↑

Properties

Label 27.27.1015969162...6561.1
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $3^{66}\cdot 163^{26}$
Root discriminant $1979.48$
Ramified primes $3, 163$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{27}$ (as 27T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-2430775462661304142463, 8048659263603645557385, -1109799760040952250707, -9009420285696855022620, 761157212479400273814, 2916568706309748047241, 80459334094115940561, -411564370609290248289, -45879597049721326029, 27393004600121870850, 4794638783805720162, -885777567591533238, -225363753591493305, 11722756835593800, 5633195024422557, 48326300884575, -79721600074956, -3448527231303, 644999384720, 44085669327, -2885233986, -270579837, 6551622, 880200, -5868, -1467, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 1467*x^25 - 5868*x^24 + 880200*x^23 + 6551622*x^22 - 270579837*x^21 - 2885233986*x^20 + 44085669327*x^19 + 644999384720*x^18 - 3448527231303*x^17 - 79721600074956*x^16 + 48326300884575*x^15 + 5633195024422557*x^14 + 11722756835593800*x^13 - 225363753591493305*x^12 - 885777567591533238*x^11 + 4794638783805720162*x^10 + 27393004600121870850*x^9 - 45879597049721326029*x^8 - 411564370609290248289*x^7 + 80459334094115940561*x^6 + 2916568706309748047241*x^5 + 761157212479400273814*x^4 - 9009420285696855022620*x^3 - 1109799760040952250707*x^2 + 8048659263603645557385*x - 2430775462661304142463)
 
gp: K = bnfinit(x^27 - 1467*x^25 - 5868*x^24 + 880200*x^23 + 6551622*x^22 - 270579837*x^21 - 2885233986*x^20 + 44085669327*x^19 + 644999384720*x^18 - 3448527231303*x^17 - 79721600074956*x^16 + 48326300884575*x^15 + 5633195024422557*x^14 + 11722756835593800*x^13 - 225363753591493305*x^12 - 885777567591533238*x^11 + 4794638783805720162*x^10 + 27393004600121870850*x^9 - 45879597049721326029*x^8 - 411564370609290248289*x^7 + 80459334094115940561*x^6 + 2916568706309748047241*x^5 + 761157212479400273814*x^4 - 9009420285696855022620*x^3 - 1109799760040952250707*x^2 + 8048659263603645557385*x - 2430775462661304142463, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{27} - 1467 x^{25} - 5868 x^{24} + 880200 x^{23} + 6551622 x^{22} - 270579837 x^{21} - 2885233986 x^{20} + 44085669327 x^{19} + 644999384720 x^{18} - 3448527231303 x^{17} - 79721600074956 x^{16} + 48326300884575 x^{15} + 5633195024422557 x^{14} + 11722756835593800 x^{13} - 225363753591493305 x^{12} - 885777567591533238 x^{11} + 4794638783805720162 x^{10} + 27393004600121870850 x^{9} - 45879597049721326029 x^{8} - 411564370609290248289 x^{7} + 80459334094115940561 x^{6} + 2916568706309748047241 x^{5} + 761157212479400273814 x^{4} - 9009420285696855022620 x^{3} - 1109799760040952250707 x^{2} + 8048659263603645557385 x - 2430775462661304142463 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $27$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[27, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(101596916227182385192221366107383951083708123828032373165177575777864460122174394998136561=3^{66}\cdot 163^{26}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1979.48$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 163$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(4401=3^{3}\cdot 163\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{4401}(2428,·)$, $\chi_{4401}(1,·)$, $\chi_{4401}(3970,·)$, $\chi_{4401}(1093,·)$, $\chi_{4401}(4225,·)$, $\chi_{4401}(3337,·)$, $\chi_{4401}(970,·)$, $\chi_{4401}(3607,·)$, $\chi_{4401}(1039,·)$, $\chi_{4401}(919,·)$, $\chi_{4401}(25,·)$, $\chi_{4401}(625,·)$, $\chi_{4401}(3487,·)$, $\chi_{4401}(3952,·)$, $\chi_{4401}(2245,·)$, $\chi_{4401}(3556,·)$, $\chi_{4401}(1063,·)$, $\chi_{4401}(169,·)$, $\chi_{4401}(2155,·)$, $\chi_{4401}(4396,·)$, $\chi_{4401}(4207,·)$, $\chi_{4401}(880,·)$, $\chi_{4401}(3313,·)$, $\chi_{4401}(4276,·)$, $\chi_{4401}(2422,·)$, $\chi_{4401}(1978,·)$, $\chi_{4401}(1276,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{26} + \frac{5776570854715497410745876412881805977356515070890932050744840169875842866833262273232700855141169741218705906785314247641155967741804005632625417094647109659845992635213816203068768412739350520083494121796592722152118802871745803364407818179296727385477777090309638023934716967131}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{25} - \frac{13751281381523055871483266782639506161688832369557126277117631285758953116774672794612517029024195207550076930135308642588633960551939809578370198777485303518019406925667244154399830987962207791344676015319630037308507770769987781708450402440910667062785338297849895554038020162515}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{24} - \frac{9752832302976045936958849256718935602563825971893687789733942827748142740826138745170121274329751969212438531866830639691081311265176212832000067391435562243989186749050735353974476304580759259234539245315865915549015728935073752986443367159289682190432735221891304617773330126352}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{23} + \frac{9646942820293871673653579930978306408127248857823592949278567398119113888487743913405980185586241006297165251580696577226283260394382234251117703062374932977213701636833611042531433113597911681042782217954155900866756357423190469637706956806436209241837614965713328609754764983488}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{22} + \frac{19807698781057076766581174146645665329476388126212446061171657886524690458427163642831960624080727160525019993047718056623338742537984804938115261869337513503305735242901939580499650246785768894097199784900653594934293865315241182952335353286432954237962439011872354799906459932779}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{21} - \frac{346505657420654742618022026993003742159844036904756524267889112108894208410562505101032667215795006877948737814553993189447671194394213263551991152857237115971412906343339015282853249734080406959131152470768774226538648446415423115011234515245340004361824834928096588639060961039}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{20} + \frac{16253142339952490233887058429539881335738535687593359257957576584750604203919332037543980281031666145482797134582685515427425792766043007759777949859610298785929323306703592369215542842724268191533096028395127736907202367622205755621402258078676429459735254968956124343497032000541}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{19} + \frac{8324396322083774111799672760570434318039236014771526490447261298742881837527373909396435775256341812141553503722482217444212590177984747731748619119474516528108881318046975765610591833835111839661671605588144478775580358929778692567501348963139557997440083311977044201889865131105}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{18} + \frac{16840307962303095787779172984921890799404975980832824361997242839271591419844506276479400031331444406419627145996605254360438614911594395555243132911853539274567221336251427514702449715158935616499612010837074649506535207151462471235636923333967172903912178813411024450143262342377}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{17} - \frac{20260321065924039372101565160880910623977632083507663204763118859616981629208862684766317936943411560552587561272654052827553511390434218429824930541190156075612934685888037065574735372020469873966036057399046544392073100766958429011229913872460967720487657399488573835044099555950}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{16} + \frac{17743614657106097706819773240325596089388945301709828802187878761275784399157321067265927985147160843461835191238152079372040231579683706689708063211356761763824254950110166579815559837913994765954745419946646768697953200967406979839703325336088193821771913121089547291693577595488}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{15} - \frac{14378385424186716281974193210786659809868773933489939512918484257036985122143893845345127036467016543964951356481287755104541231109195406295273805883229247733323822669883196495645948675027922474311048423337231451487573163724876008321921630818737821475863579596670944452728085280007}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{14} + \frac{18901957659547369851159030320550240224670934637844777242352556351285819012703375098507215556064085191629671259834433952205011477025391936132525456847056706441915391897375854385827318274913563164702357230563638655952101998299325125048298173406808089837819006084174239660021805957072}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{13} - \frac{6718310164808174399194854977425533461541433857659612390136772686723477391437938608171363894068931379715772202602772673673350563657251242556061997934727853912890169353029309249004324120456823399029652015690691478478228633167697728783294577544283119831486778574793715594416388391615}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{12} + \frac{6748809844196670430123923187388174695565487460419952336957968567971353880149471167215271403308209061575010847412601034728650209519931500107427398093961504406078345755723897160476171464269045213839046768934948268592136073655680127874772822846236016533762639688379024247794195262622}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{11} + \frac{7452184953235574560367875097810047048668511062907206499960672827059641423167543211273625794583551911745912049769734724282427495693839837648787025109765991159980879494947747788180630176549292491483213025508739237865177717200201459423819447818265634641663561475048766237096013945095}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{10} - \frac{20283735426334327775230262273661179473906199890050629935190748560071052328780151187250580152253517641702077529792027468369037775615334379344953189188731120850729803461668842137601707833418731368805139027578907757829251941782051849337493749767206603052398408064610649450351014847021}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{9} + \frac{900524274065612009580196694037225500722126806225850156000921049142739754622986591477239396033741436945400277039433308742818221164742503455308451632352901971370193883537913145544137578226306175732084403145340625399644243325364809624909241262542148448878670049103516114653544629394}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{8} - \frac{18477314148881102060680628657124153278354587827281318363434908052373323672323515050396367122990086540136990008305671503866852312476193705308922543858075113177749681249242252790752400706088088624690936335394657236572025137830566474238657095877361889521657363670096416972899136078653}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{7} + \frac{16788138927764644634061776822311945195492575271268426052496113013388516815560968506986245186014584858690294424849919222859899026899831237258506517789884221248365708855957459902480522587897924294060085642098782193876338902193839338231403937447963215237024523903690785666521846763468}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{6} - \frac{7006327203947856878724972004130781047427030473071248988282901738376592994978087968164539159332267147737191374101516952290833941094528406879016956496483299282365164126181564858654842317747937956522258291533974791446943139773223327147884795674236826688071900978713616887236314524513}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{5} - \frac{19899874137462927689603151094579058877074222057592947104538696476844926840551386298762178766305797395267026574924904900798995191437560541620630697918364674621019835443364793258587357361853970171916040975741577923480139441456969481415858084807544485337278908508137891701342157301575}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{4} - \frac{15629501396717263387071754384768348479391105811362785753290425832460759577678262865941300246303253286061954246295865333213406957190057055668330865527243167063158108407449440955906813736784817973308329583223847384371178763741655386843866682293159750301417102464607477386341196089688}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{3} + \frac{1241461100535681202054672502529706952228615737451072570542801143776877921813376672943271643103038479023741581201795570692609359482015333926993798438795424038211744106282486913829903064621715015361834644779410664186285140112109565598702751320155318887285219956583349483456555392040}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a^{2} - \frac{6284022226089083981422786766889645090720060512667546267840565601918202969511310901473512177346009844960392886804627162558339516707886796983505604141138760138691704523632428028861361019252457499320588829148437276514707516370235001179990838981325060314866810803932490642388310022576}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629} a + \frac{19007408995786139469432945714653948212206837606990986097262005027502402090930969040971096783434578243489860058845958636674422934030967007354380323474414353497687349684976156604464782501659704781950108860961637969334312876483435859846396010562079310733616700886429980704860625961619}{43696695800576310637900648285774468234991762236143487110748345528271631914011155999948099936425086188771557815633712170186552576807157797287712785917985297227505475312577656722738862226929373856425699894191563158955039662401355041723415947429475092745901378225377444559609407921629}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $26$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{27}$ (as 27T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_{27}$
Character table for $C_{27}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.26569.1, 9.9.264823116336636606665361.4

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $27$ R ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
163Data not computed