Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1314*x^24 + 7740*x^23 - 68076*x^22 - 239166*x^21 + 1714032*x^20 + 4990779*x^19 - 22424565*x^18 - 67949397*x^17 + 139167009*x^16 + 521720982*x^15 - 259125408*x^14 - 1876452975*x^13 - 322111764*x^12 + 3304120158*x^11 + 1504663875*x^10 - 3180640551*x^9 - 1866753171*x^8 + 1770577101*x^7 + 1116671832*x^6 - 573082407*x^5 - 338304879*x^4 + 102031929*x^3 + 44766450*x^2 - 8037450*x - 1183123)
gp: K = bnfinit(y^27 - 9*y^26 - 144*y^25 + 1314*y^24 + 7740*y^23 - 68076*y^22 - 239166*y^21 + 1714032*y^20 + 4990779*y^19 - 22424565*y^18 - 67949397*y^17 + 139167009*y^16 + 521720982*y^15 - 259125408*y^14 - 1876452975*y^13 - 322111764*y^12 + 3304120158*y^11 + 1504663875*y^10 - 3180640551*y^9 - 1866753171*y^8 + 1770577101*y^7 + 1116671832*y^6 - 573082407*y^5 - 338304879*y^4 + 102031929*y^3 + 44766450*y^2 - 8037450*y - 1183123, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1314*x^24 + 7740*x^23 - 68076*x^22 - 239166*x^21 + 1714032*x^20 + 4990779*x^19 - 22424565*x^18 - 67949397*x^17 + 139167009*x^16 + 521720982*x^15 - 259125408*x^14 - 1876452975*x^13 - 322111764*x^12 + 3304120158*x^11 + 1504663875*x^10 - 3180640551*x^9 - 1866753171*x^8 + 1770577101*x^7 + 1116671832*x^6 - 573082407*x^5 - 338304879*x^4 + 102031929*x^3 + 44766450*x^2 - 8037450*x - 1183123);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1314*x^24 + 7740*x^23 - 68076*x^22 - 239166*x^21 + 1714032*x^20 + 4990779*x^19 - 22424565*x^18 - 67949397*x^17 + 139167009*x^16 + 521720982*x^15 - 259125408*x^14 - 1876452975*x^13 - 322111764*x^12 + 3304120158*x^11 + 1504663875*x^10 - 3180640551*x^9 - 1866753171*x^8 + 1770577101*x^7 + 1116671832*x^6 - 573082407*x^5 - 338304879*x^4 + 102031929*x^3 + 44766450*x^2 - 8037450*x - 1183123)
\( x^{27} - 9 x^{26} - 144 x^{25} + 1314 x^{24} + 7740 x^{23} - 68076 x^{22} - 239166 x^{21} + \cdots - 1183123 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(13122249213311579236015222881822854848980675468493365969\)
\(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{14}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(110.00\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{3}a^{14}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{15}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{16}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}+\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{18}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{19}+\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{20}+\frac{1}{3}a^{11}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{21}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{22}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{4}$, $\frac{1}{3}a^{23}-\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{11}+\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{24}-\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{25}-\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!76}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!53}a-\frac{18\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!51}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{30\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!27}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{68\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{80\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!09}a-\frac{45\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!09}$, $\frac{46\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!09}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!27}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!09}a+\frac{66\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!09}$, $\frac{20\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{83\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{93\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{74\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!42}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!51}a-\frac{99\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{81\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{81\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!51}a-\frac{42\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{17\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{83\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!85}{38\!\cdots\!53}a-\frac{25\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{56\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{76\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{80\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!08}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!76}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!53}a-\frac{81\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{28\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{41\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!53}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{47\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!53}a+\frac{17\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{49\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{66\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!42}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{91\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!14}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!53}a-\frac{70\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{36\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{64\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{76\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!53}a+\frac{49\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{21\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{89\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!53}a-\frac{97\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{86\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{84\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!14}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!55}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{54\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!53}a-\frac{12\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{69\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{45\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{87\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!51}a-\frac{33\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{21\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{93\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