Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 972*x^24 + 9072*x^23 - 33939*x^22 - 287172*x^21 + 446148*x^20 + 4797252*x^19 - 948495*x^18 - 43262856*x^17 - 27538407*x^16 + 210610332*x^15 + 252437067*x^14 - 552609999*x^13 - 960981732*x^12 + 719899245*x^11 + 1951953849*x^10 - 222050403*x^9 - 2223658170*x^8 - 547065360*x^7 + 1363938678*x^6 + 690220035*x^5 - 371729358*x^4 - 306346419*x^3 + 7322238*x^2 + 46515114*x + 9191829)
gp: K = bnfinit(y^27 - 9*y^26 - 144*y^25 + 972*y^24 + 9072*y^23 - 33939*y^22 - 287172*y^21 + 446148*y^20 + 4797252*y^19 - 948495*y^18 - 43262856*y^17 - 27538407*y^16 + 210610332*y^15 + 252437067*y^14 - 552609999*y^13 - 960981732*y^12 + 719899245*y^11 + 1951953849*y^10 - 222050403*y^9 - 2223658170*y^8 - 547065360*y^7 + 1363938678*y^6 + 690220035*y^5 - 371729358*y^4 - 306346419*y^3 + 7322238*y^2 + 46515114*y + 9191829, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 972*x^24 + 9072*x^23 - 33939*x^22 - 287172*x^21 + 446148*x^20 + 4797252*x^19 - 948495*x^18 - 43262856*x^17 - 27538407*x^16 + 210610332*x^15 + 252437067*x^14 - 552609999*x^13 - 960981732*x^12 + 719899245*x^11 + 1951953849*x^10 - 222050403*x^9 - 2223658170*x^8 - 547065360*x^7 + 1363938678*x^6 + 690220035*x^5 - 371729358*x^4 - 306346419*x^3 + 7322238*x^2 + 46515114*x + 9191829);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 972*x^24 + 9072*x^23 - 33939*x^22 - 287172*x^21 + 446148*x^20 + 4797252*x^19 - 948495*x^18 - 43262856*x^17 - 27538407*x^16 + 210610332*x^15 + 252437067*x^14 - 552609999*x^13 - 960981732*x^12 + 719899245*x^11 + 1951953849*x^10 - 222050403*x^9 - 2223658170*x^8 - 547065360*x^7 + 1363938678*x^6 + 690220035*x^5 - 371729358*x^4 - 306346419*x^3 + 7322238*x^2 + 46515114*x + 9191829)
\( x^{27} - 9 x^{26} - 144 x^{25} + 972 x^{24} + 9072 x^{23} - 33939 x^{22} - 287172 x^{21} + \cdots + 9191829 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(13122249213311579236015222881822854848980675468493365969\)
\(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{14}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(110.00\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{19}a^{24}+\frac{7}{19}a^{23}-\frac{5}{19}a^{22}+\frac{2}{19}a^{21}-\frac{9}{19}a^{20}-\frac{1}{19}a^{19}+\frac{9}{19}a^{18}-\frac{5}{19}a^{17}+\frac{6}{19}a^{16}+\frac{1}{19}a^{15}-\frac{2}{19}a^{14}+\frac{3}{19}a^{13}+\frac{4}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}-\frac{7}{19}a^{10}+\frac{2}{19}a^{9}+\frac{4}{19}a^{8}-\frac{3}{19}a^{7}+\frac{5}{19}a^{6}+\frac{5}{19}a^{5}+\frac{7}{19}a^{3}+\frac{4}{19}a^{2}+\frac{5}{19}a-\frac{7}{19}$, $\frac{1}{209}a^{25}-\frac{2}{209}a^{24}-\frac{30}{209}a^{23}+\frac{6}{19}a^{22}-\frac{103}{209}a^{21}+\frac{23}{209}a^{20}+\frac{94}{209}a^{19}-\frac{29}{209}a^{18}+\frac{13}{209}a^{17}+\frac{9}{19}a^{16}+\frac{103}{209}a^{15}-\frac{5}{19}a^{14}+\frac{15}{209}a^{13}-\frac{24}{209}a^{12}+\frac{18}{209}a^{11}-\frac{49}{209}a^{10}+\frac{24}{209}a^{9}-\frac{7}{19}a^{8}-\frac{4}{19}a^{7}+\frac{36}{209}a^{6}-\frac{7}{209}a^{5}-\frac{69}{209}a^{4}+\frac{17}{209}a^{3}-\frac{12}{209}a^{2}-\frac{14}{209}a+\frac{82}{209}$, $\frac{1}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!68}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!54}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!67}a+\frac{14\!\cdots\!24}{47\!\cdots\!67}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{68\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{92\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!31}a^{8}-\frac{92\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!41}a+\frac{78\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!41}$, $\frac{36\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!41}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{91\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!41}a-\frac{40\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!41}$, $\frac{16\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!57}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!80}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{99\!\cdots\!68}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!90}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!82}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!71}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!98}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!67}a+\frac{17\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{10\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{98\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{89\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{80\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!55}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!80}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!67}a-\frac{11\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{11\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!18}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!41}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{70\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!76}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!71}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!67}a+\frac{10\!\cdots\!00}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{23\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!74}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{94\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!82}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{92\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!43}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!67}a-\frac{25\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{81\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{72\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{88\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{66\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!00}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!66}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!00}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!99}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!89}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!67}a-\frac{83\!\cdots\!83}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{96\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{95\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!96}{42\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{78\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!55}{42\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!71}{42\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{72\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!66}{42\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!96}{42\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{97\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{95\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!43}{42\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!27}a+\frac{10\!\cdots\!45}{42\!\cdots\!97}$, $\frac{10\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{90\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{85\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!68}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!06}{47\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!70}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!82}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!54}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!66}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!66}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!19}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{59\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a-\frac{13\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{28\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!33}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!24}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!76}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!65}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!67}a+\frac{56\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{12\!\cdots\!69}{64\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!66}{64\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{99\!\cdots\!31}{64\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!30}{64\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!60}{64\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!85}{64\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!20}{64\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!51}{64\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!03}{64\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!11}{64\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!45}{64\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!87}{64\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!82}{64\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!88}{64\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!78}{64\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!67}{58\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!15}{64\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{60\!\cdots\!79}{64\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!93}{64\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!57}{58\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!83}{58\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!07}{64\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!72}{64\!