LMFDB - Number field 27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293)

gp: K = bnfinit(y^27 - 3*y^26 + 15*y^25 - 53*y^24 + 106*y^23 - 298*y^22 + 714*y^21 - 199*y^20 + 2747*y^19 + 4180*y^18 + 4767*y^17 + 27487*y^16 - 7928*y^15 + 93863*y^14 - 80586*y^13 + 257840*y^12 - 253867*y^11 + 459460*y^10 - 363114*y^9 + 981160*y^8 + 143119*y^7 - 202978*y^6 + 143097*y^5 + 629777*y^4 + 25669*y^3 - 205103*y^2 - 65505*y + 40293, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293)

$ x^{27} - 3 x^{26} + 15 x^{25} - 53 x^{24} + 106 x^{23} - 298 x^{22} + 714 x^{21} - 199 x^{20} + \cdots + 40293 $ x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$27$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[1, 13]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$-4907350451606845763597379498834801987276076711$ -4907350451606845763597379498834801987276076711 $\medspace = -\,3271^{13}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$49.23$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$3271^{1/2}\approx 57.19265687131522$
Ramified primes:	$3271$ 3271	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q(\sqrt{-3271}) $
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$1$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{4}$, $\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{6}$, $\frac{1}{9}a^{15}+\frac{1}{9}a^{14}-\frac{1}{9}a^{13}-\frac{1}{9}a^{11}-\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{9}a^{9}-\frac{4}{9}a^{7}+\frac{2}{9}a^{6}+\frac{1}{9}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{4}{9}a^{3}-\frac{2}{9}a^{2}-\frac{1}{9}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}a^{16}+\frac{1}{9}a^{14}+\frac{1}{9}a^{13}-\frac{1}{9}a^{12}-\frac{1}{9}a^{10}-\frac{1}{9}a^{9}-\frac{4}{9}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{4}{9}a^{6}+\frac{2}{9}a^{5}+\frac{1}{9}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{4}{9}a^{2}-\frac{2}{9}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}a^{17}+\frac{1}{9}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{2}{9}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}a^{18}+\frac{1}{9}a^{10}-\frac{2}{9}a^{2}$, $\frac{1}{9}a^{19}+\frac{1}{9}a^{11}-\frac{2}{9}a^{3}$, $\frac{1}{9}a^{20}+\frac{1}{9}a^{12}-\frac{2}{9}a^{4}$, $\frac{1}{9}a^{21}+\frac{1}{9}a^{13}-\frac{2}{9}a^{5}$, $\frac{1}{189}a^{22}+\frac{1}{27}a^{21}-\frac{2}{189}a^{20}-\frac{1}{27}a^{19}+\frac{1}{27}a^{18}-\frac{2}{63}a^{17}+\frac{1}{63}a^{16}+\frac{1}{21}a^{15}-\frac{11}{189}a^{14}-\frac{8}{189}a^{13}-\frac{23}{189}a^{12}+\frac{23}{189}a^{11}-\frac{8}{189}a^{10}-\frac{1}{63}a^{9}-\frac{16}{63}a^{8}-\frac{2}{21}a^{7}+\frac{4}{27}a^{6}-\frac{44}{189}a^{5}+\frac{79}{189}a^{4}-\frac{1}{27}a^{3}-\frac{17}{189}a^{2}+\frac{2}{7}a-\frac{1}{21}$, $\frac{1}{2079}a^{23}+\frac{4}{2079}a^{22}+\frac{61}{2079}a^{21}+\frac{62}{2079}a^{20}+\frac{13}{297}a^{19}-\frac{10}{231}a^{18}-\frac{2}{99}a^{17}-\frac{2}{99}a^{16}+\frac{67}{2079}a^{15}-\frac{164}{2079}a^{14}+\frac{64}{2079}a^{13}-\frac{118}{2079}a^{12}-\frac{4}{27}a^{11}-\frac{8}{99}a^{10}-\frac{2}{231}a^{9}-\frac{40}{99}a^{8}-\frac{23}{2079}a^{7}+\frac{124}{2079}a^{6}+\frac{127}{2079}a^{5}+\frac{37}{189}a^{4}-\frac{584}{2079}a^{3}-\frac{4}{99}a^{2}-\frac{1}{693}a-\frac{8}{21}$, $\frac{1}{193347}a^{24}+\frac{1}{193347}a^{23}+\frac{29}{27621}a^{22}+\frac{11}{651}a^{21}-\frac{2020}{193347}a^{20}-\frac{89}{17577}a^{19}-\frac{10706}{193347}a^{18}+\frac{170}{3069}a^{17}-\frac{5120}{193347}a^{16}+\frac{328}{193347}a^{15}-\frac{8992}{193347}a^{14}+\frac{4799}{64449}a^{13}+\frac{4820}{193347}a^{12}-\frac{109}{891}a^{11}-\frac{18071}{193347}a^{10}-\frac{2726}{64449}a^{9}-\frac{1873}{17577}a^{8}+\frac{59098}{193347}a^{7}-\frac{5920}{27621}a^{6}+\frac{21928}{64449}a^{5}-\frac{91972}{193347}a^{4}-\frac{95275}{193347}a^{3}+\frac{42907}{193347}a^{2}+\frac{23378}{64449}a-\frac{802}{1953}$, $\frac{1}{1008691299}a^{25}+\frac{145}{112076811}a^{24}-\frac{124136}{1008691299}a^{23}-\frac{846347}{1008691299}a^{22}-\frac{55208749}{1008691299}a^{21}+\frac{4695385}{336230433}a^{20}-\frac{1099199}{21461517}a^{19}-\frac{17751754}{1008691299}a^{18}-\frac{7124984}{1008691299}a^{17}+\frac{3418972}{336230433}a^{16}+\frac{4218328}{1008691299}a^{15}+\frac{1568753}{91699209}a^{14}+\frac{46695806}{1008691299}a^{13}+\frac{2114044}{16010973}a^{12}+\frac{57269867}{1008691299}a^{11}-\frac{23004979}{144098757}a^{10}+\frac{3747532}{27261927}a^{9}+\frac{14305892}{336230433}a^{8}+\frac{7411189}{32538429}a^{7}-\frac{223140836}{1008691299}a^{6}+\frac{199017374}{1008691299}a^{5}+\frac{30441338}{336230433}a^{4}+\frac{233127791}{1008691299}a^{3}-\frac{200521219}{1008691299}a^{2}-\frac{124807565}{336230433}a-\frac{50198}{275373}$, $\frac{1}{10\!\cdots\!21}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{83\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!22}{95\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!40}{95\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!07}a-\frac{73\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!67}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, 1/3*a^9 - 1/3*a, 1/3*a^10 - 1/3*a^2, 1/3*a^11 - 1/3*a^3, 1/3*a^12 - 1/3*a^4, 1/3*a^13 - 1/3*a^5, 1/3*a^14 - 1/3*a^6, 1/9*a^15 + 1/9*a^14 - 1/9*a^13 - 1/9*a^11 - 1/9*a^10 + 1/9*a^9 - 4/9*a^7 + 2/9*a^6 + 1/9*a^5 + 1/3*a^4 + 4/9*a^3 - 2/9*a^2 - 1/9*a - 1/3, 1/9*a^16 + 1/9*a^14 + 1/9*a^13 - 1/9*a^12 - 1/9*a^10 - 1/9*a^9 - 4/9*a^8 - 1/3*a^7 - 4/9*a^6 + 2/9*a^5 + 1/9*a^4 + 1/3*a^3 + 4/9*a^2 - 2/9*a + 1/3, 1/9*a^17 + 1/9*a^9 - 1/3*a^8 - 2/9*a + 1/3, 1/9*a^18 + 1/9*a^10 - 2/9*a^2, 1/9*a^19 + 1/9*a^11 - 2/9*a^3, 1/9*a^20 + 1/9*a^12 - 2/9*a^4, 1/9*a^21 + 1/9*a^13 - 2/9*a^5, 1/189*a^22 + 1/27*a^21 - 2/189*a^20 - 1/27*a^19 + 1/27*a^18 - 2/63*a^17 + 1/63*a^16 + 1/21*a^15 - 11/189*a^14 - 8/189*a^13 - 23/189*a^12 + 23/189*a^11 - 8/189*a^10 - 1/63*a^9 - 16/63*a^8 - 2/21*a^7 + 4/27*a^6 - 44/189*a^5 + 79/189*a^4 - 1/27*a^3 - 17/189*a^2 + 2/7*a - 1/21, 1/2079*a^23 + 4/2079*a^22 + 61/2079*a^21 + 62/2079*a^20 + 13/297*a^19 - 10/231*a^18 - 2/99*a^17 - 2/99*a^16 + 67/2079*a^15 - 164/2079*a^14 + 64/2079*a^13 - 118/2079*a^12 - 4/27*a^11 - 8/99*a^10 - 2/231*a^9 - 40/99*a^8 - 23/2079*a^7 + 124/2079*a^6 + 127/2079*a^5 + 37/189*a^4 - 584/2079*a^3 - 4/99*a^2 - 1/693*a - 8/21, 1/193347*a^24 + 1/193347*a^23 + 29/27621*a^22 + 11/651*a^21 - 2020/193347*a^20 - 89/17577*a^19 - 10706/193347*a^18 + 170/3069*a^17 - 5120/193347*a^16 + 328/193347*a^15 - 8992/193347*a^14 + 4799/64449*a^13 + 4820/193347*a^12 - 109/891*a^11 - 18071/193347*a^10 - 2726/64449*a^9 - 1873/17577*a^8 + 59098/193347*a^7 - 5920/27621*a^6 + 21928/64449*a^5 - 91972/193347*a^4 - 95275/193347*a^3 + 42907/193347*a^2 + 23378/64449*a - 802/1953, 1/1008691299*a^25 + 145/112076811*a^24 - 124136/1008691299*a^23 - 846347/1008691299*a^22 - 55208749/1008691299*a^21 + 4695385/336230433*a^20 - 1099199/21461517*a^19 - 17751754/1008691299*a^18 - 7124984/1008691299*a^17 + 3418972/336230433*a^16 + 4218328/1008691299*a^15 + 1568753/91699209*a^14 + 46695806/1008691299*a^13 + 2114044/16010973*a^12 + 57269867/1008691299*a^11 - 23004979/144098757*a^10 + 3747532/27261927*a^9 + 14305892/336230433*a^8 + 7411189/32538429*a^7 - 223140836/1008691299*a^6 + 199017374/1008691299*a^5 + 30441338/336230433*a^4 + 233127791/1008691299*a^3 - 200521219/1008691299*a^2 - 124807565/336230433*a - 50198/275373, 1/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^26 + 105613948423037278105581474752540846831827291249120946/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^25 + 830493897082652002498826420782086907439677481915221370764/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^24 + 6881328904995054740802754722387298636609864586857480798364/50235837333221117951544736390599118684942932224297558861060301*a^23 + 2035093792399297394503987532563976802482773401029490059359288/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^22 - 32284859514101612734002145273169816327217913050488404031723735/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^21 - 485785480504845931008443861086323322703287312343021750467319/13700682909060304895875837197436123277711708788444788780289173*a^20 - 2845156107994192662352386631557248832208493653148529773849372/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369*a^19 - 5966213435988863064055760392493084418389098880062428297205396/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903*a^18 - 15143260743772669641325146148411696542051758451306817121973385/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^17 - 5108580922630745014694534194399288771934622652852161720023422/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211*a^16 + 420633749146037270181905741504009187441668032912840660210345/10656086707046903807903428931339206993775773502123724606891579*a^15 - 34987106114869368459083475389245632044915095037410512883301705/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^14 - 129597118597178847580671008565990719215836767160292781439272708/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^13 + 266976356875653727219134000234562567391225556062693039321570/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903*a^12 - 6912956824845855258066614345781707809272361941861273508515610/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107*a^11 - 16275215136050693864636260598060955517555846448184494634607369/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903*a^10 + 2385008239044427133831669219410581601337132462482002545259340/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211*a^9 - 40217597787434146361694063865932035880477458719087452500170967/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^8 - 46658995552902623200875816241482287574042175889474757092356352/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107*a^7 - 23992448023348135114136508494317535441664537092783733442157213/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^6 - 261755904339040413996409506283409024487522318372505591411155347/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^5 - 84407066484298428145759687380495447755323611301580704603683073/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^4 - 25385586992019492607594098012096830948100489255236983426427381/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107*a^3 - 300096369582430663011281902995327711695649478384644726906166382/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321*a^2 - 99217659820509455901675135845307051195129236622009671784760351/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107*a - 73154212636475155272514995297257786037955963063530454191307/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$3$

Class group and class number

$C_{2}$, which has order $2$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$13$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{87\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!80}{95\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!69}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!07}a-\frac{31\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{15\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!23}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!76}{83\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!03}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!88}{95\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!56}{95\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!07}a-\frac{81\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{24\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!69}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!07}a-\frac{58\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{10\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!65}{35\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{65\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!39}{50\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!08}{35\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!74}{95\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!53}{95\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!07}a-\frac{21\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{58\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!22}{95\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{73\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!44}{55\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!07}a-\frac{46\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{39\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!24}{95\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!33}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!05}{95\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!69}a-\frac{24\!\cdots\!75}{96\!\cdots\!89}$, $\frac{49\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{70\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{63\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{86\!\cdots\!66}{35\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!03}{50\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!09}{95\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!21}{95\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!69}a-\frac{13\!\cdots\!60}{32\!\cdots\!63}$, $\frac{39\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{84\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!88}{95\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!74}{35\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{90\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!07}a-\frac{21\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{13\!\cdots\!52}{63\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!61}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{59\!\cdots\!65}{44\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!70}{63\!\cdots\!69}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!69}{63\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!74}{44\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!71}{63\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!50}{63\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!76}{49\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!33}{70\!\cdots\!41}a+\frac{98\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!39}$, $\frac{14\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!69}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!79}{95\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!69}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!32}{35\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!18}{35\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!41}{50\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!40}{35\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!38}{74\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!69}a-\frac{46\!\cdots\!16}{96\!\cdots\!89}$, $\frac{39\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!20}{95\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!01}{95\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!03}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!69}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{61\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{90\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!37}a-\frac{18\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{17\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!23}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!28}{50\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{86\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!97}a-\frac{78\!\cdots\!14}{41\!\cdots\!81}$, $\frac{12\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!03}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!40}{35\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!48}{95\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!77}{50\!\cdots\!01}a-\frac{34\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!67}$ 8749333645720029584872864077962836465725528966379643088559/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^26 - 17628602954085125866469167148186724597040228083521526125932/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^25 + 102283846396162885709575249192575991954875906146392143142735/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^24 - 2895580099123372443780376495527705782237611824925125311980/9504077333312103396238193371194427859313527718110348973714111a^23 + 412934939677625001739055063526550781782757414370355119462430/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^22 - 31322157813065559753464715582990226653786794215183112276353/22445799659524329297498712004310244518804288866175505023026943a^21 + 3149316899052236456839838389472902769770542581988705543276152/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^20 + 639066464685255481548986976949840709063834816509792646497237/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^19 + 18930837509372090717037761115566590590571265406385177619668526/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 63642558292772011682438969908818398751732491140006034427163028/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^17 + 68096375661689080960014308266400986886024760966603542137434739/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 1150678837649987003380675275737467749454232182584894753222517/4341368658426516366182878453508565812279018834198554469474347a^15 + 168750071895311568856632083272627547797877708262703382362732882/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^14 + 689215001615678514800473631168602362588834185546707943926583662/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^13 + 34329495748080290551617202720076559649458030376152132209337161/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^12 + 416899316707145653470914537015437175944453207707895997368900388/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^11 + 648000851562259859797188965152264178814027715864896861440265995/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 744858017613053557638120969079431078250976474340898564537409501/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^9 + 2664310617423913520406248138056032228001288104800519340702699655/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^8 + 1016338787721530671981429536407431135016038981140310214098476364/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^7 + 12839278744406280882884144665741840525876052574080055466640489686/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 - 5031535056977885554679881043788753558803514986571190169520380278/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 98237047528621556939657426816043564164411485316057857285465391/34030728516053015386530305296857467496251663764846733422008591a^4 + 2610568638039519833986991970159652680281143848982144750242410476/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^3 + 5121239161370588566287272345826705101717702491438256686430011567/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^2 - 376093766053068911840178730716793612611910340375232515884549387/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a - 318938901884061804532193165917569706265283072751798235988067/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367, 1599193254891808501596068003715952261809452054025533754118/39072317925838647295645906081577092310511169507786990225269123a^26 - 110869430494521186461737603973520350041045090271966621393545/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^25 + 474765219303065387287494617820060076065603514353931831876/831325913315715899907359703863342389585344032080574260112109a^24 - 2036551432408582004078616333198917844931992122204002988553622/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^23 + 3737240195504863944402026042644656440931718392587747383447301/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^22 - 1628155317614700014294053081461018732293329763243986728001304/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^21 + 8730447277782974876470521382519409857566740770259195922986684/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^20 + 1954887209536232865614797759513769648202782539828028184365956/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^19 + 121361710818050548127369244159481483220314687632084068783630779/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 232522336152417946430046182546983007771025108222494703262032755/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^17 + 104297454012948067817848807327194867763359227973666719007973394/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^16 + 1332682249842599433628240543680754385295609380450405121250199003/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^15 + 22081792047037752763088241142775425072795503712127717264918188/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^14 + 89979733969295730639458811723247424340293865370249137186565775/22445799659524329297498712004310244518804288866175505023026943a^13 - 62157054636839911291813196029061151329369214415305448927187009/39072317925838647295645906081577092310511169507786990225269123a^12 + 967845031938861346252318473941234403420344636904875636249740856/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^11 - 6579987268976615220967400097409500423624045412480895289016564961/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 2521747722870478756457537341782075341844182937369015781906027787/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^9 - 2884616156128395068950332003113259330085690019048355635262397349/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^8 + 39746643168708016930996647914754797987876565696100394853644903279/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^7 + 22531156511117597258332861448000089511896690297915955647060209269/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 + 3126507689755672094126742025293018794235485004959276837753528353/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 245544694062382347648574086416887726400756464376286389270247734/31968260121140711423710286794017620981327320506371173820674737a^4 + 29849040899496866575244543878203162381634278598931931288715468765/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^3 + 2156482012238995763234483386175432188482279808786052447857189030/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^2 - 349571464704098524936358497368635501739061572834442790483764081/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a - 811000845590392342158487071483040063870299161338454326717054/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367, 245250652376891343195495666133526257562424068567885875735210/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^26 - 626935284426922536688362652119854865568731500836155676549516/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^25 + 3384281608207748792574086119324652078172899900558053249901077/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^24 - 1270309234004137315401290012045803657794758620119472557019066/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^23 + 20625069016077894618150084625722482589405023857287041757637117/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^22 - 2026291863222856938643605225902781184055015716119419468955998/34030728516053015386530305296857467496251663764846733422008591a^21 + 144572849969750926889998350778474150292289338397548674163465753/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^20 + 7433841497619886226315270469190528973962615790280700369434779/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^19 + 666427018202228321716958155647611206920469131081662380698802592/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 1337712311121310434047897275055225314834950764701951127059795097/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^17 + 1707677620707353640343513371947657702378539786379510480293930063/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 2491752173745387524913719992908633395462659528530432684501939178/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^15 + 42923734059012304698726522866027429260334093949036598558699456/34030728516053015386530305296857467496251663764846733422008591a^14 + 748448072190764049034533104578175250034838367134148422617786735/34030728516053015386530305296857467496251663764846733422008591a^13 - 8968196071358086250543470564189613564778937948154994141344590639/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^12 + 19120844036797023012609991824002964399110282597082486318699630397/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^11 - 33956465508555674460167566380234784597566823725641563342993906621/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 91280864202188171944669731494003532166916444426242072012625292881/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^9 - 5647405892728925987520368838562656670253710324836130286897769164/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^8 + 69692409138129600371160988278764497043233436950441343754393824024/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^7 + 143705128397612021839463650219800493408710509380227771308251264351/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 - 12182393079871088725412308091997609239942434937774725075967229566/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 45724286502022984421636757062211577799046974363086890546612651233/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^4 + 19106970647381178707740869702029327317469748607796843791138876174/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^3 + 74542265987405533342327920649597365561292255462996225575358068238/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^2 - 6139478255884459432884461988575452568561031355202268248983037548/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a - 5813067972543656516231830312492082497654774265021002846749868/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367, 10977924324946810848342942784208638815189804584343242135197/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^26 - 28251504850756110164184042966832059191084784378775699195885/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^25 + 152489568698222522680484545696196281632643708890369728584990/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^24 - 1205497140563827068902717094818658790138425675348818582724965/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^23 + 6595178638992420632912001535938887880195861330167985877067113/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^22 - 20066304763378035969000859510310515618239671039094220483515959/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^21 + 46310701070005384318479503679119488285417410944739413960497664/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^20 + 215262204809375903970420606038686200533627923182231354792439/50235837333221117951544736390599118684942932224297558861060301a^19 + 212939307669857292562938312543733040080684105948508845611977501/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 410871567966908805629844448152569216266330496540345135190150917/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^17 + 539821358021790815922115060193320773369520963463800594225551076/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 777983852813576856056693725823664798475832078288231975693784608/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^15 + 375880493616625203219815518471745444156271327047635541225220952/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^14 + 7341922958589007805016065513992596204689910424402861690408816453/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^13 - 281701583310554213900815675117238429578119012504470080084119074/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^12 + 2048222300012646127110958395360952665269446054916203667810855450/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^11 - 11738192823779233172966050167596340540782889550996662749330807296/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 30255101672929258353619497253387822986012170180860830196021665623/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^9 - 15231951260311219827765040024368819489132849519176030866860594695/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^8 + 7673643883186404739619581992588982549275483917669414862057990962/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^7 + 39884025709670198056760637345788250401679014064459856468305293209/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 + 1421972895871614463770000474204490093446056556329809286933484043/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 9785893047240158125853614425518621432257021467525335225836142354/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^4 + 1600144756159252290608374826378050271329349363979715328417969854/31968260121140711423710286794017620981327320506371173820674737a^3 + 2198056737420053549418060202607158437366621243450807544825773653/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^2 - 2125193043989852258716130882028990383561424509273057700973002091/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a - 2171210617258429146846899759120096376531222211426736389951609/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367, 58688692573168601304045547788831755384203621116043585462591/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^26 - 40835721997646164343495875343426656572090853464663878205322/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^25 + 73767672588401629760090635002773322432184905217218868910081/31968260121140711423710286794017620981327320506371173820674737a^24 - 8221301973161668923929328319238411541831636322679896285217918/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^23 + 14886083482188864272541127219689490810492678425795458256894202/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^22 - 45466557544252904405393431282434036610146849820656272737032637/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^21 + 11618774599690795095181536265070533585397245306042243433434580/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^20 + 13902983036617310135674827291061835529444909294567446478658955/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^19 + 69283106897791485828252457905350543851926354251249524950537452/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^18 + 25885373409540318699547499023136709433707009372855731530938739/28512231999936310188714580113583283577940583154331046921142333a^17 + 417199312877992919508136682378111957613534980097216455829561554/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^16 + 5388358119296009924197296335810015892594983653919584903826180761/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^15 + 27020482825925866518057763971236063334567354349123070770115182/28512231999936310188714580113583283577940583154331046921142333a^14 + 16827095415993190380317408380055313821427489574690622321128631852/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^13 - 70227224241454130849022739054681762264677096773811843129353341/11343576172017671795510101765619155832083887921615577807336197a^12 + 41833140219750649881793750883448651084119262495679663553209159604/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^11 - 25211527773743266017889466796918175988983411310345555379573894925/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 9663628404048575893249934445932611114972515772799262937910041282/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^9 - 166071356501073001925313996562856658765458901173928770007920744/5581759703691235327949415154511013187215881358255284317895589a^8 + 154841731544438234396210660480474092040898341277876884849744076823/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^7 + 98167970781773685431441420649465912869137603594401018652200424438/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 + 1443616040830854203771036899513634303584413110813158130381657102/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 9322867721937084655257559661198746566171065772403627620651916933/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^4 + 122814311612745269557482480554164699836522972488605362462272988911/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^3 + 58374011190558520511281636059717287661007484352014858896357705568/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^2 - 4207626981173252656889419020933652662471105432920870908913300417/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a - 4605994128022630067277190474691540676778097924203127074985582/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367, 39518135099151962217254897961009065474823090775751841438989/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^26 - 245475004971119020038289623691543298259066568278227369952295/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^25 + 3901967003098303329443253645530462299428482771737042551041963/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^24 - 1212922694595874451714203907003259700932537879643517626074524/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^23 + 671382789564300416299796866296622247796057480130321684168405/28512231999936310188714580113583283577940583154331046921142333a^22 - 2743757111365224030161571555011095271734233845835787688956726/39072317925838647295645906081577092310511169507786990225269123a^21 + 24660013931786836754361823946871587910549812483350772110237657/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^20 + 2581312466041543876052898305303730789872961037844487321482299/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^19 + 761441618017659326996305664549709268988762945108602443367588496/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 470813209430225686312660587455373564342142227923861613694279420/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^17 + 1807913225519739729624174737557111593471613449329045053541134850/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 222772246850069617348523327928731952171145437463649734559672663/28512231999936310188714580113583283577940583154331046921142333a^15 + 676983413975249707598914911090009858461908393029442060880405332/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^14 + 283828321032364680118554661445708767602133335086155690111479535/11343576172017671795510101765619155832083887921615577807336197a^13 - 13054660981645308428982439995127274833788197132246517420325970813/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^12 + 67665701196995379053196642491637418660209293210262105505874142784/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^11 - 46663642052171981038571090477485512747013678423570282822897280101/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 1142017879015546975230940882582387100135877887132473855664501716/10656086707046903807903428931339206993775773502123724606891579a^9 - 61464252302896848706267955468882325483939490204441059431640873802/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^8 + 253717676583239635180769034123346901317610556803324467048167840221/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^7 + 17970342352215102023113600728539808610783617583929169392719932144/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^6 - 3080167029701220368170288190725046100605630256816706107523962907/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^5 + 3678986138463711909198895378988452106616223157118946402796766605/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^4 + 202198590039832541977016761793152417727893228363939374075089550205/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^3 + 31434485943482139963351906125585754814943772467446015328661074920/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^2 - 2215813883176624564015993187447000735225227796114553229969630192/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a - 2488399333328675384316914682169795337392928296387964697231575/96000781144566700972102963345398261205187148667781302764789, 499646064252513036491975299195017542949227413022938261734800/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^26 - 436843030982217048209911224736509158996609485232376003000520/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^25 + 7027029893324191088435673849633407626990759976418663864514466/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^24 - 23912674147641479641798837900681591054684336412449185155946409/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^23 + 6335854483061783044241040377326607492756914265664920944160140/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^22 - 14845214445185292090059184333304679912291317749723727201397944/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^21 + 309299625845314897766502488092464282474568296536174100232309480/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^20 + 1287717958484800894852176938621879967551204379279181255157923/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^19 + 1395514140658478120672027839296054145194556634783162506610854433/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 869252848101129205309360794269121581456311325301937592544083266/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^17 + 3439475991064948394971508194853142209806747505362312941934201931/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 15138630009623136132336534034454600174528465528738334813650247689/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^15 + 1872912854462131917096582998713954759443186646754336928642496567/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^14 + 2302185932614146958757349240946462944866660781423218836900607203/50235837333221117951544736390599118684942932224297558861060301a^13 - 22269046061722448339837432284717490119448402781170873368742252117/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^12 + 3968628303956747411213205206080563312031332540801703188920424733/34030728516053015386530305296857467496251663764846733422008591a^11 - 7517706001784849292840610767997301871943287629953990219769268209/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^10 + 2538231343530386282339057864138455803369453952418025291727831283/13024105975279549098548635360525697436837056502595663408423041a^9 - 