{74\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{91\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!53}a-\frac{23\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{95\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{95\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{60\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!53}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{97\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{98\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!53}a+\frac{57\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{26\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{77\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!76}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!55}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!51}a-\frac{38\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{20\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{67\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{29\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!51}a+\frac{10\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{44\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{97\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{80\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{82\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{92\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!53}a-\frac{20\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{28\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{84\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!85}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!53}a-\frac{41\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{10\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{59\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{83\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!53}a+\frac{15\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{18\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!55}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!42}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{87\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!55}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!53}a-\frac{22\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{27\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!08}{38\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{98\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!51}a+\frac{39\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{73\!\cdots\!28}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!51}a-\frac{10\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{11\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!46}{38\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{98\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!53}a+\frac{56\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!51}$, $\frac{13\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{87\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!53}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!08}{38\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!51}a+\frac{19\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{58\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!76}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!53}a-\frac{78\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!53}$, $\frac{28\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{97\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!10}{38\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!88}{38\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!53}a-\frac{41\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!53}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 11959041246274464000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 11959041246274464000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{13122249213311579236015222881822854848980675468493365969}}\cr\approx \mathstrut & 0.221550181564937 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1314*x^24 + 7740*x^23 - 68076*x^22 - 239166*x^21 + 1714032*x^20 + 4990779*x^19 - 22424565*x^18 - 67949397*x^17 + 139167009*x^16 + 521720982*x^15 - 259125408*x^14 - 1876452975*x^13 - 322111764*x^12 + 3304120158*x^11 + 1504663875*x^10 - 3180640551*x^9 - 1866753171*x^8 + 1770577101*x^7 + 1116671832*x^6 - 573082407*x^5 - 338304879*x^4 + 102031929*x^3 + 44766450*x^2 - 8037450*x - 1183123)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1314*x^24 + 7740*x^23 - 68076*x^22 - 239166*x^21 + 1714032*x^20 + 4990779*x^19 - 22424565*x^18 - 67949397*x^17 + 139167009*x^16 + 521720982*x^15 - 259125408*x^14 - 1876452975*x^13 - 322111764*x^12 + 3304120158*x^11 + 1504663875*x^10 - 3180640551*x^9 - 1866753171*x^8 + 1770577101*x^7 + 1116671832*x^6 - 573082407*x^5 - 338304879*x^4 + 102031929*x^3 + 44766450*x^2 - 8037450*x - 1183123, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1314*x^24 + 7740*x^23 - 68076*x^22 - 239166*x^21 + 1714032*x^20 + 4990779*x^19 - 22424565*x^18 - 67949397*x^17 + 139167009*x^16 + 521720982*x^15 - 259125408*x^14 - 1876452975*x^13 - 322111764*x^12 + 3304120158*x^11 + 1504663875*x^10 - 3180640551*x^9 - 1866753171*x^8 + 1770577101*x^7 + 1116671832*x^6 - 573082407*x^5 - 338304879*x^4 + 102031929*x^3 + 44766450*x^2 - 8037450*x - 1183123);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 1314*x^24 + 7740*x^23 - 68076*x^22 - 239166*x^21 + 1714032*x^20 + 4990779*x^19 - 22424565*x^18 - 67949397*x^17 + 139167009*x^16 + 521720982*x^15 - 259125408*x^14 - 1876452975*x^13 - 322111764*x^12 + 3304120158*x^11 + 1504663875*x^10 - 3180640551*x^9 - 1866753171*x^8 + 1770577101*x^7 + 1116671832*x^6 - 573082407*x^5 - 338304879*x^4 + 102031929*x^3 + 44766450*x^2 - 8037450*x - 1183123);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9\wr C_3$ (as 27T434):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 2187 |
| The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$ |
| Character table for $C_9\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.278924508041662122046672329971307261712894173849.3 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $78$ | |||
|
\(19\)
| 19.3.2.2 | $x^{3} + 19$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |
| 19.3.2.2 | $x^{3} + 19$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.2 | $x^{3} + 19$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.0.1 | $x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ |