Number field 27.27.1062902186278237918117233053427651242767434712947962643489.10

• Label: 27.27.106...489.10
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.063\times 10^{57}$
• Root discriminant: \(129.45\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459)

Normalized defining polynomial

x^27 - 216*x^25 - 99*x^24 + 17577*x^23 + 13986*x^22 - 738630*x^21 - 969975*x^20 + 18381924*x^19 + 36391563*x^18 - 281369214*x^17 - 801684594*x^16 + 2501189811*x^15 + 10785939912*x^14 - 8785266075*x^13 - 87323224914*x^12 - 52562328840*x^11 + 379549230111*x^10 + 703767475968*x^9 - 455709844179*x^8 - 2687267920338*x^7 - 2449968465528*x^6 + 2010946525029*x^5 + 6575807857752*x^4 + 6674032187829*x^3 + 3533336322723*x^2 + 970335761256*x + 106993150037

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(1062902186278237918117233053427651242767434712947962643489\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{14}\)
Root discriminant:		\(129.45\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{19}a^{18}-\frac{7}{19}a^{16}-\frac{4}{19}a^{15}+\frac{2}{19}a^{14}+\frac{2}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}+\frac{8}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{7}{19}a^{17}-\frac{4}{19}a^{16}+\frac{2}{19}a^{15}+\frac{2}{19}a^{14}-\frac{5}{19}a^{13}-\frac{6}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}+\frac{8}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{20}-\frac{4}{19}a^{17}-\frac{9}{19}a^{16}-\frac{7}{19}a^{15}+\frac{9}{19}a^{14}+\frac{8}{19}a^{13}-\frac{3}{19}a^{12}+\frac{4}{19}a^{11}-\frac{4}{19}a^{10}-\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{361}a^{21}-\frac{7}{361}a^{19}-\frac{4}{361}a^{18}-\frac{131}{361}a^{17}-\frac{150}{361}a^{16}+\frac{14}{361}a^{15}-\frac{82}{361}a^{14}+\frac{32}{361}a^{13}-\frac{49}{361}a^{12}-\frac{3}{19}a^{11}+\frac{2}{19}a^{10}-\frac{5}{19}a^{9}-\frac{2}{19}a^{8}-\frac{2}{19}a^{7}+\frac{4}{19}a^{6}+\frac{1}{19}a^{5}-\frac{2}{19}a^{4}+\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{361}a^{22}-\frac{7}{361}a^{20}-\frac{4}{361}a^{19}+\frac{2}{361}a^{18}-\frac{150}{361}a^{17}+\frac{166}{361}a^{16}+\frac{108}{361}a^{15}-\frac{63}{361}a^{14}-\frac{144}{361}a^{13}-\frac{2}{19}a^{11}-\frac{9}{19}a^{10}-\frac{3}{19}a^{9}-\frac{2}{19}a^{8}+\frac{4}{19}a^{7}+\frac{1}{19}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}$, $\frac{1}{361}a^{23}-\frac{4}{361}a^{20}-\frac{9}{361}a^{19}-\frac{7}{361}a^{18}+\frac{66}{361}a^{17}-\frac{125}{361}a^{16}+\frac{149}{361}a^{15}+\frac{61}{361}a^{14}+\frac{15}{361}a^{13}-\frac{20}{361}a^{12}-\frac{1}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}-\frac{3}{19}a^{9}+\frac{9}{19}a^{8}+\frac{6}{19}a^{7}+\frac{7}{19}a^{6}-\frac{7}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}-\frac{3}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{24}-\frac{7}{6859}a^{22}-\frac{4}{6859}a^{21}-\frac{131}{6859}a^{20}-\frac{150}{6859}a^{19}+\frac{14}{6859}a^{18}-\frac{2970}{6859}a^{17}-\frac{1051}{6859}a^{16}+\frac{2117}{6859}a^{15}+\frac{149}{361}a^{14}+\frac{2}{361}a^{13}+\frac{52}{361}a^{12}+\frac{74}{361}a^{11}+\frac{74}{361}a^{10}-\frac{53}{361}a^{9}+\frac{58}{361}a^{8}+\frac{131}{361}a^{7}-\frac{109}{361}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}+\frac{9}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{25}-\frac{7}{6859}a^{23}-\frac{4}{6859}a^{22}+\frac{2}{6859}a^{21}-\frac{150}{6859}a^{20}+\frac{166}{6859}a^{19}+\frac{108}{6859}a^{18}+\frac{1381}{6859}a^{17}+\frac{578}{6859}a^{16}-\frac{2}{19}a^{15}-\frac{78}{361}a^{14}+\frac{10}{361}a^{13}-\frac{117}{361}a^{12}-\frac{2}{361}a^{11}-\frac{110}{361}a^{10}-\frac{170}{361}a^{9}-\frac{135}{361}a^{8}-\frac{14}{361}a^{7}+\frac{1}{19}a^{6}+\frac{7}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}-\frac{3}{19}a^{3}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{70\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!51}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!97}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!77}a+\frac{51\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!77}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{65\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!41}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!54}{37\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!39}a+\frac{18\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!39}$, $\frac{18\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!41}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{70\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!39}a+\frac{49\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!39}$, $\frac{71\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!49}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{81\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!71}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{81\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!82}{70\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!40}{70\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!40}{70\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{98\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!11}a+\frac{30\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!11}$, $\frac{11\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{84\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{97\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!71}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!93}{70\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{74\!\cdots\!65}{70\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!34}{70\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!11}a-\frac{12\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!11}$, $\frac{13\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!49}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!71}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!71}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{90\!\cdots\!47}{70\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{90\!\cdots\!37}{70\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!00}{70\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!11}a+\frac{15\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!11}$, $\frac{11\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{85\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{58\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{71\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!04}{70\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!64}{70\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!61}{70\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!11}a+\frac{98\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!11}$, $\frac{12\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!49}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!71}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!91}{70\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!12}{70\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!53}{70\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!58}{70\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{96\!