Properties

Label 27.27.106...489.2
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $1.063\times 10^{57}$
Root discriminant \(129.45\)
Ramified primes $3,19$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_3^6.C_3^3:C_9$ (as 27T1470)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 54*x^24 + 17577*x^23 - 1674*x^22 - 751446*x^21 + 467046*x^20 + 19163736*x^19 - 22819158*x^18 - 306171738*x^17 + 544106781*x^16 + 3067005042*x^15 - 7492395267*x^14 - 18175020570*x^13 + 62548234650*x^12 + 49971914820*x^11 - 313892502399*x^10 + 48114826206*x^9 + 885539561175*x^8 - 712809280062*x^7 - 1162258177779*x^6 + 1686232267110*x^5 + 276057575064*x^4 - 1320639000219*x^3 + 355272769656*x^2 + 281352613320*x - 112116329189)
 
gp: K = bnfinit(y^27 - 216*y^25 - 54*y^24 + 17577*y^23 - 1674*y^22 - 751446*y^21 + 467046*y^20 + 19163736*y^19 - 22819158*y^18 - 306171738*y^17 + 544106781*y^16 + 3067005042*y^15 - 7492395267*y^14 - 18175020570*y^13 + 62548234650*y^12 + 49971914820*y^11 - 313892502399*y^10 + 48114826206*y^9 + 885539561175*y^8 - 712809280062*y^7 - 1162258177779*y^6 + 1686232267110*y^5 + 276057575064*y^4 - 1320639000219*y^3 + 355272769656*y^2 + 281352613320*y - 112116329189, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 54*x^24 + 17577*x^23 - 1674*x^22 - 751446*x^21 + 467046*x^20 + 19163736*x^19 - 22819158*x^18 - 306171738*x^17 + 544106781*x^16 + 3067005042*x^15 - 7492395267*x^14 - 18175020570*x^13 + 62548234650*x^12 + 49971914820*x^11 - 313892502399*x^10 + 48114826206*x^9 + 885539561175*x^8 - 712809280062*x^7 - 1162258177779*x^6 + 1686232267110*x^5 + 276057575064*x^4 - 1320639000219*x^3 + 355272769656*x^2 + 281352613320*x - 112116329189);
 
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 216*x^25 - 54*x^24 + 17577*x^23 - 1674*x^22 - 751446*x^21 + 467046*x^20 + 19163736*x^19 - 22819158*x^18 - 306171738*x^17 + 544106781*x^16 + 3067005042*x^15 - 7492395267*x^14 - 18175020570*x^13 + 62548234650*x^12 + 49971914820*x^11 - 313892502399*x^10 + 48114826206*x^9 + 885539561175*x^8 - 712809280062*x^7 - 1162258177779*x^6 + 1686232267110*x^5 + 276057575064*x^4 - 1320639000219*x^3 + 355272769656*x^2 + 281352613320*x - 112116329189)
 

