486665*x^5 - 527171693484474*x^4 + 309232011262428*x^3 + 317779448060151*x^2 - 256552668287964*x + 31559929488873

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{18}\)
Root discriminant:		\(200.23\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{11}+\frac{2}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{12}+\frac{2}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{13}-\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{1083}a^{14}+\frac{7}{361}a^{12}-\frac{2}{19}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}-\frac{7}{19}a^{8}-\frac{1}{19}a^{7}-\frac{6}{19}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}+\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{1083}a^{15}+\frac{7}{361}a^{13}+\frac{6}{19}a^{10}-\frac{3}{19}a^{9}-\frac{1}{19}a^{8}-\frac{6}{19}a^{7}+\frac{2}{19}a^{6}-\frac{5}{19}a^{5}+\frac{2}{19}a^{4}$, $\frac{1}{1083}a^{16}+\frac{5}{361}a^{12}-\frac{2}{19}a^{10}-\frac{6}{19}a^{9}+\frac{8}{19}a^{8}+\frac{4}{19}a^{7}+\frac{7}{19}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}-\frac{9}{19}a^{4}-\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{17}+\frac{2}{20577}a^{15}-\frac{9}{361}a^{13}+\frac{6}{361}a^{12}-\frac{7}{361}a^{11}+\frac{37}{361}a^{10}-\frac{44}{361}a^{9}-\frac{74}{361}a^{8}+\frac{33}{361}a^{7}+\frac{59}{361}a^{6}+\frac{8}{19}a^{5}+\frac{7}{19}a^{4}$, $\frac{1}{20577}a^{18}+\frac{2}{20577}a^{16}+\frac{6}{361}a^{13}-\frac{8}{361}a^{12}-\frac{1}{361}a^{11}-\frac{6}{361}a^{10}+\frac{40}{361}a^{9}+\frac{52}{361}a^{8}-\frac{93}{361}a^{7}-\frac{2}{19}a^{6}+\frac{4}{19}a^{5}-\frac{2}{19}a^{4}-\frac{3}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{19}-\frac{4}{20577}a^{15}-\frac{9}{361}a^{13}-\frac{6}{361}a^{12}+\frac{8}{361}a^{11}-\frac{167}{361}a^{10}-\frac{31}{361}a^{9}-\frac{78}{361}a^{8}-\frac{123}{361}a^{7}-\frac{156}{361}a^{6}+\frac{3}{19}a^{5}-\frac{3}{19}a^{4}+\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{20}+\frac{2}{390963}a^{18}-\frac{8}{20577}a^{16}-\frac{1}{20577}a^{15}-\frac{2}{20577}a^{14}-\frac{96}{6859}a^{13}-\frac{177}{6859}a^{12}-\frac{74}{6859}a^{11}+\frac{1116}{6859}a^{10}-\frac{3190}{6859}a^{9}+\frac{27}{361}a^{8}-\frac{145}{361}a^{7}+\frac{1}{19}a^{6}-\frac{5}{19}a^{5}+\frac{9}{19}a^{4}+\frac{8}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{21}+\frac{2}{390963}a^{19}-\frac{1}{20577}a^{16}-\frac{5}{20577}a^{15}-\frac{1}{6859}a^{14}+\frac{127}{6859}a^{13}-\frac{55}{6859}a^{12}+\frac{52}{6859}a^{11}-\frac{2620}{6859}a^{10}-\frac{21}{361}a^{9}+\frac{175}{361}a^{8}+\frac{112}{361}a^{7}+\frac{73}{361}a^{6}-\frac{6}{19}a^{5}+\frac{6}{19}a^{4}-\frac{8}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{22}-\frac{4}{390963}a^{18}-\frac{8}{20577}a^{16}+\frac{1}{20577}a^{15}+\frac{5}{20577}a^{14}-\frac{34}{6859}a^{13}-\frac{69}{6859}a^{12}-\frac{78}{6859}a^{11}-\frac{3011}{6859}a^{10}+\frac{205}{6859}a^{9}-\frac{35}{361}a^{8}-\frac{22}{361}a^{7}-\frac{112}{361}a^{6}+\frac{5}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}+\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{23}+\frac{2}{7428297}a^{21}-\frac{8}{390963}a^{19}-\frac{1}{390963}a^{18}-\frac{2}{390963}a^{17}+\frac{73}{390963}a^{16}-\frac{170}{390963}a^{15}+\frac{139}{390963}a^{14}-\frac{3216}{130321}a^{13}+\frac{1142}{130321}a^{12}+\frac{27}{6859}a^{11}-\frac{867}{6859}a^{10}+\frac{134}{361}a^{9}+\frac{71}{361}a^{8}+\frac{9}{361}a^{7}-\frac{68}{361}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}-\frac{7}{19}a^{4}-\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{24}+\frac{2}{7428297}a^{22}-\frac{1}{390963}a^{19}-\frac{5}{390963}a^{18}-\frac{1}{130321}a^{17}+\frac{20}{390963}a^{16}-\frac{55}{130321}a^{15}+\frac{52}{130321}a^{14}-\frac{2620}{130321}a^{13}-\frac{116}{6859}a^{12}+\frac{175}{6859}a^{11}+\frac{1195}{6859}a^{10}-\frac{1732}{6859}a^{9}-\frac{120}{361}a^{8}-\frac{51}{361}a^{7}+\frac{144}{361}a^{6}+\frac{3}{19}a^{5}-\frac{2}{19}a^{4}-\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{25}-\frac{4}{7428297}a^{21}-\frac{8}{390963}a^{19}+\frac{1}{390963}a^{18}+\frac{5}{390963}a^{17}-\frac{34}{130321}a^{16}+\frac{154}{390963}a^{15}+\frac{127}{390963}a^{14}-\frac{484}{130321}a^{13}+\frac{2732}{130321}a^{12}-\frac{35}{6859}a^{11}-\frac{1105}{6859}a^{10}-\frac{2278}{6859}a^{9}-\frac{14}{361}a^{8}-\frac{176}{361}a^{7}-\frac{52}{361}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}+\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!70}{35\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{86\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!95}{55\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!07}{97\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!56}{97\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!51}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{85\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!87}a+\frac{24\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!87}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{96\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!33}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!33}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!28}{64\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!92}{64\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!28}{64\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!25}{33\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{95\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!35}{93\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!53}{93\!\cdots\!67}a-\frac{27\!\cdots\!76}{93\!\cdots\!67}$, $\frac{64\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{81\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!33}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!33}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!00}{69\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!96}{64\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!61}{64\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!54}{64\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!35}{33\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!68}{93\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!95}{93\!\cdots\!67}a-\frac{18\!\cdots\!44}{93\!\cdots\!67}$, $\frac{53\!\cdots\!60}{93\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!58}{49\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!86}{49\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!93}{49\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!68}{49\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{73\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!25}{71\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!91}{71\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!57}{71\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!48}{71\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!97}a+\frac{15\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{13\!\cdots\!44}{93\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{88\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!70}{49\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!23}{49\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{73\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!19}{49\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!94}{49\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!60}{49\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!01}{49\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!22}{71\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!62}{71\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!28}{71\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!97}a+\frac{37\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{18\!\cdots\!81}{93\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!94}{49\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!71}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!49}{49\!\cdots\!03}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!96}{49\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!79}{49\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!18}{49\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!08}{49\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!49}{49\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!79}{71\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!16}{71\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{72\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!97}a-\frac{52\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{20\!\cdots\!58}{93\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!11}{49\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!71}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!95}{49\!\cdots\!03}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!45}{49\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!14}{49\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!23}{49\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!92}{49\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!60}{49\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{74\!\cdots\!66}{71\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!83}{71\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!82}{71\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!97}a-\frac{61\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{72\!