\cdots\!94}{70\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!11}a+\frac{10\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!11}$, $\frac{48\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!49}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{81\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{83\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!69}{70\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!71}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!68}{70\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!27}{70\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!11}a+\frac{34\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!11}$, $\frac{52\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{93\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{86\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!03}{70\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!42}{70\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!68}{70\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!11}a+\frac{12\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!11}$, $\frac{12\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{56\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!45}{75\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!77}a+\frac{45\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{79\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!04}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!77}a-\frac{54\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{25\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!68}{75\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{62\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!99}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!97}{75\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!77}a+\frac{17\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{12\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{41\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!70}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!74}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!24}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{87\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!77}a-\frac{10\!\cdots\!44}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{23\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{53\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!48}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!86}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!77}a-\frac{23\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{25\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!77}{75\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!11}{75\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!29}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{71\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!77}a+\frac{26\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{36\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{58\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{78\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{88\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{63\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!58}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!16}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!48}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!77}a-\frac{36\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{34\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!18}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!30}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!64}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!96}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!77}a-\frac{14\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{66\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!03}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!73}{75\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!67}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!77}a+\frac{44\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{18\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!46}{75\!\cdots\!63}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!56}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{71\!\cdots\!30}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!94}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!88}{75\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!77}a+\frac{14\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{20\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!13}{75\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{98\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!30}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!77}a-\frac{13\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{30\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{90\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!46}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!95}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!77}a-\frac{17\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{21\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{89\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!27}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!66}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!77}a+\frac{21\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{19\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{39\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{64\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!74}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!52}{39\!\cdots\!77}a-\frac{14\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{24\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!72}{75\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!95}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!77}a+\frac{17\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{16\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{43\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!61}{75\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!40}{75\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{96\!\cdots\!36}{75\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!77}a-\frac{14\!\cdots\!44}{39\!\cdots\!77}$, $\frac{17\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{70\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!51}{75\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!77}a+\frac{17\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!77}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 142084898352538880000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 142084898352538880000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1062902186278237918117233053427651242767434712947962643489}}\cr\approx \mathstrut & 0.292469887467378 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459):

A solvable group of order 177147

The 251 conjugacy class representatives for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Character table for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{6}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$82$
\(19\)	19.3.2.1	$x^{3} + 76$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.2	$x^{3} + 19$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.2	$x^{3} + 19$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.0.1	$x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$