\( x^{27} - 216 x^{25} - 54 x^{24} + 17577 x^{23} - 1674 x^{22} - 751446 x^{21} + 467046 x^{20} + \cdots - 112116329189 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $27$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[27, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(1062902186278237918117233053427651242767434712947962643489\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{14}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(129.45\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  not computed
Ramified primes:   \(3\), \(19\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:  $3$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{19}a^{18}-\frac{7}{19}a^{16}+\frac{3}{19}a^{15}+\frac{2}{19}a^{14}-\frac{2}{19}a^{13}+\frac{4}{19}a^{12}+\frac{7}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}-\frac{6}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{7}{19}a^{17}+\frac{3}{19}a^{16}+\frac{2}{19}a^{15}-\frac{2}{19}a^{14}+\frac{4}{19}a^{13}+\frac{7}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{20}+\frac{3}{19}a^{17}-\frac{9}{19}a^{16}-\frac{1}{19}a^{14}-\frac{7}{19}a^{13}+\frac{3}{19}a^{12}+\frac{5}{19}a^{11}-\frac{4}{19}a^{10}-\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{361}a^{21}-\frac{7}{361}a^{19}+\frac{3}{361}a^{18}-\frac{131}{361}a^{17}-\frac{2}{361}a^{16}+\frac{23}{361}a^{15}-\frac{31}{361}a^{14}+\frac{51}{361}a^{13}-\frac{101}{361}a^{12}+\frac{9}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}-\frac{2}{19}a^{9}+\frac{9}{19}a^{8}-\frac{7}{19}a^{7}-\frac{2}{19}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}+\frac{2}{19}a^{4}+\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{361}a^{22}-\frac{7}{361}a^{20}+\frac{3}{361}a^{19}+\frac{2}{361}a^{18}-\frac{2}{361}a^{17}+\frac{175}{361}a^{16}+\frac{7}{361}a^{15}-\frac{44}{361}a^{14}-\frac{6}{361}a^{13}-\frac{1}{19}a^{12}+\frac{3}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}+\frac{5}{19}a^{9}-\frac{7}{19}a^{8}-\frac{2}{19}a^{7}-\frac{3}{19}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}+\frac{1}{19}a^{4}$, $\frac{1}{361}a^{23}+\frac{3}{361}a^{20}-\frac{9}{361}a^{19}+\frac{75}{361}a^{17}-\frac{121}{361}a^{16}+\frac{136}{361}a^{15}+\frac{24}{361}a^{14}+\frac{167}{361}a^{13}-\frac{99}{361}a^{12}+\frac{4}{19}a^{9}+\frac{4}{19}a^{8}+\frac{5}{19}a^{7}+\frac{7}{19}a^{6}-\frac{1}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{24}-\frac{7}{6859}a^{22}+\frac{3}{6859}a^{21}-\frac{131}{6859}a^{20}-\frac{2}{6859}a^{19}+\frac{23}{6859}a^{18}+\frac{2496}{6859}a^{17}-\frac{671}{6859}a^{16}+\frac{2426}{6859}a^{15}+\frac{123}{361}a^{14}+\frac{49}{361}a^{13}+\frac{112}{361}a^{12}+\frac{85}{361}a^{11}+\frac{164}{361}a^{10}-\frac{2}{361}a^{9}+\frac{35}{361}a^{8}+\frac{40}{361}a^{7}-\frac{151}{361}a^{6}+\frac{8}{19}a^{5}+\frac{8}{19}a^{4}-\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{25}-\frac{7}{6859}a^{23}+\frac{3}{6859}a^{22}+\frac{2}{6859}a^{21}-\frac{2}{6859}a^{20}+\frac{175}{6859}a^{19}+\frac{7}{6859}a^{18}+\frac{1761}{6859}a^{17}-\frac{1811}{6859}a^{16}-\frac{58}{361}a^{15}+\frac{136}{361}a^{14}-\frac{82}{361}a^{13}-\frac{109}{361}a^{12}-\frac{45}{361}a^{11}-\frac{135}{361}a^{10}-\frac{41}{361}a^{9}+\frac{154}{361}a^{8}+\frac{1}{361}a^{7}-\frac{6}{19}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}+\frac{7}{19}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{99\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!27}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!27}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!27}a^{22}-\frac{95\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!27}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{96\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{86\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!05}{54\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!53}a+\frac{14\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!53}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $26$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{36\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{65\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{78\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!15}{32\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!01}a-\frac{12\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!01}$, $\frac{20\!\cdots\!14}{32\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!14}{32\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{87\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!05}{32\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!22}{32\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!22}{32\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!01}a+\frac{72\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!01}$, $\frac{30\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{64\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{51\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{84\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!05}{81\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!75}{81\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!58}{81\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!40}{81\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!47}{81\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!57}{81\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!28}{81\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{97\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!89}a+\frac{23\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!89}$, $\frac{67\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{80\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!86}{81\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!31}{81\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!61}{81\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!19}{81\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!56}{81\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!62}{81\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!91}{81\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!07}{81\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!07}{81\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{68\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!91}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!89}a-\frac{40\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!89}$, $\frac{68\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!08}{81\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!97}{81\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!04}{81\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!13}{81\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!12}{81\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!39}{81\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!66}{81\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!41}{81\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!89}a+\frac{54\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!89}$, $\frac{11\!\cdots\!25}{81\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{46\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{61\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!25}{81\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!07}{81\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!17}{81\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!55}{81\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!80}{81\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!99}{81\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!18}{81\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!81}{81\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!31}{81\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!40}{42\!