LMFDB - Number field 27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928)

gp: K = bnfinit(y^27 - 11*y^26 + 7*y^25 + 393*y^24 - 1777*y^23 - 1339*y^22 + 33149*y^21 - 122161*y^20 + 301221*y^19 - 901165*y^18 + 2771309*y^17 - 5696089*y^16 + 7240134*y^15 - 11573472*y^14 + 45471960*y^13 - 153604016*y^12 + 357338624*y^11 - 615897728*y^10 + 876134656*y^9 - 1154442240*y^8 + 1414654976*y^7 - 1520924672*y^6 + 1526870016*y^5 - 1494863872*y^4 + 1216438272*y^3 - 684785664*y^2 + 248741888*y - 73596928, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928)

$ x^{27} - 11 x^{26} + 7 x^{25} + 393 x^{24} - 1777 x^{23} - 1339 x^{22} + 33149 x^{21} - 122161 x^{20} + \cdots - 73596928 $ x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$27$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[1, 13]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$-929766412363569678535445062868135961189021577764947$ -929766412363569678535445062868135961189021577764947 $\medspace = -\,7^{18}\cdot 563^{13}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$77.22$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$7^{2/3}563^{1/2}\approx 86.82661914013458$
Ramified primes:	$7$, $563$ 7, 563	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q(\sqrt{-563}) $
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$1$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{16}a^{10}+\frac{1}{16}a^{9}-\frac{1}{8}a^{7}-\frac{1}{8}a^{6}-\frac{3}{16}a^{4}-\frac{3}{16}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{16}a^{11}-\frac{1}{16}a^{9}-\frac{1}{8}a^{8}-\frac{1}{8}a^{6}+\frac{1}{16}a^{5}+\frac{7}{16}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{16}a^{12}-\frac{1}{16}a^{9}-\frac{1}{16}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{16}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{32}a^{13}-\frac{1}{32}a^{10}-\frac{1}{8}a^{9}+\frac{3}{32}a^{7}+\frac{5}{32}a^{4}-\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{4}a$, $\frac{1}{64}a^{14}-\frac{1}{64}a^{11}+\frac{1}{16}a^{9}+\frac{3}{64}a^{8}-\frac{1}{8}a^{7}-\frac{1}{8}a^{6}-\frac{11}{64}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}+\frac{7}{16}a^{3}-\frac{3}{8}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{256}a^{15}-\frac{5}{256}a^{12}-\frac{1}{32}a^{11}-\frac{1}{32}a^{10}+\frac{19}{256}a^{9}-\frac{3}{32}a^{8}+\frac{1}{256}a^{6}+\frac{5}{32}a^{5}-\frac{3}{16}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{512}a^{16}-\frac{5}{512}a^{13}+\frac{1}{64}a^{12}-\frac{1}{64}a^{11}+\frac{3}{512}a^{10}+\frac{1}{64}a^{9}+\frac{33}{512}a^{7}-\frac{1}{64}a^{6}-\frac{3}{32}a^{5}-\frac{3}{32}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{8}a$, $\frac{1}{1024}a^{17}-\frac{5}{1024}a^{14}+\frac{1}{128}a^{13}-\frac{1}{128}a^{12}+\frac{3}{1024}a^{11}+\frac{1}{128}a^{10}+\frac{33}{1024}a^{8}+\frac{15}{128}a^{7}+\frac{5}{64}a^{6}+\frac{13}{64}a^{5}+\frac{3}{16}a^{4}+\frac{3}{8}a^{3}+\frac{5}{16}a^{2}$, $\frac{1}{1024}a^{18}-\frac{1}{1024}a^{15}-\frac{1}{128}a^{14}-\frac{1}{128}a^{13}-\frac{17}{1024}a^{12}-\frac{1}{128}a^{11}-\frac{1}{32}a^{10}+\frac{45}{1024}a^{9}-\frac{3}{128}a^{8}-\frac{3}{64}a^{7}+\frac{21}{256}a^{6}+\frac{1}{64}a^{5}+\frac{3}{16}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}+\frac{3}{8}a^{2}+\frac{1}{4}$, $\frac{1}{1024}a^{19}-\frac{1}{1024}a^{16}-\frac{1}{128}a^{14}+\frac{15}{1024}a^{13}+\frac{1}{64}a^{12}-\frac{1}{32}a^{11}+\frac{13}{1024}a^{10}-\frac{1}{16}a^{9}-\frac{7}{64}a^{8}+\frac{13}{256}a^{7}-\frac{5}{128}a^{6}+\frac{1}{16}a^{5}-\frac{5}{32}a^{4}+\frac{1}{16}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{20480}a^{20}+\frac{7}{20480}a^{19}-\frac{7}{20480}a^{18}+\frac{3}{20480}a^{17}-\frac{3}{20480}a^{16}-\frac{1}{4096}a^{15}+\frac{43}{20480}a^{14}+\frac{157}{20480}a^{13}+\frac{603}{20480}a^{12}-\frac{319}{20480}a^{11}+\frac{59}{4096}a^{10}-\frac{407}{20480}a^{9}-\frac{23}{320}a^{8}-\frac{237}{2560}a^{7}+\frac{239}{2560}a^{6}-\frac{1}{8}a^{5}+\frac{63}{320}a^{4}+\frac{159}{320}a^{3}-\frac{19}{40}a^{2}-\frac{17}{40}a-\frac{7}{40}$, $\frac{1}{81920}a^{21}+\frac{1}{81920}a^{20}-\frac{29}{81920}a^{19}-\frac{7}{16384}a^{18}-\frac{21}{81920}a^{17}-\frac{7}{81920}a^{16}+\frac{153}{81920}a^{15}+\frac{379}{81920}a^{14}-\frac{39}{81920}a^{13}-\frac{977}{81920}a^{12}+\frac{2209}{81920}a^{11}+\frac{1283}{81920}a^{10}+\frac{761}{8192}a^{9}+\frac{187}{10240}a^{8}-\frac{529}{10240}a^{7}+\frac{493}{5120}a^{6}+\frac{223}{1280}a^{5}-\frac{79}{1280}a^{4}-\frac{193}{640}a^{3}-\frac{3}{160}a^{2}+\frac{9}{32}a-\frac{29}{80}$, $\frac{1}{163840}a^{22}-\frac{1}{163840}a^{21}+\frac{1}{163840}a^{20}-\frac{73}{163840}a^{19}+\frac{13}{32768}a^{18}-\frac{29}{163840}a^{17}+\frac{71}{163840}a^{16}-\frac{7}{163840}a^{15}+\frac{739}{163840}a^{14}-\frac{455}{32768}a^{13}+\frac{1139}{163840}a^{12}+\frac{897}{163840}a^{11}+\frac{741}{40960}a^{10}-\frac{1827}{40960}a^{9}-\frac{1291}{20480}a^{8}+\frac{1}{1024}a^{7}+\frac{5}{1024}a^{6}+\frac{79}{512}a^{5}-\frac{153}{640}a^{4}-\frac{121}{640}a^{3}+\frac{143}{320}a^{2}+\frac{37}{80}a-\frac{27}{80}$, $\frac{1}{655360}a^{23}-\frac{1}{655360}a^{22}-\frac{3}{655360}a^{21}+\frac{3}{655360}a^{20}-\frac{219}{655360}a^{19}-\frac{289}{655360}a^{18}+\frac{15}{131072}a^{17}+\frac{101}{655360}a^{16}+\frac{207}{655360}a^{15}+\frac{5089}{655360}a^{14}-\frac{237}{131072}a^{13}+\frac{1745}{131072}a^{12}+\frac{629}{20480}a^{11}-\frac{401}{16384}a^{10}-\frac{493}{40960}a^{9}+\frac{271}{2560}a^{8}-\frac{403}{10240}a^{7}-\frac{51}{1280}a^{6}-\frac{37}{320}a^{5}+\frac{49}{1280}a^{4}-\frac{67}{640}a^{3}-\frac{9}{32}a^{2}+\frac{3}{20}a+\frac{59}{160}$, $\frac{1}{56360960}a^{24}-\frac{13}{56360960}a^{23}-\frac{47}{56360960}a^{22}-\frac{337}{56360960}a^{21}-\frac{1319}{56360960}a^{20}+\frac{17483}{56360960}a^{19}-\frac{1821}{11272192}a^{18}+\frac{1769}{56360960}a^{17}-\frac{229}{56360960}a^{16}+\frac{106181}{56360960}a^{15}-\frac{116773}{56360960}a^{14}-\frac{10279}{56360960}a^{13}-\frac{80353}{2818048}a^{12}+\frac{70923}{3522560}a^{11}-\frac{22369}{1761280}a^{10}-\frac{97827}{880640}a^{9}+\frac{24789}{220160}a^{8}+\frac{37299}{440320}a^{7}-\frac{185}{5504}a^{6}-\frac{7051}{55040}a^{5}-\frac{577}{27520}a^{4}+\frac{257}{6880}a^{3}-\frac{727}{13760}a^{2}+\frac{529}{13760}a-\frac{1019}{3440}$, $\frac{1}{141466009600}a^{25}+\frac{423}{141466009600}a^{24}-\frac{60927}{141466009600}a^{23}+\frac{366687}{141466009600}a^{22}-\frac{663047}{141466009600}a^{21}-\frac{1768309}{141466009600}a^{20}+\frac{6932819}{28293201920}a^{19}-\frac{21271727}{141466009600}a^{18}+\frac{20167323}{141466009600}a^{17}+\frac{130105589}{141466009600}a^{16}+\frac{83873147}{141466009600}a^{15}-\frac{6938719}{5658640384}a^{14}+\frac{72618983}{35366502400}a^{13}+\frac{15509509}{35366502400}a^{12}-\frac{180241603}{8841625600}a^{11}+\frac{30115279}{2210406400}a^{10}-\frac{247488621}{2210406400}a^{9}-\frac{12324203}{110520320}a^{8}-\frac{71869}{1381504}a^{7}+\frac{1007317}{27630080}a^{6}+\frac{5235779}{138150400}a^{5}-\frac{1911407}{8634400}a^{4}+\frac{792099}{17268800}a^{3}-\frac{16807717}{34537600}a^{2}+\frac{3946809}{8634400}a-\frac{1250577}{8634400}$, $\frac{1}{49\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!19}{49\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!79}{49\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!29}{99\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{62\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!92}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!73}{49\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!71}{49\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!20}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!41}{83\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!00}a-\frac{66\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!00}$ 1, a, a^2, a^3, 1/2*a^4 - 1/2*a, 1/2*a^5 - 1/2*a^2, 1/4*a^6 - 1/4*a^5 + 1/4*a^3 - 1/4*a^2, 1/4*a^7 - 1/4*a^5 - 1/4*a^4 - 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/4*a^8 - 1/4*a^2, 1/4*a^9 - 1/4*a^3, 1/16*a^10 + 1/16*a^9 - 1/8*a^7 - 1/8*a^6 - 3/16*a^4 - 3/16*a^3 - 1/2*a^2 - 1/2*a - 1/2, 1/16*a^11 - 1/16*a^9 - 1/8*a^8 - 1/8*a^6 + 1/16*a^5 + 7/16*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2, 1/16*a^12 - 1/16*a^9 - 1/16*a^6 - 1/4*a^5 + 1/16*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a - 1/2, 1/32*a^13 - 1/32*a^10 - 1/8*a^9 + 3/32*a^7 + 5/32*a^4 - 1/8*a^3 + 1/4*a^2 - 1/4*a, 1/64*a^14 - 1/64*a^11 + 1/16*a^9 + 3/64*a^8 - 1/8*a^7 - 1/8*a^6 - 11/64*a^5 - 1/4*a^4 + 7/16*a^3 - 3/8*a^2 - 1/2, 1/256*a^15 - 5/256*a^12 - 1/32*a^11 - 1/32*a^10 + 19/256*a^9 - 3/32*a^8 + 1/256*a^6 + 5/32*a^5 - 3/16*a^4 + 1/8*a^3 - 1/2*a^2 - 1/4, 1/512*a^16 - 5/512*a^13 + 1/64*a^12 - 1/64*a^11 + 3/512*a^10 + 1/64*a^9 + 33/512*a^7 - 1/64*a^6 - 3/32*a^5 - 3/32*a^4 + 1/8*a^3 - 1/2*a^2 + 1/8*a, 1/1024*a^17 - 5/1024*a^14 + 1/128*a^13 - 1/128*a^12 + 3/1024*a^11 + 1/128*a^10 + 33/1024*a^8 + 15/128*a^7 + 5/64*a^6 + 13/64*a^5 + 3/16*a^4 + 3/8*a^3 + 5/16*a^2, 1/1024*a^18 - 1/1024*a^15 - 1/128*a^14 - 1/128*a^13 - 17/1024*a^12 - 1/128*a^11 - 1/32*a^10 + 45/1024*a^9 - 3/128*a^8 - 3/64*a^7 + 21/256*a^6 + 1/64*a^5 + 3/16*a^4 - 1/4*a^3 + 3/8*a^2 + 1/4, 1/1024*a^19 - 1/1024*a^16 - 1/128*a^14 + 15/1024*a^13 + 1/64*a^12 - 1/32*a^11 + 13/1024*a^10 - 1/16*a^9 - 7/64*a^8 + 13/256*a^7 - 5/128*a^6 + 1/16*a^5 - 5/32*a^4 + 1/16*a^3 - 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/20480*a^20 + 7/20480*a^19 - 7/20480*a^18 + 3/20480*a^17 - 3/20480*a^16 - 1/4096*a^15 + 43/20480*a^14 + 157/20480*a^13 + 603/20480*a^12 - 319/20480*a^11 + 59/4096*a^10 - 407/20480*a^9 - 23/320*a^8 - 237/2560*a^7 + 239/2560*a^6 - 1/8*a^5 + 63/320*a^4 + 159/320*a^3 - 19/40*a^2 - 17/40*a - 7/40, 1/81920*a^21 + 1/81920*a^20 - 29/81920*a^19 - 7/16384*a^18 - 21/81920*a^17 - 7/81920*a^16 + 153/81920*a^15 + 379/81920*a^14 - 39/81920*a^13 - 977/81920*a^12 + 2209/81920*a^11 + 1283/81920*a^10 + 761/8192*a^9 + 187/10240*a^8 - 529/10240*a^7 + 493/5120*a^6 + 223/1280*a^5 - 79/1280*a^4 - 193/640*a^3 - 3/160*a^2 + 9/32*a - 29/80, 1/163840*a^22 - 1/163840*a^21 + 1/163840*a^20 - 73/163840*a^19 + 13/32768*a^18 - 29/163840*a^17 + 71/163840*a^16 - 7/163840*a^15 + 739/163840*a^14 - 455/32768*a^13 + 1139/163840*a^12 + 897/163840*a^11 + 741/40960*a^10 - 1827/40960*a^9 - 1291/20480*a^8 + 1/1024*a^7 + 5/1024*a^6 + 79/512*a^5 - 153/640*a^4 - 121/640*a^3 + 143/320*a^2 + 37/80*a - 27/80, 1/655360*a^23 - 1/655360*a^22 - 3/655360*a^21 + 3/655360*a^20 - 219/655360*a^19 - 289/655360*a^18 + 15/131072*a^17 + 101/655360*a^16 + 207/655360*a^15 + 5089/655360*a^14 - 237/131072*a^13 + 1745/131072*a^12 + 629/20480*a^11 - 401/16384*a^10 - 493/40960*a^9 + 271/2560*a^8 - 403/10240*a^7 - 51/1280*a^6 - 37/320*a^5 + 49/1280*a^4 - 67/640*a^3 - 9/32*a^2 + 3/20*a + 59/160, 1/56360960*a^24 - 13/56360960*a^23 - 47/56360960*a^22 - 337/56360960*a^21 - 1319/56360960*a^20 + 17483/56360960*a^19 - 1821/11272192*a^18 + 1769/56360960*a^17 - 229/56360960*a^16 + 106181/56360960*a^15 - 116773/56360960*a^14 - 10279/56360960*a^13 - 80353/2818048*a^12 + 70923/3522560*a^11 - 22369/1761280*a^10 - 97827/880640*a^9 + 24789/220160*a^8 + 37299/440320*a^7 - 185/5504*a^6 - 7051/55040*a^5 - 577/27520*a^4 + 257/6880*a^3 - 727/13760*a^2 + 529/13760*a - 1019/3440, 1/141466009600*a^25 + 423/141466009600*a^24 - 60927/141466009600*a^23 + 366687/141466009600*a^22 - 663047/141466009600*a^21 - 1768309/141466009600*a^20 + 6932819/28293201920*a^19 - 21271727/141466009600*a^18 + 20167323/141466009600*a^17 + 130105589/141466009600*a^16 + 83873147/141466009600*a^15 - 6938719/5658640384*a^14 + 72618983/35366502400*a^13 + 15509509/35366502400*a^12 - 180241603/8841625600*a^11 + 30115279/2210406400*a^10 - 247488621/2210406400*a^9 - 12324203/110520320*a^8 - 71869/1381504*a^7 + 1007317/27630080*a^6 + 5235779/138150400*a^5 - 1911407/8634400*a^4 + 792099/17268800*a^3 - 16807717/34537600*a^2 + 3946809/8634400*a - 1250577/8634400, 1/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^26 + 11756009269330471519733084296884465864324858897619/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^25 - 23829446651020766677116185028853378642747558482396679/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^24 - 669007824991844770769162328653890713433685031637573229/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960*a^23 + 62496003734858923597227138079618577449753688619744113/199173818469298603115435944452739018262201651770407981678592*a^22 + 25567097781630190447390427794555505247726516376242622459/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^21 - 118700760926372038113156739255248818424378132128141425409/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^20 + 833398405479186091221824617928285859079185247580697818873/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^19 + 2352792828520977668611128403990842413530996109374567120571/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^18 - 1557692176862068798291252878520218931155304555977503359083/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^17 - 143083490153258967350622546927805297617696470830511499659/160624047152660163802770922945757272792098106266458049740800*a^16 - 3660407624669475542281696580517641098230940451296654348183/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800*a^15 - 6582339359749634080034492366754242795960689068538446742217/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200*a^14 + 644684309923195465273161453605599590353281233471227483337/77802272839569766841967165801851179008672520222815617843200*a^13 - 7968925567489152390349500533450372018248767989405407739/20078005894082520475346365368219659099012263283307256217600*a^12 + 1856463088977654677703024160082882175352825238618056926047/77802272839569766841967165801851179008672520222815617843200*a^11 - 466043004071759490513434739351829970108196939524334635751/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600*a^10 - 2513151138941567819367967296839838398957023463708446061993/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600*a^9 + 11852566867450141008963180813379639252123015712225530767/97252841049462208552458957252313973760840650278519522304*a^8 + 37678608941190829707835964317707818029262701281823252907/486264205247311042762294786261569868804203251392597611520*a^7 - 6549295412298497902110040376925801732857418312335347839/167677312154245187159411995262610299587656293583654348800*a^6 - 21427883021986337142908736681572669373362121987652895989/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600*a^5 - 1105839512653952881747307964249420783389351648965931341/8383865607712259357970599763130514979382814679182717440*a^4 + 467681760193625802046795286244974591166058048684506897881/1215660513118277606905736965653924672010508128481494028800*a^3 - 110146925973164977941791215482061450776737390450230972359/303915128279569401726434241413481168002627032120373507200*a^2 - 1310581185011603542912805169487220167133913711155037971/37989391034946175215804280176685146000328379015046688400*a - 66835142597591681217857703332855661785428079311693575741/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$, $5$

Class group and class number

$C_{6}$, which has order $6$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$13$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{21\!\cdots\!29}{49\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!37}{49\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{88\!\cdots\!23}{99\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!51}{49\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!11}{49\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!93}{49\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{66\!\cdots\!31}{49\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!43}{49\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!99}{99\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!51}{49\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!03}{62\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!20}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!93}{30\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a+\frac{17\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!00}$, $\frac{87\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{91\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{87\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!97}{40\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!91}{62\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{71\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!60}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!91}{97\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!61}{41\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!13}{75\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{54\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!00}a+\frac{13\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!72}$, $\frac{13\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!57}{62\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!37}{62\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!57}{62\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!37}{62\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!89}{62\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!13}{62\!\cdots\!60}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!17}{62\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!23}{62\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!61}{62\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!79}{97\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!19}{83\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!77}{30\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{90\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!00}a+\frac{70\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!60}$, $\frac{47\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{86\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!80}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!51}{80\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!87}{62\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!27}{50\!\cdots\!44}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!53}{97\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!79}{83\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!67}{60\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!20}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!60}a+\frac{26\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!00}$, $\frac{81\!\cdots\!53}{62\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!43}{80\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!80}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!41}{41\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{65\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!00}a+\frac{47\!\cdots\!91}{75\!\cdots\!00}$, $\frac{11\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!40}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!57}{67\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!89}{67\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!59}{67\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!59}{67\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!81}{67\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!03}{67\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!40}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!79}{67\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!91}{67\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!19}{67\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!40}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{98\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!20}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!23}{56\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{85\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!00}a+\frac{76\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!00}$, $\frac{55\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!40}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!27}{40\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!57}{62\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!71}{97\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!80}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!19}{83\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!33}{60\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!60}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!13}{30\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!00}a+\frac{12\!\cdots\!91}{75\!\cdots\!00}$, $\frac{69\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!71}{55\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!48}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!27}{67\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{70\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!81}{53\!\cdots\!16}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!67}{83\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!01}{41\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!00}a+\frac{90\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!80}$, $\frac{71\!\cdots\!77}{49\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!93}{49\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!69}{49\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!07}{49\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!07}{49\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!11}{49\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!79}{49\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!63}{49\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!43}{62\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!69}{80\!\cdots\!04}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!79}{97\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!75}{97\!\cdots\!04}a^{8}-\frac{86\!\cdots\!33}{97\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!77}{41\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!63}{30\!\cdots\!20}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!20}a-\frac{26\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!00}$, $\frac{13\!\cdots\!57}{99\!\cdots\!60}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!77}{99\!\cdots\!60}a^{25}+\frac{97\!\cdots\!33}{99\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!92}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!19}{99\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!97}{99\!\cdots\!60}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!47}{99\!\cdots\!60}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!92}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!51}{99\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!20}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!60}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!92}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!20}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!79}{40\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!20}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!59}{77\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!52}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!60}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!13}{83\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!52}a^{3}+\frac{85\!\cdots\!47}{75\!\cdots\!80}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!07}{60\!\cdots\!44}a-\frac{65\!\cdots\!87}{30\!\cdots\!20}$, $\frac{12\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!73}{49\!\cdots\!80}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{78\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!87}{49\!\cdots\!80}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!80}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!24}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!21}{50\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!47}{97\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!47}{41\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{97\!\cdots\!79}{60\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!00}a+\frac{45\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!00}$, $\frac{10\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!20}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{43\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!93}{85\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{94\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!20}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!37}{42\!\cdots\!28}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!29}{33\!\cdots\!60}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!63}{33\!\cdots\!60}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!29}{67\!\cdots\!52}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!69}{83\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!00}a+\frac{27\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!00}$, $\frac{41\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!37}{49\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!59}{99\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!31}{49\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!11}{49\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!53}{49\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!83}{99\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!31}{62\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!80}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!83}{97\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!61}{41\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!67}{75\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!31}{75\!\cdots\!00}a+\frac{40\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!00}$ 214310147374026890908426543828676722380605050000808929/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^26 - 2175812751189513484788051023205153720908266765809981437/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^25 - 88587826356301149606741930790631106832920510619493523/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^24 + 84542957795947979218244718129902644227906210204336812551/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^23 - 306841981195565073293926094012178255192353963578680477311/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^22 - 578009189137905835780443530177221934338289327031270146493/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^21 + 6657745219506552372683202136935558118783407819639214560631/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^20 - 20161846333448151472575946333825563158739421465207925414143/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^19 + 9139373684667157610441365476070572915455967682103647379399/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^18 - 150477921139667572904598347527319312117422871742720587526451/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^17 + 14684259557925214024753423360516840114979922093141047680717/160624047152660163802770922945757272792098106266458049740800a^16 - 794047050794954844283637111978220727946937694108231233059583/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^15 + 196135319651317679593169318605296306142383275589834016494457/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^14 - 212169118181083777821924483158802481693796882640918952532403/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^13 + 32912112048360825885726716011472020446996726659567476465563/20078005894082520475346365368219659099012263283307256217600a^12 - 99354841741140998385920539852718132898724208868565216074399/19450568209892441710491791450462794752168130055703904460800a^11 + 82611664555876073651182847422320664505537304660497244301449/7780227283956976684196716580185117900867252022281561784320a^10 - 638362599432056457508692692571902970297335074960220214104943/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^9 + 42400667684723693503384201040753537539793415557980126811043/1945056820989244171049179145046279475216813005570390446080a^8 - 5492824270291436245475971238418370627862761972317786411641/194505682098924417104917914504627947521681300557039044608a^7 + 5520056193394173757326685824001923748052681968542858921709/167677312154245187159411995262610299587656293583654348800a^6 - 39694290430893506783958481173918131296481123260700705687241/1215660513118277606905736965653924672010508128481494028800a^5 + 1358528651716980246550824083180707506842346304254248088111/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^4 - 7457697790567876334485967540018291858467130891537078684071/243132102623655521381147393130784934402101625696298805760a^3 + 6130525390360890035519687775858459176062704333562173920393/303915128279569401726434241413481168002627032120373507200a^2 - 1073930335055883458196853772024728888633523661409613652147/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600a + 170661860668742231695608596456130052881294549831910790609/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600, 87810578486471434949187712132699292073264358510964131/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^26 - 912651906803786686453504760034928173044162073336962417/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^25 - 6747385757912472796238326517282486344758184282780747/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^24 + 35057032320651292224774746035235458827407769108012331287/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^23 - 133519253649878323855427795575176975014452786159482668447/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^22 - 222916748790979852999917048610964574997189196943568423829/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^21 + 13136290844439475039669583272080657323137279841453188189/5789936583409843113820812338742413321575629411930464583680a^20 - 8728723393653595912795755967772841587791760136238255255927/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^19 + 19586769078838700247134751545857382473649890682312460322403/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^18 - 64018891029932868852510384055172167132728002870248723523811/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^17 + 6359544971970722448992169854152712291751697871089343213597/40156011788165040950692730736439318198024526566614512435200a^16 - 69956333094682111090302690544169236353694043856468013055467/248967273086623253894294930565923772827752064713009977098240a^15 + 172312550326034791107888329071080562986792523160410091845791/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^14 - 181192589717453378651295843826972009866639120185308290782191/311209091358279067367868663207404716034690080891262471372800a^13 + 28317785171404993975754530391123681904770031780767120683303/10039002947041260237673182684109829549506131641653628108800a^12 - 343005613400902358695749430981464688992814982535120949627477/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^11 + 716582015257953001064443880310960200236124861145631574540703/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^10 - 111741386369630066847491869076000960710734532619859952614093/3890113641978488342098358290092558950433626011140780892160a^9 + 4685286400162159902334118170126669710631904883855899734429/121566051311827760690573696565392467201050812848149402880a^8 - 49324497679859123987136541352971160242950312977663520012791/972528410494622085524589572523139737608406502785195223040a^7 + 2504488314645713245009445247817451068427835916035189350361/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^6 - 35728425523579764643539199376619685813033092953253867129161/607830256559138803452868482826962336005254064240747014400a^5 + 1250855145527624138900713762737130137656566889867949433219/20959664019280648394926499407826287448457036697956793600a^4 - 4339114167646871731612628640933431415289787349340593392513/75978782069892350431608560353370292000656758030093376800a^3 + 5451360956147010273965075609742807695606824980065045583673/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600a^2 - 559468868330035522634286113562419451859920678282012918801/37989391034946175215804280176685146000328379015046688400a + 13789579379878720841007073063922620561326737753714657667/3039151282795694017264342414134811680026270321203735072, 132215514045802319688634691358263960243453527625116627/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^26 - 621333883696069042755404975977322265708345703430780857/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^25 - 532784353948111324686934093092140590205105156586332537/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^24 + 25153670853712611982799715172304233979661132665175739057/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^23 - 77327331988262071774770101475514107192470532645539458637/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^22 - 213135807265088451876844597881965402406489478850559991889/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^21 + 185726540162942973271069152419388553144846448242038610013/62241818271655813473573732641480943206938016178252494274560a^20 - 5105826754081677775896068913638334876152668603615026402117/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^19 + 11630610293317854235553996844402939653891016448428391019323/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^18 - 40557702417677288930021241872751402248084603546759500251061/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^17 + 3793279387941476584139423184841257695302925353993279267987/20078005894082520475346365368219659099012263283307256217600a^16 - 37255152566625786042362453847603804845844566162967058881163/124483636543311626947147465282961886413876032356504988549120a^15 + 344394854626527196811373013810362053697218684365929090125329/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^14 - 236504757134012210286668555035923490126014383260703036013917/311209091358279067367868663207404716034690080891262471372800a^13 + 36097523930333469888107545318626866592962471567911448439961/10039002947041260237673182684109829549506131641653628108800a^12 - 51258517247116956099376635190654123013379256322451117379483/4862642052473110427622947862615698688042032513925976115200a^11 + 406104234388395948640508245709470992071133523883672100719733/19450568209892441710491791450462794752168130055703904460800a^10 - 30380151158845263708119998454588965774659127466688625980179/972528410494622085524589572523139737608406502785195223040a^9 + 80647351057152403677966231294696501071576659867600891527541/1945056820989244171049179145046279475216813005570390446080a^8 - 13136779405603442553062694583784949137706144678797672258553/243132102623655521381147393130784934402101625696298805760a^7 + 5129707540778270139815023759335182513771329054760858767719/83838656077122593579705997631305149793828146791827174400a^6 - 1138596673283881793376792798654157094056261573907830450941/18994695517473087607902140088342573000164189507523344200a^5 + 644352423656481945363554545707860796208811604007756386789/10479832009640324197463249703913143724228518348978396800a^4 - 8538177254995482290033854408758379848385210766252822788087/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600a^3 + 10811983951392171439167276408403874142775704963087710476077/303915128279569401726434241413481168002627032120373507200a^2 - 905672856282252854443263743282755562558227001650072563279/75978782069892350431608560353370292000656758030093376800a + 70909231658458469010039209619413568500783643641987675991/15195756413978470086321712070674058400131351606018675360, 4738627492363662813249282376833654856289560464752413/57899365834098431138208123387424133215756294119304645836800a^26 - 2100467050162695609852530243112004212459843281290272811/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^25 + 121008399421510422472127624365727930742440809370466183/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^24 + 78839456296401162925469730779513561321868822121020449849/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^23 - 309262529876976585940773415317194205873779757528078706689/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^22 - 86300503550808641515797822289556649774326936569764113159/497934546173246507788589861131847545655504129426019954196480a^21 + 6304930830826937994691342356568902322774801623583749264457/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^20 - 21061527839539519709634710105686157827150573562467319935633/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^19 + 50759109581279520558018955327339509946189334460600209266253/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^18 - 158437566108992547683298316787831071531097202916638994753613/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^17 + 15384542865724779348945009512356099353462971360208180364851/80312023576330081901385461472878636396049053133229024870400a^16 - 911024532805753465845785941357693287792171309873438077868641/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^15 + 268369639119069831268023031049144552864316307350445557232487/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^14 - 121121245600567426891372884811471651545252167998959615594167/155604545679139533683934331603702358017345040445631235686400a^13 + 164432223065908199968651974594248625381840682284130753727/50195014735206301188365913420549147747530658208268140544a^12 - 414799127970985364328631999519767497842252220720711790812663/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^11 + 922386148581361584705694507493434319276391674554891400344589/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^10 - 380867720261072615017643397211535618925573986169285251572953/9725284104946220855245895725231397376084065027851952230400a^9 + 2631635767868272879319828140793310571969859426557774019039/48626420524731104276229478626156986880420325139259761152a^8 - 68217567721161436664551157448476176716579967231269913176813/972528410494622085524589572523139737608406502785195223040a^7 + 7020649823823165643992020226781534120325843719799249519579/83838656077122593579705997631305149793828146791827174400a^6 - 1334866516562840383674277508006517436227414567656731531807/15195756413978470086321712070674058400131351606018675360a^5 + 21269277952326086770145209859644591997971722331577798759/243717023480007539475889527997980086609965542999497600a^4 - 50312072528691388864910317347624035253136872734665994582467/607830256559138803452868482826962336005254064240747014400a^3 + 1939497479411782702951904612213847135956236342273064705461/30391512827956940172643424141348116800262703212037350720a^2 - 467548324863645556246287002940456982533591244593489194889/15195756413978470086321712070674058400131351606018675360a + 263334361238021903984261186162006356672680465522387095509/37989391034946175215804280176685146000328379015046688400, 81928498576420618036760133714023710550865570649538706653/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^26 - 309870158022217733709286444518511123541862738048306033827/248967273086623253894294930565923772827752064713009977098240a^25 - 1245949060631184571256532232534684006454007307868060265301/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^24 + 62471315052030358072670624110024430708923912775850074778053/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^23 - 194687533470499112963323897097585787982103697134781254607173/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^22 - 520093125988552485300295308202914941443477236089304432337963/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^21 + 4628402056506089210841296363802202920524186296703075824357947/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^20 - 12868443239108981893657698220803152668140283293762096671538717/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^19 + 29482290257510685269770229371626132650424249995068061996105549/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^18 - 20425588340055277021414640924952650492486484463933840777441221/248967273086623253894294930565923772827752064713009977098240a^17 + 1912029532157714621880077353226437879099032802940804419726843/8031202357633008190138546147287863639604905313322902487040a^16 - 475617984787079441927030343876649545487610597749780165088521921/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^15 + 451778318806884281229362730604365291370234356221078540182769407/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^14 - 29966447492033341010687480914935983934351506733812558384479691/31120909135827906736786866320740471603469008089126247137280a^13 + 45158086435064613823468630557030235829787530547776556459337851/10039002947041260237673182684109829549506131641653628108800a^12 - 206507640898940144521473776631744297039078159802011133707914943/15560454567913953368393433160370235801734504044563123568640a^11 + 32262561011847524921071132077694139859245166673041558851734117/1215660513118277606905736965653924672010508128481494028800a^10 - 779611544172946754452989979710123989128497049156403733703104417/19450568209892441710491791450462794752168130055703904460800a^9 + 25976697325499830043663306408517979743464398315641485158799741/486264205247311042762294786261569868804203251392597611520a^8 - 263846257273320756522523947437343005497728022454439377062827/3798939103494617521580428017668514600032837901504668840a^7 + 3309268823741648944340079103100714828870218974529362825369341/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^6 - 95154251955832061903499606175041398293603565910657807638951349/1215660513118277606905736965653924672010508128481494028800a^5 + 839349040534502832866808278664861969758819652277432570704003/10479832009640324197463249703913143724228518348978396800a^4 - 11103525656298180583337227286794485616535399207681291534015293/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600a^3 + 14364656728996163473528585060075019688723800621456176949173137/303915128279569401726434241413481168002627032120373507200a^2 - 651064288031381353246978811569912269743101643029018553417857/37989391034946175215804280176685146000328379015046688400a + 476554395148890014553127545971062009804760790126002198370191/75978782069892350431608560353370292000656758030093376800, 112246935418308700183690044831164078007129318526412391/13457690437114770480772698949509393125824435930432971735040a^26 - 6128992500549989163831096565253213396394800226288210057/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^25 + 3390545390768608893604837293250253617630214396828252189/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^24 + 221624206285070602435998363947481906691773007530066781059/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^23 - 981878022744187509434822926988321278883479496132621130859/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^22 - 853797534146220028786646545817559222912302777185467585881/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^21 + 18706893863266332505934441942375944550649249365973175997503/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^20 - 13433395714359569116989851515660463326293745937409999402671/13457690437114770480772698949509393125824435930432971735040a^19 + 161118688212716831955330484662615787337779136682105801873479/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^18 - 481580093834543549359800437093779691648309492388557884773791/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^17 + 48078684280619949139187879728549939270929063970632507796897/2170595231792704916253661120888611794487812246844027699200a^16 - 3006205023579931102366760359557903850968508103616810202578819/67288452185573852403863494747546965629122179652164858675200a^15 + 8326214686891475406290051973930796013385682314985731010067/156484772524590354427589522668713873556098092214336880640a^14 - 2054705120881022299313443634365879628394589318284120149187/24450745706967242879310862916986542743140326908490137600a^13 + 98361653407482886113363343767636934596572280444210981895271/271324403974088114531707640111076474310976530855503462400a^12 - 1304540266761688536466768628475802681650512635409385386337571/1051382065399591443810367105430421337955034057065075916800a^11 + 2974789485044587077147487579410536578825814903468459942139007/1051382065399591443810367105430421337955034057065075916800a^10 - 154705932051981063012489562810645247764624579176166269865529/32855689543737232619073972044700666811094814283283622400a^9 + 338425938525003566429224482076463458739218994397188942346091/52569103269979572190518355271521066897751702853253795840a^8 - 217345976038403370189836037049262592288300676010655867808267/26284551634989786095259177635760533448875851426626897920a^7 + 