\cdots\!13}{93\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!96}{49\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{81\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!22}{49\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!58}{49\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!06}{49\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!37}{49\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{74\!\cdots\!67}{49\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{80\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!78}{71\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!18}{71\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!28}{71\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!49}{71\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{97\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!97}a+\frac{23\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{23\!\cdots\!93}{93\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!76}{49\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{85\!\cdots\!08}{93\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!54}{49\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!31}{49\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!42}{49\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{65\!\cdots\!79}{49\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!59}{71\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!66}{71\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!20}{71\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!97}a+\frac{64\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{16\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!82}{35\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!26}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!06}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!87}a-\frac{13\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{16\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!82}{35\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!26}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!06}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!87}a-\frac{13\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{12\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{77\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!02}{97\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!95}{97\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!87}a+\frac{11\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{25\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!20}{66\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{51\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!40}{97\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!79}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!31}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!87}a-\frac{23\!\cdots\!56}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{49\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{61\!\cdots\!86}{66\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!70}{35\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!90}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!80}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!79}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!87}a-\frac{46\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{92\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!82}{66\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!27}{97\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!49}{97\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!24}{51\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{53\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!87}a+\frac{86\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{27\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{50\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!89}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!68}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{98\!\cdots\!93}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!52}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!87}a-\frac{25\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{12\!\cdots\!70}{66\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{44\!\cdots\!46}{66\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{70\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!90}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!77}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!38}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!87}a-\frac{33\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{30\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{86\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!30}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!23}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!06}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!87}a-\frac{27\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{57\!\cdots\!76}{66\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!36}{66\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{88\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!65}{97\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!69}{97\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!06}{97\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{89\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{75\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!87}a-\frac{29\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{17\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{65\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{72\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!98}{97\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{86\!\cdots\!62}{97\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!46}{97\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{71\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!87}a+\frac{17\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{35\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!70}{35\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!90}{97\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!14}{97\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!66}{97\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{86\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!87}a+\frac{10\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{16\!\cdots\!88}{66\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{61\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{91\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!39}{97\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!18}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!81}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!41}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!87}a-\frac{45\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{45\!\cdots\!51}{66\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{84\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!27}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!87}a-\frac{12\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{37\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{82\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!71}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!30}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!42}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!87}a-\frac{34\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{18\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{68\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!50}{97\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!28}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!19}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!44}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!87}a-\frac{17\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{23\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!81}{66\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!54}{55\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!69}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!54}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!58}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!87}a-\frac{22\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!87}$, $\frac{86\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{86\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{80\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!48}{97\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!24}{97\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!85}{97\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!87}a-\frac{82\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!87}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 58913118392700195000000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 58913118392700195000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969}}\cr\approx \mathstrut & 0.335921690065985 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459):

A solvable group of order 177147

The 251 conjugacy class representatives for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Character table for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{6}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$82$
\(19\)	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	19.3.2.2	$x^{3} + 19$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.3	$x^{3} + 38$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.6.1	$x^{9} + 1444 x^{3} - 116603$	$3$	$3$	$6$	$C_9$	$[\ ]_{3}^{3}$