\cdots\!79}a+\frac{15\!\cdots\!56}{64\!\cdots\!79}$, $\frac{12\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{48\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!62}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!84}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!22}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!67}a-\frac{16\!\cdots\!62}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{11\!\cdots\!66}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!64}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!44}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{85\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!96}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!70}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!92}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a+\frac{77\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{80\!\cdots\!82}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!72}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{76\!\cdots\!62}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!45}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a+\frac{94\!\cdots\!24}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{30\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!93}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!18}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!67}a-\frac{36\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{74\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!90}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{79\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{62\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!00}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!80}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!24}{22\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!06}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!96}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!80}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!67}a-\frac{98\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{51\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!36}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{96\!\cdots\!90}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!00}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!14}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!43}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!67}a+\frac{21\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!93}$, $\frac{77\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!84}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!54}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!96}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{84\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{84\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!98}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!55}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!09}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a+\frac{89\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{10\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!22}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{71\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!68}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!54}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!33}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!19}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!67}a+\frac{33\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{29\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!07}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!14}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{81\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!92}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!86}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!03}{39\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{97\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!67}a-\frac{42\!\cdots\!24}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{27\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!24}{42\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!32}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!67}a-\frac{33\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{36\!\cdots\!00}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!57}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{80\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{90\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!83}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!92}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{74\!\cdots\!76}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!83}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!44}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!18}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a+\frac{16\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!93}$, $\frac{32\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!62}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{81\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!24}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!11}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!67}a-\frac{18\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{20\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{80\!\cdots\!66}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!52}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{86\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{80\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{97\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!67}a+\frac{23\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{24\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!36}{42\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{98\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!70}{47\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!14}{47\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!54}{47\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!67}a+\frac{34\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!67}$, $\frac{33\!\cdots\!18}{47\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!90}{47\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!76}{47\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!82}{42\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!65}{42\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!67}a-\frac{20\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!93}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 21775391337291145000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 21775391337291145000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{13122249213311579236015222881822854848980675468493365969}}\cr\approx \mathstrut & 0.403405407262669 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 972*x^24 + 9072*x^23 - 33939*x^22 - 287172*x^21 + 446148*x^20 + 4797252*x^19 - 948495*x^18 - 43262856*x^17 - 27538407*x^16 + 210610332*x^15 + 252437067*x^14 - 552609999*x^13 - 960981732*x^12 + 719899245*x^11 + 1951953849*x^10 - 222050403*x^9 - 2223658170*x^8 - 547065360*x^7 + 1363938678*x^6 + 690220035*x^5 - 371729358*x^4 - 306346419*x^3 + 7322238*x^2 + 46515114*x + 9191829)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 972*x^24 + 9072*x^23 - 33939*x^22 - 287172*x^21 + 446148*x^20 + 4797252*x^19 - 948495*x^18 - 43262856*x^17 - 27538407*x^16 + 210610332*x^15 + 252437067*x^14 - 552609999*x^13 - 960981732*x^12 + 719899245*x^11 + 1951953849*x^10 - 222050403*x^9 - 2223658170*x^8 - 547065360*x^7 + 1363938678*x^6 + 690220035*x^5 - 371729358*x^4 - 306346419*x^3 + 7322238*x^2 + 46515114*x + 9191829, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 972*x^24 + 9072*x^23 - 33939*x^22 - 287172*x^21 + 446148*x^20 + 4797252*x^19 - 948495*x^18 - 43262856*x^17 - 27538407*x^16 + 210610332*x^15 + 252437067*x^14 - 552609999*x^13 - 960981732*x^12 + 719899245*x^11 + 1951953849*x^10 - 222050403*x^9 - 2223658170*x^8 - 547065360*x^7 + 1363938678*x^6 + 690220035*x^5 - 371729358*x^4 - 306346419*x^3 + 7322238*x^2 + 46515114*x + 9191829);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 144*x^25 + 972*x^24 + 9072*x^23 - 33939*x^22 - 287172*x^21 + 446148*x^20 + 4797252*x^19 - 948495*x^18 - 43262856*x^17 - 27538407*x^16 + 210610332*x^15 + 252437067*x^14 - 552609999*x^13 - 960981732*x^12 + 719899245*x^11 + 1951953849*x^10 - 222050403*x^9 - 2223658170*x^8 - 547065360*x^7 + 1363938678*x^6 + 690220035*x^5 - 371729358*x^4 - 306346419*x^3 + 7322238*x^2 + 46515114*x + 9191829);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9\wr C_3$ (as 27T434):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 2187 |
| The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$ |
| Character table for $C_9\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.278924508041662122046672329971307261712894173849.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $78$ | |||
|
\(19\)
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.6.1 | $x^{9} + 1444 x^{3} - 116603$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_9$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |