Normalized defining polynomial
\( x^{27} - 7 x^{26} + 21 x^{25} - 50 x^{24} + 110 x^{23} - 244 x^{22} + 734 x^{21} - 2140 x^{20} + 5743 x^{19} - 13591 x^{18} + 28791 x^{17} - 54584 x^{16} + 93410 x^{15} - 138060 x^{14} + \cdots - 80 \)
Invariants
Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[1, 13]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(-149674927005884133619412112407487159468032\) \(\medspace = -\,2^{18}\cdot 563^{13}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(33.50\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{2/3}563^{1/2}\approx 37.66525059231157$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(563\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-563}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{4}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{20}a^{17}+\frac{1}{10}a^{16}-\frac{1}{20}a^{15}-\frac{1}{10}a^{14}+\frac{1}{5}a^{13}-\frac{1}{10}a^{12}-\frac{1}{20}a^{11}-\frac{1}{5}a^{10}-\frac{1}{10}a^{8}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{20}a^{5}-\frac{2}{5}a^{4}+\frac{1}{10}a^{2}-\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{20}a^{18}-\frac{1}{10}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{10}a^{12}-\frac{1}{10}a^{11}-\frac{1}{10}a^{10}+\frac{3}{20}a^{9}-\frac{3}{10}a^{8}-\frac{1}{20}a^{6}+\frac{9}{20}a^{5}-\frac{1}{5}a^{4}-\frac{2}{5}a^{3}-\frac{1}{10}a^{2}-\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{20}a^{19}-\frac{1}{10}a^{15}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{10}a^{13}-\frac{1}{10}a^{12}-\frac{1}{10}a^{11}+\frac{3}{20}a^{10}+\frac{1}{5}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{20}a^{7}-\frac{1}{20}a^{6}-\frac{1}{5}a^{5}+\frac{1}{10}a^{4}+\frac{2}{5}a^{3}-\frac{1}{5}a^{2}$, $\frac{1}{40}a^{20}-\frac{1}{40}a^{19}-\frac{1}{40}a^{17}+\frac{1}{40}a^{16}-\frac{1}{20}a^{15}+\frac{1}{8}a^{14}-\frac{9}{40}a^{13}-\frac{3}{40}a^{12}-\frac{1}{10}a^{11}+\frac{1}{8}a^{10}-\frac{9}{40}a^{9}-\frac{1}{10}a^{8}+\frac{1}{8}a^{7}+\frac{17}{40}a^{6}+\frac{3}{10}a^{5}+\frac{1}{10}a^{4}+\frac{9}{20}a^{3}+\frac{3}{10}a^{2}+\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{40}a^{21}-\frac{1}{40}a^{19}-\frac{1}{40}a^{18}-\frac{1}{40}a^{16}+\frac{3}{40}a^{15}-\frac{1}{10}a^{14}+\frac{1}{5}a^{13}-\frac{7}{40}a^{12}+\frac{1}{40}a^{11}-\frac{1}{10}a^{10}+\frac{7}{40}a^{9}+\frac{1}{40}a^{8}-\frac{9}{20}a^{7}-\frac{11}{40}a^{6}-\frac{1}{10}a^{5}-\frac{9}{20}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{40}a^{22}-\frac{1}{20}a^{16}-\frac{1}{20}a^{15}+\frac{9}{40}a^{14}+\frac{1}{5}a^{13}-\frac{1}{10}a^{11}+\frac{1}{10}a^{8}-\frac{1}{5}a^{7}-\frac{19}{40}a^{6}+\frac{1}{10}a^{5}-\frac{9}{20}a^{4}-\frac{3}{20}a^{3}+\frac{2}{5}a^{2}-\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{40}a^{23}+\frac{1}{20}a^{16}-\frac{3}{40}a^{15}-\frac{3}{20}a^{14}-\frac{1}{20}a^{13}-\frac{1}{5}a^{12}+\frac{1}{5}a^{11}+\frac{1}{20}a^{10}-\frac{3}{20}a^{9}+\frac{1}{5}a^{8}+\frac{1}{40}a^{7}-\frac{3}{20}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{20}a^{4}+\frac{2}{5}a^{3}+\frac{2}{5}a^{2}-\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{40}a^{24}+\frac{3}{40}a^{16}-\frac{1}{10}a^{15}+\frac{1}{20}a^{14}-\frac{3}{20}a^{13}+\frac{1}{20}a^{12}+\frac{1}{10}a^{11}+\frac{1}{20}a^{10}-\frac{1}{20}a^{9}+\frac{3}{8}a^{8}-\frac{2}{5}a^{7}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{3}{10}a^{4}+\frac{2}{5}a^{3}+\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{973400}a^{25}-\frac{137}{97340}a^{24}-\frac{737}{97340}a^{23}-\frac{4}{785}a^{22}+\frac{489}{97340}a^{21}-\frac{5739}{973400}a^{20}-\frac{14249}{973400}a^{19}+\frac{2012}{121675}a^{18}+\frac{77}{15700}a^{17}+\frac{621}{31400}a^{16}-\frac{4869}{243350}a^{15}-\frac{173167}{973400}a^{14}+\frac{4707}{31400}a^{13}+\frac{160601}{973400}a^{12}+\frac{277}{24335}a^{11}-\frac{209751}{973400}a^{10}+\frac{27823}{243350}a^{9}-\frac{2227}{19468}a^{8}+\frac{120443}{973400}a^{7}-\frac{325971}{973400}a^{6}-\frac{26279}{121675}a^{5}+\frac{2821}{7850}a^{4}+\frac{177613}{486700}a^{3}-\frac{40787}{243350}a^{2}-\frac{56989}{121675}a+\frac{5748}{24335}$, $\frac{1}{36\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!87}{73\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{69\!\cdots\!11}{36\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!80}a^{22}-\frac{50\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!09}{73\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!01}{73\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!23}{36\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!29}{91\!\cdots\!50}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!81}{91\!\cdots\!50}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{95\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!79}{36\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!51}{91\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!71}{91\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!25}a-\frac{44\!\cdots\!33}{91\!\cdots\!25}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $2$, $5$ |
Class group and class number
$C_{2}$, which has order $2$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $13$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{46\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!37}{36\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!32}{91\!\cdots\!25}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!81}{29\!\cdots\!16}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{78\!\cdots\!73}{36\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!97}{36\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!87}{36\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!97}{36\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!37}{91\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!25}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!25}a+\frac{26\!\cdots\!54}{91\!\cdots\!25}$, $\frac{11\!\cdots\!73}{73\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!40}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!11}{73\!\cdots\!40}a^{24}-\frac{94\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!80}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!47}{73\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!53}{73\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!24}{91\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!50}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!64}{91\!\cdots\!25}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!23}{36\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!07}{73\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!53}{36\!\cdots\!70}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!53}{73\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!81}{73\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!69}{73\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!49}{73\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!46}{91\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!29}{36\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!37}{36\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!85}a+\frac{64\!\cdots\!20}{36\!\cdots\!77}$, $\frac{56\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!97}{91\!\cdots\!25}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!16}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!73}{36\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!89}{91\!\cdots\!50}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!17}{29\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!03}{36\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!73}{36\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!25}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!25}a+\frac{22\!\cdots\!64}{91\!