10089701397156842714047813582788496506452174061431237291689121921/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^8 + 65921514458378916739410393640335089484646358331588685564330516469/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^7 + 33620041064661917699947117768836483781558493233614409325065015660/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^6 + 4741995511711318624530095484573371206336288712716540664637793292/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^5 + 11423110951378445479324338966423335289790716853203495223589668546/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^4 + 340051766004045527545801236301325343359437433391915555144847398112/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^3 + 49820344718331398401073317875029202231012843193651273590855933380/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^2 - 3590579922768554668019540491827910209833013711286734352179129365/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a - 1317447410693745131094829679230077044157348183228712125384460/32000260381522233657367654448466087068395716222593767588263, 3996021101710218857420077522446369486499314171259633606667/34030728516053015386530305296857467496251663764846733422008591a^26 - 668747420158107302750021850954243543984564137731999828394/2040527241774939027045337454937294956254935351470500456638813a^25 + 258570914481304616733971170005811045970441987107657467218882/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^24 - 2092344431847984174460279407135197506298734084111804003902854/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^23 + 12227804792516596561377959305984287808710879413532388430901431/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^22 - 35884895666078501736120347638304489282743055638393473460225276/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^21 + 84359658648119345202143526464497020834271889432472363058816924/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^20 - 194989881420739652685121542527915776659766027812182141871578/13024105975279549098548635360525697436837056502595663408423041a^19 + 358950799382197351837968649985618965568028345969053481191590435/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 52446504277492541251876762745074247931774092740219005721066988/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^17 + 777139964416788350294353000868652270858624734960410729235999354/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 402220308071016320213088210380519350686583506938000409736268239/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^15 - 198944230620637997747965716532436121814657387433313117885772174/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^14 + 12147472588280320318588068762654175663741700605650868803481215107/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^13 - 1162111100999612812606668712291284493716312403436691907277451947/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^12 + 10851689303202749055528860219678071746097815437687574657052371817/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^11 - 28122687528878243254363514481137007112639016722478171763150290666/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 58415653303124180788876562461432741313850334168326052870367651623/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^9 - 42689769248791949248352117786487837548640154459273611694428899158/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^8 + 42427598325070202546137424665345098746454548673414535560282899174/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^7 + 29521399532072037140700322225521847712151373646039591491575597722/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 + 9006294150919787325084722158542890038155629840799058466766841856/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 9262064850153243494031377754878060019725610925899219235098988177/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^4 + 22226310061077761958587579969298472839384418118416143169008254654/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^3 + 26186249948242580303900350290047665174310368324367610193671158096/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^2 - 1682050250183629613426565133319022980328908679754571708454195377/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a - 2188163049499634927529012990496019075542841996790969818917313/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367, 134526775971071757153621075746009752/6361197415080309029633818127004288754569a^26 - 1117379703101919559663014077152923307/14842793968520721069145575629676673760661a^25 + 16114476827831959968881715959849274031/44528381905562163207436726889030021281983a^24 - 59255540757528384772803274403590540865/44528381905562163207436726889030021281983a^23 + 134446929427922285898390428817539286452/44528381905562163207436726889030021281983a^22 - 120393124105961903863354181311966976101/14842793968520721069145575629676673760661a^21 + 126146170082866487450653583696032918970/6361197415080309029633818127004288754569a^20 - 704589353481770483777667805684543790467/44528381905562163207436726889030021281983a^19 + 434309308737103172069514926904110511469/6361197415080309029633818127004288754569a^18 + 28106902315843000442808670154182158925/549733109945211891449836134432469398543a^17 + 3398113178131020810373685352101427379627/44528381905562163207436726889030021281983a^16 + 24500051713699724176524231819320499432274/44528381905562163207436726889030021281983a^15 - 21198976493490532461905517301688891821627/44528381905562163207436726889030021281983a^14 + 34107742681158048319543572552293837606290/14842793968520721069145575629676673760661a^13 - 135451730865056148702775754984943280662427/44528381905562163207436726889030021281983a^12 + 322548314961482376968340394012066293554159/44528381905562163207436726889030021281983a^11 - 61330909259709496387121456352847280316671/6361197415080309029633818127004288754569a^10 + 32361787525505072571770452630910280660712/2120399138360103009877939375668096251523a^9 - 739648716788698447891898706595536635014280/44528381905562163207436726889030021281983a^8 + 1332670566971427368206584563920029096236755/44528381905562163207436726889030021281983a^7 - 86882746829828897921785523567469357106750/6361197415080309029633818127004288754569a^6 + 18273064697298435472420052055123665331476/4947597989506907023048525209892224586887a^5 + 130885882149990712673255364790126186948130/44528381905562163207436726889030021281983a^4 + 306777675581073050153884941053372582060138/44528381905562163207436726889030021281983a^3 - 2128322514147394755616417717219819702915/478799805436152292553083084828279798731a^2 - 971966290330160112816827249514179687333/706799712786701003292646458556032083841a + 98211210358282418277439857705064253933/149927211803239606759046218481582563239, 1431884689100432037815472117035152249778276515088964536927/31968260121140711423710286794017620981327320506371173820674737a^26 - 44587380499230179000772947439117983057346601603086713151598/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^25 + 234154004372445359842261890247956385966922471372327993195833/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^24 - 270588902752812159204806804385313955547514676252574549665908/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^23 + 43641130756526230724016114067072414306045045807698557372779/9504077333312103396238193371194427859313527718110348973714111a^22 - 4712062446117656401424024734821363892753685140482990010460039/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^21 + 11035686805718568711558248313600288252653864138795861198427560/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^20 - 966383154305849484724618015818864085161117268411539211045157/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^19 + 46664606041590269331251226390399390048227153743281759342580190/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^18 + 72646664672616722224505196437795382635332291881247857306859232/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^17 + 101930268478263371100331644366253063580984704073061179051154922/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^16 + 30246357643642852924776574127267936178719071664630074737254/22468267927451781078577289293603848367171460326502007030057a^15 - 21388582971568634602397666769779226593570230024393799398696703/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^14 + 1625572155157121572839137894928419568521793186305076232861707118/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^13 - 1044980793036080606789403364956527537419026932478167021731177972/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^12 + 6344028735508521967006385920721240325470954489415958484749841/507432700335566847995401377682819380655989214386844028899599a^11 - 3694299581282923124291561678599460318335578673172202618147379660/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^10 + 7988773085018831025151698855410881605715894270230070207112094887/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^9 - 5713278037772572132147442592698079964739880617746457397310630283/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^8 + 802293947885266368726752105047969591226977533921311769050587711/16745279111073705983848245463533039561647644074765852953686767a^7 + 3427465226781743233333992543305310462007933122620426508458540584/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^6 + 2225571152608234874815307949647882613881530007800826568557727640/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^5 + 82652639830864314440274256851914413592907969208625073046315438/7481933219841443099166237334770081506268096288725168341008981a^4 + 2759949347696198360133088098528879368948588048655770801097872009/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^3 + 4189868117583676483216923752977483608561063209581630398589172128/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^2 + 52942771649870416158911237350141424317533799295623427301222560/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a - 462297802143634494163581156352392858156548843613474049834516/96000781144566700972102963345398261205187148667781302764789, 399305877252526680701017913339680066057476005197167524363/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^26 - 10686849690582085946304769139500728428373700432185593259145/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^25 + 18904746141142758532662529897950824393246379402726247503545/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^24 - 18060795660416187716438475250322354241958735175696071361420/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^23 + 38604836531219735997024663024202836667590709345138047919201/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^22 - 176419352242603732264694441586367577105611314247927993044275/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^21 + 322360096112825939398113738782780202614508406780290301723174/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^20 - 1657915480547528131549237142930067089003130291295970649887381/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^19 + 12209955028286094084022671023758928418889394824488528621653398/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 2067334691036305184364643628213605864569114664947131465263775/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^17 + 8615400357012621293799448429293561944808299812458838366239349/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^16 + 113508635864141397293760553592332758492018119616909726258383081/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^15 - 15762484126525697729578444258172820912789909857690629928728846/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^14 + 61552980375487205215904915119346786320873743748768890788719798/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^13 - 107202157409553335372841583518772624729563680232650029927871024/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^12 + 175014366903909154293589320551880214506174865419489508478803063/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^11 - 165141955031191944220255105945667281358891943168354632433992399/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^10 + 2404108619293933251142133862862989190694267963458071668855787815/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^9 - 222966309591412424794995981360883780401139985596159085852280623/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^8 + 152653887780064688353330028644432111315563739468795492322730314/34030728516053015386530305296857467496251663764846733422008591a^7 - 200863926061735211515817141600765036785804623180938174988560806/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 + 1256810112586033074899038273749999224297169597965303336538886009/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 905954226426498816221834086159396706023613998512377114082709991/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^4 - 440213897325373395667624176430515519721867847558674260293628494/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^3 + 1504354001643009069065102112546071644822078230628168297247683267/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^2 + 22304893458417943620241657481698362359759809235936296689263182/31968260121140711423710286794017620981327320506371173820674737a - 187763275533121271490030805841583703121939086916999680090114/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367, 177464041335547775139233974779189967927448275787733300834590/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^26 - 66594366680700934921888444288492150649610676076975918385446/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^25 + 2480923083140171125120280210251360642688430837196578065814845/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^24 - 313225267062312622081463225197903231185445678200951688428050/39072317925838647295645906081577092310511169507786990225269123a^23 + 15545059963553113878373351447508778943145405899942135266645971/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^22 - 46688782615666080414101372143012061229325899028781274431559337/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^21 + 108466036420531466398022962075258386587290957802720957297957413/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^20 + 352435715249073376066215546128083487643597398442775493389228/50235837333221117951544736390599118684942932224297558861060301a^19 + 484826998109735150037339953087936662951982205096435160173246343/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^18 + 925103145988555149523872415788708792973233071012131810293835825/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^17 + 1171761628814404467419082150004320720254391700016768162704007057/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 251878470115276393783042218082747445380871639461281394365022208/50235837333221117951544736390599118684942932224297558861060301a^15 + 539942538134448335984105317827551432740206174703869441251121827/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^14 + 16670419313566511049434600880168753953547904002258553818636569192/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^13 - 7985052395274379748682609475444038548257547338765343138223671804/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^12 + 14033525201523842344510698602083881746348958404464569427519859210/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^11 - 28652941988040746759984146554434574986226664554450877983757997492/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^10 + 9844283172722114945795316506626578285343104492299433181919806594/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^9 - 36636941886117435782537914591704613583226710150508027202870187563/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^8 + 1686998365545937212101085350266939756034928192863495833630898932/11343576172017671795510101765619155832083887921615577807336197a^7 + 86925956941421444425510303543940972724342928112467733201836804943/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^6 - 1546057149915948350885758025567852189118655761254259822999943657/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^5 + 21292055451657598952773107912918991822012420232285989340575753402/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^4 + 13531488119178667369882161553953435739496261158885899463522375100/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^3 + 47560244323130690002776182324675639151281431211193465568169423579/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^2 - 243273921907235673909800883287386918373943194102438313818464268/11343576172017671795510101765619155832083887921615577807336197a - 785844038279185221926751147093913480563438601878028499257514/41143191919100014702329841433742111945080206571906272613481, 122213990786587999405428251512821089986526237490885244412522/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^26 - 315003776863511006688260892796734711846104636351353813331608/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^25 + 1719684510051839572094787453925498598969681152106638132612640/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^24 - 5802485802057884161230666655846061445858355936971769519578410/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^23 + 1198168923965216526487286893925612459334759922699371972421532/117216953777515941886937718244731276931533508523360970675807369a^22 - 4689618658200628431289172015560301062628258630030251643833985/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^21 + 10745902539868325811309637059625217626096244638959322251273163/150707511999663353854634209171797356054828796672892676583180903a^20 + 1875764737361448823660196560829530198299141317316707616678683/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^19 + 826108759441424446116289896437456824320044397186522841069429/2493977739947147699722079111590027168756032096241722780336327a^18 + 3028188524582055532004417478475213184438145122132164150914023/4861532645150430769504329328122495356607380537835247631715513a^17 + 919302781706422098844598221475418855349314611183369353754739626/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^16 + 3845415502102752145042403374842833299959488035379908889474890036/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^15 + 264280970476435320913334868448858961236549197406488130929736240/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^14 + 12387234524951762101546876032792351932498994697210129579330124923/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^13 - 4614180209465019058939744342163684110055810770900112810685626108/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^12 + 31441948465160002276101652877741173450767439054465061851785078197/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^11 - 302170004397120922340228867944339084835888247571367724358932671/16745279111073705983848245463533039561647644074765852953686767a^10 + 52963644548631259157081420583587342540612129414699169296429530181/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^9 - 26559144959272225390245100949595689066772799272081974576801961973/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^8 + 2495505955986218461464430919032746969563655083566419555875011412/22445799659524329297498712004310244518804288866175505023026943a^7 + 19977933556185387348281434811603319435595238928156976848248482601/351650861332547825660813154734193830794600525570082912027422107a^6 + 19703705896067012632459821672587820130724404734374627181917029972/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^5 + 2865665798446737236160427795850327385168123531965313073326441248/95904780363422134271130860382052862943981961519113521462024211a^4 + 92994896874847576076616405829348163316586721952733967499795111215/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^3 + 40722401004792942067839621811277160456538054661263164066218880193/1054952583997643476982439464202581492383801576710248736082266321a^2 - 441777918524200659866499116059508795106050808461750388748809277/50235837333221117951544736390599118684942932224297558861060301a - 3442587411380775332420919921442864605938533447056522622217707/288002343433700102916308890036194783615561446003343908294367 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 2789984396899.383 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{13}\cdot 2789984396899.383 \cdot 2}{2\cdot\sqrt{4907350451606845763597379498834801987276076711}}\cr\approx \mathstrut & 1.89472646812597 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 15*x^25 - 53*x^24 + 106*x^23 - 298*x^22 + 714*x^21 - 199*x^20 + 2747*x^19 + 4180*x^18 + 4767*x^17 + 27487*x^16 - 7928*x^15 + 93863*x^14 - 80586*x^13 + 257840*x^12 - 253867*x^11 + 459460*x^10 - 363114*x^9 + 981160*x^8 + 143119*x^7 - 202978*x^6 + 143097*x^5 + 629777*x^4 + 25669*x^3 - 205103*x^2 - 65505*x + 40293);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$D_{27}$ (as 27T8):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 54

The 15 conjugacy class representatives for $D_{27}$

Character table for $D_{27}$

Intermediate fields

3.1.3271.1, 9.1.114478037712481.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	${\href{/padicField/3.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/3.1.0.1}{1} }$	$27$	${\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }$	$27$	${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$3271$ 3271	$\Q_{3271}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$

Artin representations

	Label	Dimension	Conductor	Artin stem field	$G$	Ind	$\chi(c)$
*	1.1.1t1.a.a	$1$	$1$	$\Q$	$C_1$	$1$	$1$
	1.3271.2t1.a.a	$1$	$ 3271 $	$\Q(\sqrt{-3271}) $	$C_2$ (as 2T1)	$1$	$-1$
*	2.3271.3t2.a.a	$2$	$ 3271 $	3.1.3271.1	$S_3$ (as 3T2)	$1$	$0$
*	2.3271.9t3.a.b	$2$	$ 3271 $	9.1.114478037712481.1	$D_{9}$ (as 9T3)	$1$	$0$
*	2.3271.9t3.a.c	$2$	$ 3271 $	9.1.114478037712481.1	$D_{9}$ (as 9T3)	$1$	$0$
*	2.3271.9t3.a.a	$2$	$ 3271 $	9.1.114478037712481.1	$D_{9}$ (as 9T3)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.b	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.g	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.f	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.e	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.d	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.c	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.a	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.i	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$
*	2.3271.27t8.a.h	$2$	$ 3271 $	27.1.4907350451606845763597379498834801987276076711.1	$D_{27}$ (as 27T8)	$1$	$0$

Data is given for all irreducible representations of the Galois group for the Galois closure of this field. Those marked with * are summands in the permutation representation coming from this field. Representations which appear with multiplicity greater than one are indicated by exponents on the *.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more