565894798164557341831929650311015553276874925103448991523/56647740592650401067368917318449425536370369453937280a^6 - 85565324779301982701573452123260059047861187062063427790331/8213922385934308154768493011175166702773703570820905600a^5 + 2855757580255173590334364741317109104111804540107934088607/283238702963252005336844586592247127681851847269686400a^4 - 160461431121668948782607764554705366480074197861853760618581/16427844771868616309536986022350333405547407141641811200a^3 + 62200137046443822127879167245511550352127265530655206763197/8213922385934308154768493011175166702773703570820905600a^2 - 6806683091225630081983516174745259671519428077728165386789/2053480596483577038692123252793791675693425892705226400a + 767619778828834024140563387837986283082803686232246152967/2053480596483577038692123252793791675693425892705226400, 55887201341242558234993579111165812528541732866005015597/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^26 - 504651833892229082442013355999973503383535108065768097227/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^25 - 614296257088507764606773488703460475501234045194666314973/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^24 + 96874484364878700017988472666060555921444247194147426759/5789936583409843113820812338742413321575629411930464583680a^23 - 11594801689763144902491656403709745523753728249086989961781/248967273086623253894294930565923772827752064713009977098240a^22 - 192518736917053640218829408948659685603036007527214367595267/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^21 + 1476661985766665754750270700087227167233209765431133065638797/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^20 - 3871167711746610807635847049939652414623391406907180491010809/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^19 + 9022585355169997471972858401235359232825782435570816053797797/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^18 - 32251748143330983135965777670296629572322614111221751740577301/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^17 + 2913740199327079134414486325775393358252315126613305887436027/40156011788165040950692730736439318198024526566614512435200a^16 - 136310303724642766805947122028019262245752217813047469741613201/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^15 + 63818702299649197519560330204328027509291965595839382639164357/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^14 - 48510769464848245231808723169952740982712307673085357102732023/155604545679139533683934331603702358017345040445631235686400a^13 + 14259976176695970803365441015750030533990068371985276672089729/10039002947041260237673182684109829549506131641653628108800a^12 - 157581003503520055781178001318986051425246092670814493226098417/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^11 + 76710812433919311814448402685226544861187740490883591939683643/9725284104946220855245895725231397376084065027851952230400a^10 - 113906857780715003482151555383416268340930742143523225763100271/9725284104946220855245895725231397376084065027851952230400a^9 + 1899305850188125791326412968633174928544808714224644374894567/121566051311827760690573696565392467201050812848149402880a^8 - 2456322490294325736805072197195860499250952362620846040135473/121566051311827760690573696565392467201050812848149402880a^7 + 1891352509332343100038199522724785059783887205612964371897219/83838656077122593579705997631305149793828146791827174400a^6 - 13664521005978039721031007207666146342963419705852988150288833/607830256559138803452868482826962336005254064240747014400a^5 + 48052388141186027010561521505408590230613137516648636556833/2095966401928064839492649940782628744845703669795679360a^4 - 6248206896731171256421247119158296462061964264992277639397513/303915128279569401726434241413481168002627032120373507200a^3 + 1937769385727424209944198047834850534165565299136423709576019/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600a^2 - 177766326435616272089571793038176535383247781128888367567353/37989391034946175215804280176685146000328379015046688400a + 122212065603487094532687650399307701035833578308288840971891/75978782069892350431608560353370292000656758030093376800, 692219537419108235153880158532890953546388281219165383/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^26 - 5457853573554737620932951343339396335085385841395367591/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^25 - 12532012561797546117543101131771263339363092851121449541/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^24 + 235426622571890510764295941406106977209271998211871646541/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^23 - 486498048261245147234612324765975108180346267302818329461/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^22 - 2555793045422336703323445097540633079836111434039477445007/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^21 + 3018442524217597327144737398030386540550563845042017071217/34340313529189414330247576629782589355552008925932410634240a^20 - 36010764671764371226875120057493698538227784981134576081701/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^19 + 90203984548650702996020225067581222522212463033964454572689/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^18 - 331627148254514222942805146472196840280478014682615053312753/171701567645947071651237883148912946777760044629662053171200a^17 + 27513416655455019861644140896183239195415517669424269919471/5538760246643453924233480101577836992830969181602001715200a^16 - 46259483014659838457635411885197289746706487259475840783085/6868062705837882866049515325956517871110401785186482126848a^15 + 142277675850070129552632898921750463468135725707096913387547/21462695955743383956404735393614118347220005578707756646400a^14 - 265331944112034036034612178861872129002655051941427307524507/10731347977871691978202367696807059173610002789353878323200a^13 + 72795355994700302876299280014401051572860822212095514500577/692345030830431740529185012697229624103871147700250214400a^12 - 188791054026781851276233703866455324618216053661297901035027/670709248616980748637647981050441198350625174334617395200a^11 + 701456786200456955010305895284873232068388518672858643759431/1341418497233961497275295962100882396701250348669234790400a^10 - 40782099547175375726509063622401277290725232442603648507981/53656739889358459891011838484035295868050013946769391616a^9 + 17087158378997729344481845263325167583526837925889566319649/16767731215424518715941199526261029958765629358365434880a^8 - 10919693346286227137808021075159072274620571806456184128767/8383865607712259357970599763130514979382814679182717440a^7 + 239593599138666855608262347402442060354303257214313456891227/167677312154245187159411995262610299587656293583654348800a^6 - 60339406288170325777232024812243269277340765662898069025899/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^5 + 61153577122402150599517277784861048524643701668387810143169/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^4 - 52827866821344478675080358170166312490917795748008964564401/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^3 + 3868584236448297855272152826064468234844739488203612245841/5239916004820162098731624851956571862114259174489198400a^2 - 712983704405524138945834879644906479681864675789430513669/2619958002410081049365812425978285931057129587244599200a + 90077782099529755924948935422735515101823337666829933767/1047983200964032419746324970391314372422851834897839680, 714580225581252412068343056716706390289238288622109977/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^26 - 8563419822288684920113334581947696011876469876148859593/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^25 + 11847090674361685410031338811730314027795319214632254469/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^24 + 287883322361302820775402435585740113548175027739193367907/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^23 - 1574276409134645328852695351895800294415409664486399085307/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^22 - 2644246351252950476553400603332236567858615257433193449/199173818469298603115435944452739018262201651770407981678592a^21 + 27088785463977016322223070735293712377755304042886713821211/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^20 - 112450111656128038632773540960054830430954564425456753031179/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^19 + 264808821447981507378427491010153705009325743893006897679359/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^18 - 676671547378002906245486616452086670739701030976315227671039/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^17 + 69268382888579767338093419820981167087895706670264884136673/160624047152660163802770922945757272792098106266458049740800a^16 - 4831463466238055836004714427696530285962957845486712546025163/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^15 + 687176854117119916550888379748531968974576474492188095959943/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^14 - 278046170764887845687867976217620666535744852158589767937231/311209091358279067367868663207404716034690080891262471372800a^13 + 4516085701765345125003025829483931392931030186481905127369/803120235763300819013854614728786363960490531332290248704a^12 - 125966595840795281745964017502101833226914979812577216943069/4862642052473110427622947862615698688042032513925976115200a^11 + 621162811264571006298585242986096260045961030621519044659079/9725284104946220855245895725231397376084065027851952230400a^10 - 3794956494017212306186236456183656126492528734644571739079793/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^9 + 9698163799735901928893539209482244056361863538561678806775/97252841049462208552458957252313973760840650278519522304a^8 - 86597418106416307636971500352315890908060217399613217095933/972528410494622085524589572523139737608406502785195223040a^7 + 19245586603809192434291876856126128564195372778216479003657/167677312154245187159411995262610299587656293583654348800a^6 - 37587445048614351302984864984234266845456770653622192431901/243132102623655521381147393130784934402101625696298805760a^5 + 5437524057667378058373614980538471731489226588425642711477/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^4 - 58848392612386807818358395867405119591771114225329067053411/1215660513118277606905736965653924672010508128481494028800a^3 - 148734941963883077943403065863816968708348467048236121263/30391512827956940172643424141348116800262703212037350720a^2 + 15471191937901825047095438173919950216967592153200754873/1899469551747308760790214008834257300016418950752334420a - 266241682382755108623614576271465276345041978039400048081/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600, 1358305967004490826572700377868117884654309343336225657/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^26 - 15063894691750172549561339376669065333119246941723484577/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^25 + 9776003092657408777800338165537450698397428041124006133/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^24 + 108711965222864334971435870281548049232252134238718292775/199173818469298603115435944452739018262201651770407981678592a^23 - 2457123286381795751946914344753123683500966098849162037819/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^22 - 2018216717073525872014408850105057051755237312572389588097/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^21 + 46623223218841734533069722579239878889913238760187818010747/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^20 - 33387297847934621241089064881926205291045817430210684419391/199173818469298603115435944452739018262201651770407981678592a^19 + 392005236212510997343190691575299061482678086056329990672351/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^18 - 27109268892870649875448545608705039623612100217673889284509/23159746333639372455283249354969653286302517647721858334720a^17 + 117978908698467932981088547644298566249202980827881564822817/32124809430532032760554184589151454558419621253291609948160a^16 - 1471293487902798481601546277590044942472518651070891304223631/199173818469298603115435944452739018262201651770407981678592a^15 + 1048246446554397770216807255826610669264743671098556205188727/124483636543311626947147465282961886413876032356504988549120a^14 - 1616548268669329465554147097691826850829897207797635849221229/124483636543311626947147465282961886413876032356504988549120a^13 + 240284591696601534973840618856890750363199236230450703602579/4015601178816504095069273073643931819802452656661451243520a^12 - 644185886846052368877532057316200523548637541012212778980671/3112090913582790673678686632074047160346900808912624713728a^11 + 227166603859120645311828154255321618245957186388471357963967/486264205247311042762294786261569868804203251392597611520a^10 - 5936196989926800219917006925783796748943064061367357448043159/7780227283956976684196716580185117900867252022281561784320a^9 + 1987377620804268218027161718250412550955360768357378922350881/1945056820989244171049179145046279475216813005570390446080a^8 - 63324822296116664759677331805244224709199555137870625302039/48626420524731104276229478626156986880420325139259761152a^7 + 52721245725180598455006172554711054569300873977504880372441/33535462430849037431882399052522059917531258716730869760a^6 - 195397913175984786112776813813809397800024158031355497007501/121566051311827760690573696565392467201050812848149402880a^5 + 12810215158308156639905682798662302821068012219662426314813/8383865607712259357970599763130514979382814679182717440a^4 - 72703761482818280604108454098077525383450720632261693271003/48626420524731104276229478626156986880420325139259761152a^3 + 8519533264295867169516682811864294986819935827525507879047/7597878206989235043160856035337029200065675803009337680a^2 - 2472861482251901905967970724583284477304748201083050273407/6078302565591388034528684828269623360052540642407470144a - 656131721381504775933649169856956015956933476249901307887/30391512827956940172643424141348116800262703212037350720, 1282964630064408089774605603911663296305642215670009259/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^26 - 1932549296164362124527559526433991775441099285408932273/497934546173246507788589861131847545655504129426019954196480a^25 - 25462142104892813360075598162233774889014310230869082339/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^24 + 417978015653346012034534453704694583878278060567294070427/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^23 - 786207969638263702748457723022198520734041583673894423987/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^22 - 4579835857518759587179312641467472937592511245975174252017/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^21 + 25958297751751066010645132973338763968756715737498478331383/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^20 - 63694628333216020108365944357934509118308651209957303151803/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^19 + 3860031719121861089941905498400350342494856659759412568157/57899365834098431138208123387424133215756294119304645836800a^18 - 117308155572793438201082299809797302022847827566001639259787/497934546173246507788589861131847545655504129426019954196480a^17 + 9565661105158544817779484620181240347907526035300778170341/16062404715266016380277092294575727279209810626645804974080a^16 - 2096482713950592423349444133278137999779138607254450300130219/2489672730866232538942949305659237728277520647130099770982400a^15 + 1116398151654132915046935492245853127578985142113017391588229/1244836365433116269471474652829618864138760323565049885491200a^14 - 75536004144989536066816363782749128056575595843378827411697/24896727308662325389429493056592377282775206471300997709824a^13 + 63698246914928839551426723531891513013741456620607346256721/5019501473520630118836591342054914774753065820826814054400a^12 - 33318618662400269840460027001799634396571348716815444335447/972528410494622085524589572523139737608406502785195223040a^11 + 1254053392367296557854257878646857543411101872676166039617529/19450568209892441710491791450462794752168130055703904460800a^10 - 1854343193072386336405998080762439593414242757435165406841939/19450568209892441710491791450462794752168130055703904460800a^9 + 247163843621942852247237722142220703696444754752070159338557/1945056820989244171049179145046279475216813005570390446080a^8 - 31345141558578473639036987249953238555025919893112143678725/194505682098924417104917914504627947521681300557039044608a^7 + 7556217791537226394368214792627864190592628047310982213447/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^6 - 109066455888411267276026192878237882098782420253518601297289/607830256559138803452868482826962336005254064240747014400a^5 + 3792066648799577193041162821935563378041955019790054731667/20959664019280648394926499407826287448457036697956793600a^4 - 97197619728448510512230332886424566271220929194923993344879/607830256559138803452868482826962336005254064240747014400a^3 + 29686198926797381455352258185310108520404589938989335202009/303915128279569401726434241413481168002627032120373507200a^2 - 5443287107882540863486594451085900590262660140913409378541/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600a + 459150086285866366168091494592570967848583969577647247871/37989391034946175215804280176685146000328379015046688400, 1096054533450351820092821322436551872002122343120854341/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^26 - 2163363490810172156011482437959086921840532606580421189/17170156764594707165123788314891294677776004462966205317120a^25 - 120659894854794616439467558042099715956882029240425777/1996529856348221763386487013359452869508837728251884339200a^24 + 430777207941029962467317791951873605751365139381117317963/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^23 - 1454948752969210390167460707737160441612523161273121654083/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^22 - 3356110736826125031401238234475003033247358887310151448393/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^21 + 33262787970752981179012449373471683489428595543835431286347/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^20 - 94068196043221575586222618298872794987897278558868158872867/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^19 + 205760576882534508020115145903241474382616659286363687919719/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^18 - 141736060083018205948524188917384514812349321571658472910619/17170156764594707165123788314891294677776004462966205317120a^17 + 320669829995861842264111844485517534263460644330306519311/12880837782891753312170883957157760448444114375818608640a^16 - 3464695368617312975515367821083709550464323460652068811587651/85850783822973535825618941574456473388880022314831026585600a^15 + 738587360648589063678489045000819539113616840209560033889983/21462695955743383956404735393614118347220005578707756646400a^14 - 38998358071145644595025490829794335819758182928864252997937/429253919114867679128094707872282366944400111574155132928a^13 + 80569657059730325234711231636782251977865071674142299481679/173086257707607935132296253174307406025967786925062553600a^12 - 46596698052713819846558855923627090789335185731937653094629/33535462430849037431882399052522059917531258716730869760a^11 + 3683463511873347671346026496851838358516730381656714854093847/1341418497233961497275295962100882396701250348669234790400a^10 - 85127906777697010028794069561067822840336066861989298412673/20959664019280648394926499407826287448457036697956793600a^9 + 178157179938817692777141218341277723742179850982661307258663/33535462430849037431882399052522059917531258716730869760a^8 - 46771318708075748221744078159564547266432516812210576001129/6707092486169807486376479810504411983506251743346173952a^7 + 662800118419791247523309383456193808819770349177970369344369/83838656077122593579705997631305149793828146791827174400a^6 - 156236689188803813758007755961157592357732096945832615699441/20959664019280648394926499407826287448457036697956793600a^5 + 82817126075406183298240988941044814095589712703456039076991/10479832009640324197463249703913143724228518348978396800a^4 - 154165051483757105581726060837776289743754490506210592801621/20959664019280648394926499407826287448457036697956793600a^3 + 20669165243831102857371097907174846374652193103238277413723/5239916004820162098731624851956571862114259174489198400a^2 - 2112751146797736400566627171060986014297385543090974354321/1309979001205040524682906212989142965528564793622299600a + 274186287806601280342498536216900049409590641449777993787/654989500602520262341453106494571482764282396811149800, 41518958986322414748121685103371215466159248436250378209/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^26 - 388404317220740592799435293077258449441751379276470544737/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^25 - 79113524789735653889821088021718734138343924395306454759/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^24 + 16105456583156835056666292481838169839931006203146869755931/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^23 - 46810469649175411187077087907027584550675705287475621391411/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^22 - 150895796320680714708356122340298823636694619432381368499753/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^21 + 1180343485547604986958276235644470351188097969093107619875091/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^20 - 2955812859557750254653892357450055242684490726623345763726883/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^19 + 1262087840160991423477834013088168417814420586253706694801483/995869092346493015577179722263695091311008258852039908392960a^18 - 23742115344206030726396967170117949681881348967767883885432791/4979345461732465077885898611318475456555041294260199541964800a^17 + 2225738706529620064126982485070196125882491187554738531636617/160624047152660163802770922945757272792098106266458049740800a^16 - 2240689775208581443815784370272774309864870760826225494834121/115798731668196862276416246774848266431512588238609291673600a^15 + 8127753081289270807830509236958688623562167861102837660106731/622418182716558134735737326414809432069380161782524942745600a^14 - 8375169376438040005291980006936241755574507203733343544663347/155604545679139533683934331603702358017345040445631235686400a^13 + 5558875940508449534751682230902561952576888619161205697887043/20078005894082520475346365368219659099012263283307256217600a^12 - 59504645971749716821208436716361517035972445096695152233530141/77802272839569766841967165801851179008672520222815617843200a^11 + 2741857626088846865622407377647107964014461157154477151398221/1945056820989244171049179145046279475216813005570390446080a^10 - 76359310112680081272560415485700620807088654320910276074465823/38901136419784883420983582900925589504336260111407808921600a^9 + 4896915713155653556733358460374970727964322008922553197573967/1945056820989244171049179145046279475216813005570390446080a^8 - 3241892307515559774548226513618346807589137347418876735763383/972528410494622085524589572523139737608406502785195223040a^7 + 597135008394150930907200531044955512924799888657222359432689/167677312154245187159411995262610299587656293583654348800a^6 - 482642096508373323247825988878221793022984008443487571156247/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600a^5 + 152894974666244296629960810508005715562280921565534136058461/41919328038561296789852998815652574896914073395913587200a^4 - 742611987399833297463265339880085246845288406191972820194707/243132102623655521381147393130784934402101625696298805760a^3 + 87297104874066081000132535638551535042894120535965280991267/75978782069892350431608560353370292000656758030093376800a^2 - 42125604623612772943945337548538812560534002070499570777831/75978782069892350431608560353370292000656758030093376800a + 4014327979731706511166456352436887764779017886637739111089/151957564139784700863217120706740584001313516060186753600 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 5470716283346407.0 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{13}\cdot 5470716283346407.0 \cdot 6}{2\cdot\sqrt{929766412363569678535445062868135961189021577764947}}\cr\approx \mathstrut & 25.6062985545585 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 11*x^26 + 7*x^25 + 393*x^24 - 1777*x^23 - 1339*x^22 + 33149*x^21 - 122161*x^20 + 301221*x^19 - 901165*x^18 + 2771309*x^17 - 5696089*x^16 + 7240134*x^15 - 11573472*x^14 + 45471960*x^13 - 153604016*x^12 + 357338624*x^11 - 615897728*x^10 + 876134656*x^9 - 1154442240*x^8 + 1414654976*x^7 - 1520924672*x^6 + 1526870016*x^5 - 1494863872*x^4 + 1216438272*x^3 - 684785664*x^2 + 248741888*x - 73596928);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$D_{27}$ (as 27T8):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 54

The 15 conjugacy class representatives for $D_{27}$

Character table for $D_{27}$

Intermediate fields

3.1.563.1, 9.1.100469346961.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/2.1.0.1}{1} }$	$27$	${\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }$	R	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }$	$27$	${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$7$ 7		Deg $27$	$3$	$9$	$18$
$563$ 563	$\Q_{563}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$

Artin representations

	Label	Dimension	Conductor	Artin stem field	$G$	Ind	$\chi(c)$
*	1.1.1t1.a.a	$1$	$1$	$\Q$	$C_1$	$1$	$1$
	1.563.2t1.a.a	$1$	$ 563 $	$\Q(\sqrt{-563}) $	$C_2$ (as 2T1)	$1$	$-1$
*	2.563.3t2.a.a	$2$	$ 563 $	3.1.563.1	$S_3$ (as 3T2)	$1$	$0$
*	2.563.9t3.a.b	$2$	$ 563 $	9.1.100469346961.1	$D_{9}$ (as 9T3)	$1$	$0$
*	2.563.9t3.a.c	$2$	$ 563 $	9.1.100469346961.1	$D_{9}$ (as 9T3)	$1$	$0$
*	2.563.9t3.a.a	$2$	$ 563 $	9.1.100469346961.1	$D_{9}$ (as 9T3)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.f	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.d	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.c	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.a	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.b	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.e	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.i	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.h	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.27587.27t8.a.g	$2$	$ 7^{2} \cdot 563 $	27.1.929766412363569678535445062868135961189021577764947.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$

Data is given for all irreducible representations of the Galois group for the Galois closure of this field. Those marked with * are summands in the permutation representation coming from this field. Representations which appear with multiplicity greater than one are indicated by exponents on the *.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more