Number field 27.27.13122249213311579236015222881822854848980675468493365969.5

• Label: 27.27.131...969.5
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.312\times 10^{55}$
• Root discriminant: \(110.00\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_9\wr C_3$ (as 27T434)

Normalized defining polynomial

x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1152*x^24 + 8748*x^23 - 53568*x^22 - 299961*x^21 + 1145826*x^20 + 5967756*x^19 - 11122377*x^18 - 64116414*x^17 + 40038543*x^16 + 341380242*x^15 - 21808332*x^14 - 928546470*x^13 - 170651646*x^12 + 1278782856*x^11 + 375962418*x^10 - 839220759*x^9 - 271274076*x^8 + 239523237*x^7 + 68849766*x^6 - 29543454*x^5 - 5065389*x^4 + 1859094*x^3 + 44577*x^2 - 39771*x + 2427

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(13122249213311579236015222881822854848980675468493365969\) \(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{14}\)
Root discriminant:		\(110.00\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$9$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{66\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{78\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!77}a-\frac{72\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!77}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{55\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{80\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!57}a^{24}-\frac{62\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{49\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!57}a+\frac{12\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!57}$, $\frac{31\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{95\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{39\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!57}a-\frac{62\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!57}$, $\frac{10\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{96\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!42}{33\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!75}{33\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!63}{33\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!31}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!40}{33\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!92}{33\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!55}{33\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!62}{33\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!39}{33\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!42}{33\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!97}{33\!\cdots\!31}a+\frac{37\!\cdots\!22}{33\!\cdots\!31}$, $\frac{10\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{96\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!42}{33\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!75}{33\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!63}{33\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!31}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!40}{33\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!92}{33\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!55}{33\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!62}{33\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!39}{33\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!42}{33\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!97}{33\!\cdots\!31}a+\frac{41\!\cdots\!53}{33\!\cdots\!31}$, $\frac{19\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!56}{33\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!86}{33\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!29}{33\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!74}{33\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{99\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!05}{33\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!82}{33\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!40}{33\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!01}{33\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!57}{33\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!50}{33\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!45}{33\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!36}{33\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!70}{33\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!05}{33\!\cdots\!31}a+\frac{34\!\cdots\!55}{33\!\cdots\!31}$, $\frac{43\!\cdots\!24}{33\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!58}{33\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!34}{33\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!86}{33\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!86}{33\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!24}{33\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!93}{33\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!85}{33\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!90}{33\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!73}{33\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!55}{33\!\cdots\!31}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!71}{33\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!90}{33\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!29}{33\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!64}{33\!\cdots\!31}a-\frac{22\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!31}$, $\frac{30\!\cdots\!46}{33\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!23}{33\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!56}{33\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!59}{33\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!28}{33\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{93\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!54}{33\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!16}{33\!\cdots\!31}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!31}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!78}{33\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!22}{33\!\cdots\!31}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!10}{33\!\cdots\!31}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!29}{33\!\cdots\!31}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!21}{33\!\cdots\!31}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!31}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!90}{33\!\cdots\!31}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!31}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!53}{33\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!50}{33\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!31}a-\frac{55\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!31}$, $\frac{33\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!86}{33\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{48\!\cdots\!17}{33\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!32}{33\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!26}{33\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!06}{33\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!25}{33\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!45}{33\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!16}{33\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!85}{33\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!39}{33\!\cdots\!31}a+\frac{68\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!31}$, $\frac{50\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!77}a-\frac{16\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{14\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!77}a+\frac{28\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{32\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{99\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{93\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!77}a-\frac{64\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{12\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{78\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{84\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{98\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{97\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a-\frac{26\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{43\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!77}a+\frac{47\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{25\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{87\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!77}a-\frac{54\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{96\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{84\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{86\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{68\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!77}a+\frac{12\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{12\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{74\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{79\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!77}a-\frac{13\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{35\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{90\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!77}a-\frac{83\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{51\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{74\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{99\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!77}a+\frac{10\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{44\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{65\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!77}a-\frac{61\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{24\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{76\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!77}a+\frac{33\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{20\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!77}a+\frac{45\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{19\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{97\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!77}a-\frac{48\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{76\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{67\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{85\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{83\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{76\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!77}a+\frac{10\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{15\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!77}a+\frac{21\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{11\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!77}a-\frac{24\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!77}$, $\frac{12\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{70\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{75\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!77}a-\frac{37\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!77}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 14754752089330426000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 14754752089330426000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{13122249213311579236015222881822854848980675468493365969}}\cr\approx \mathstrut & 0.273342815449787 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_9\wr C_3$ (as 27T434):

A solvable group of order 2187

The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$

Character table for $C_9\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.278924508041662122046672329971307261712894173849.2

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$78$
\(19\)	19.3.2.3	$x^{3} + 38$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.3	$x^{3} + 38$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.3	$x^{3} + 38$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.0.1	$x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$