\cdots\!91}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!89}a-\frac{20\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!89}$, $\frac{36\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{74\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{54\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!06}{81\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!42}{81\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!34}{81\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!48}{81\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!62}{81\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!51}{81\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!30}{81\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!03}{81\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!95}{81\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!89}{42\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!07}{42\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!89}a+\frac{15\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!89}$, $\frac{22\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{48\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!57}{42\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!00}{81\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!42}{81\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!24}{81\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!75}{81\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!40}{81\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!72}{81\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!14}{81\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!44}{81\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{53\!\cdots\!65}{81\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!62}{81\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!06}{42\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!91}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!89}a-\frac{18\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!89}$, $\frac{19\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!27}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!33}a^{17}-\frac{56\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{99\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{95\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!53}a+\frac{16\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!53}$, $\frac{49\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{94\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!27}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!27}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!53}a+\frac{42\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!53}$, $\frac{84\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!27}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!27}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!27}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!27}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!27}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!27}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!35}{54\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!53}a-\frac{72\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!53}$, $\frac{59\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!27}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!27}a^{23}+\frac{99\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!65}{54\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!35}{54\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!53}a+\frac{50\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!53}$, $\frac{11\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!27}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!27}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!14}{54\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!40}{54\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!53}a+\frac{99\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!53}$, $\frac{19\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!27}a^{26}-\frac{78\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!27}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!27}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!27}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!27}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!44}{54\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!53}a+\frac{33\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!53}$, $\frac{14\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!27}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!27}a^{24}+\frac{66\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!27}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!27}a^{21}+\frac{96\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!27}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!27}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!96}{54\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!53}a-\frac{11\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!53}$, 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oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 130102874105020090000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1062902186278237918117233053427651242767434712947962643489}}\cr\approx \mathstrut & 0.267805892039741 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 54*x^24 + 17577*x^23 - 1674*x^22 - 751446*x^21 + 467046*x^20 + 19163736*x^19 - 22819158*x^18 - 306171738*x^17 + 544106781*x^16 + 3067005042*x^15 - 7492395267*x^14 - 18175020570*x^13 + 62548234650*x^12 + 49971914820*x^11 - 313892502399*x^10 + 48114826206*x^9 + 885539561175*x^8 - 712809280062*x^7 - 1162258177779*x^6 + 1686232267110*x^5 + 276057575064*x^4 - 1320639000219*x^3 + 355272769656*x^2 + 281352613320*x - 112116329189)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^27 - 216*x^25 - 54*x^24 + 17577*x^23 - 1674*x^22 - 751446*x^21 + 467046*x^20 + 19163736*x^19 - 22819158*x^18 - 306171738*x^17 + 544106781*x^16 + 3067005042*x^15 - 7492395267*x^14 - 18175020570*x^13 + 62548234650*x^12 + 49971914820*x^11 - 313892502399*x^10 + 48114826206*x^9 + 885539561175*x^8 - 712809280062*x^7 - 1162258177779*x^6 + 1686232267110*x^5 + 276057575064*x^4 - 1320639000219*x^3 + 355272769656*x^2 + 281352613320*x - 112116329189, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 54*x^24 + 17577*x^23 - 1674*x^22 - 751446*x^21 + 467046*x^20 + 19163736*x^19 - 22819158*x^18 - 306171738*x^17 + 544106781*x^16 + 3067005042*x^15 - 7492395267*x^14 - 18175020570*x^13 + 62548234650*x^12 + 49971914820*x^11 - 313892502399*x^10 + 48114826206*x^9 + 885539561175*x^8 - 712809280062*x^7 - 1162258177779*x^6 + 1686232267110*x^5 + 276057575064*x^4 - 1320639000219*x^3 + 355272769656*x^2 + 281352613320*x - 112116329189);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 54*x^24 + 17577*x^23 - 1674*x^22 - 751446*x^21 + 467046*x^20 + 19163736*x^19 - 22819158*x^18 - 306171738*x^17 + 544106781*x^16 + 3067005042*x^15 - 7492395267*x^14 - 18175020570*x^13 + 62548234650*x^12 + 49971914820*x^11 - 313892502399*x^10 + 48114826206*x^9 + 885539561175*x^8 - 712809280062*x^7 - 1162258177779*x^6 + 1686232267110*x^5 + 276057575064*x^4 - 1320639000219*x^3 + 355272769656*x^2 + 281352613320*x - 112116329189);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_3^6.C_3^3:C_9$ (as 27T1470):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A solvable group of order 177147
The 251 conjugacy class representatives for $C_3^6.C_3^3:C_9$
Character table for $C_3^6.C_3^3:C_9$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Sibling fields

Degree 27 siblings: data not computed
Minimal sibling: 27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.7

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ R $27$ ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ R ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{6}$ $27$ ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{6}$ $27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display Deg $27$$27$$1$$82$
\(19\) Copy content Toggle raw display 19.3.2.3$x^{3} + 38$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
19.3.2.1$x^{3} + 76$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
19.3.2.2$x^{3} + 19$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
19.3.0.1$x^{3} + 4 x + 17$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
19.3.0.1$x^{3} + 4 x + 17$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
19.3.0.1$x^{3} + 4 x + 17$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
19.9.8.2$x^{9} + 57$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$