\cdots\!25}$, $\frac{22\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!81}{73\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{86\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!80}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!61}{73\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{87\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!25}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!47}{91\!\cdots\!50}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!53}{91\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!43}{91\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!87}{36\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!17}{91\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!25}a+\frac{10\!\cdots\!96}{91\!\cdots\!25}$, $\frac{25\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!91}{73\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!09}{73\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!85}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!39}{73\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!51}{73\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!25}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!17}{36\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!73}{36\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!18}{14\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!25}a-\frac{16\!\cdots\!36}{91\!\cdots\!25}$, $\frac{44\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!25}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!59}{91\!\cdots\!25}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!93}{73\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!35}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!69}{91\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!80}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!81}{91\!\cdots\!50}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!89}{36\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{71\!\cdots\!83}{91\!\cdots\!50}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!91}{36\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!01}{36\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!49}{91\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!25}a+\frac{57\!\cdots\!78}{91\!\cdots\!25}$, $\frac{29\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!50}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!79}{73\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!70}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!11}{73\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!67}{91\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!53}{36\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!73}{36\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!43}{36\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!47}{91\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!81}{91\!\cdots\!50}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!25}a+\frac{68\!\cdots\!24}{91\!\cdots\!25}$, $\frac{21\!\cdots\!03}{36\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!57}{73\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!85}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!19}{73\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!85}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!39}{73\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{90\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!50}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!91}{73\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!57}{73\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!17}{73\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!80}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!73}{36\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!43}{73\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!31}{73\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!18}{91\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!88}{91\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!64}{91\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!29}{36\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!08}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!12}{91\!\cdots\!25}a+\frac{41\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!85}$, $\frac{51\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!50}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{59\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{59\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!50}a^{21}+\frac{90\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!12}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!93}{85\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!50}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!75}a+\frac{26\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!75}$, $\frac{84\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!50}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!19}{88\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!11}{88\!\cdots\!80}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!50}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!50}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!56}{55\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!68}{55\!\cdots\!75}a+\frac{28\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{55\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{97\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{56\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{69\!\cdots\!47}{88\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!75}a+\frac{15\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{57\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!50}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!75}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!21}{88\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!31}{88\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!50}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!75}a-\frac{13\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{21\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!50}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!81}{88\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!90}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!33}{88\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!98}{55\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!50}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!75}a+\frac{88\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!75}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 14887194175.434155 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{13}\cdot 14887194175.434155 \cdot 2}{2\cdot\sqrt{149674927005884133619412112407487159468032}}\cr\approx \mathstrut & 1.83065543691759 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A solvable group of order 54 |
The 15 conjugacy class representatives for $D_{27}$ |
Character table for $D_{27}$ |
Intermediate fields
3.1.563.1, 9.1.100469346961.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | $27$ | ${\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }$ | $27$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.3.2.1 | $x^{3} + 2$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ |
2.6.4.1 | $x^{6} + 3 x^{5} + 10 x^{4} + 19 x^{3} + 22 x^{2} + 11 x + 7$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
2.6.4.1 | $x^{6} + 3 x^{5} + 10 x^{4} + 19 x^{3} + 22 x^{2} + 11 x + 7$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
2.6.4.1 | $x^{6} + 3 x^{5} + 10 x^{4} + 19 x^{3} + 22 x^{2} + 11 x + 7$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
2.6.4.1 | $x^{6} + 3 x^{5} + 10 x^{4} + 19 x^{3} + 22 x^{2} + 11 x + 7$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
\(563\) | $\Q_{563}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |