# Properties

 Label 27.1.108...375.1 Degree $27$ Signature $[1, 13]$ Discriminant $-1.090\times 10^{48}$ Root discriminant $$60.14$$ Ramified primes $5,7,67$ Class number $3$ (GRH) Class group $[3]$ (GRH) Galois group $D_{27}$ (as 27T8)

# Related objects

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

## Normalizeddefining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 8*x^26 + 11*x^25 + 79*x^24 - 318*x^23 + 272*x^22 + 1817*x^21 - 11487*x^20 + 27792*x^19 - 5214*x^18 - 88324*x^17 + 101476*x^16 + 384139*x^15 - 2894444*x^14 + 8285833*x^13 - 7065937*x^12 - 6208737*x^11 - 6594753*x^10 + 51530498*x^9 - 40765921*x^8 + 72314518*x^7 - 318855243*x^6 + 340132420*x^5 + 140246505*x^4 - 148040525*x^3 - 594053575*x^2 + 805097125*x - 295863625)

gp: K = bnfinit(y^27 - 8*y^26 + 11*y^25 + 79*y^24 - 318*y^23 + 272*y^22 + 1817*y^21 - 11487*y^20 + 27792*y^19 - 5214*y^18 - 88324*y^17 + 101476*y^16 + 384139*y^15 - 2894444*y^14 + 8285833*y^13 - 7065937*y^12 - 6208737*y^11 - 6594753*y^10 + 51530498*y^9 - 40765921*y^8 + 72314518*y^7 - 318855243*y^6 + 340132420*y^5 + 140246505*y^4 - 148040525*y^3 - 594053575*y^2 + 805097125*y - 295863625, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 8*x^26 + 11*x^25 + 79*x^24 - 318*x^23 + 272*x^22 + 1817*x^21 - 11487*x^20 + 27792*x^19 - 5214*x^18 - 88324*x^17 + 101476*x^16 + 384139*x^15 - 2894444*x^14 + 8285833*x^13 - 7065937*x^12 - 6208737*x^11 - 6594753*x^10 + 51530498*x^9 - 40765921*x^8 + 72314518*x^7 - 318855243*x^6 + 340132420*x^5 + 140246505*x^4 - 148040525*x^3 - 594053575*x^2 + 805097125*x - 295863625);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 8*x^26 + 11*x^25 + 79*x^24 - 318*x^23 + 272*x^22 + 1817*x^21 - 11487*x^20 + 27792*x^19 - 5214*x^18 - 88324*x^17 + 101476*x^16 + 384139*x^15 - 2894444*x^14 + 8285833*x^13 - 7065937*x^12 - 6208737*x^11 - 6594753*x^10 + 51530498*x^9 - 40765921*x^8 + 72314518*x^7 - 318855243*x^6 + 340132420*x^5 + 140246505*x^4 - 148040525*x^3 - 594053575*x^2 + 805097125*x - 295863625)

$$x^{27} - 8 x^{26} + 11 x^{25} + 79 x^{24} - 318 x^{23} + 272 x^{22} + 1817 x^{21} - 11487 x^{20} + 27792 x^{19} - 5214 x^{18} - 88324 x^{17} + 101476 x^{16} + 384139 x^{15} + \cdots - 295863625$$

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

## Invariants

 Degree: $27$ sage: K.degree()  gp: poldegree(K.pol)  magma: Degree(K);  oscar: degree(K) Signature: $[1, 13]$ sage: K.signature()  gp: K.sign  magma: Signature(K);  oscar: signature(K) Discriminant: $$-1089801024238603052304820653163822019730224609375$$ -1089801024238603052304820653163822019730224609375 $$\medspace = -\,5^{13}\cdot 7^{18}\cdot 67^{13}$$ sage: K.disc()  gp: K.disc  magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);  oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK) Root discriminant: $$60.14$$ sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())  gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))  magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));  oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K)) Ramified primes: $$5$$, $$7$$, $$67$$ 5, 7, 67 sage: K.disc().support()  gp: factor(abs(K.disc))[,1]~  magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));  oscar: prime_divisors(discriminant((OK))) Discriminant root field: $$\Q(\sqrt{-335})$$ $\card{ \Aut(K/\Q) }$: $1$ sage: K.automorphisms()  magma: Automorphisms(K);  oscar: automorphisms(K) This field is not Galois over $\Q$. This is not a CM field.

## Integral basis (with respect to field generator $$a$$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $\frac{1}{5}a^{10}-\frac{2}{5}a^{6}+\frac{1}{5}a^{2}$, $\frac{1}{5}a^{11}-\frac{2}{5}a^{7}+\frac{1}{5}a^{3}$, $\frac{1}{5}a^{12}-\frac{2}{5}a^{8}+\frac{1}{5}a^{4}$, $\frac{1}{5}a^{13}-\frac{2}{5}a^{9}+\frac{1}{5}a^{5}$, $\frac{1}{5}a^{14}+\frac{2}{5}a^{6}+\frac{2}{5}a^{2}$, $\frac{1}{5}a^{15}+\frac{2}{5}a^{7}+\frac{2}{5}a^{3}$, $\frac{1}{5}a^{16}+\frac{2}{5}a^{8}+\frac{2}{5}a^{4}$, $\frac{1}{5}a^{17}+\frac{2}{5}a^{9}+\frac{2}{5}a^{5}$, $\frac{1}{25}a^{18}+\frac{1}{25}a^{17}+\frac{2}{25}a^{16}-\frac{2}{25}a^{15}+\frac{1}{25}a^{14}-\frac{1}{25}a^{13}-\frac{1}{25}a^{11}+\frac{9}{25}a^{9}-\frac{11}{25}a^{8}-\frac{12}{25}a^{7}-\frac{7}{25}a^{6}+\frac{11}{25}a^{5}-\frac{6}{25}a^{4}-\frac{1}{5}a^{3}-\frac{1}{5}a^{2}$, $\frac{1}{25}a^{19}+\frac{1}{25}a^{17}+\frac{1}{25}a^{16}-\frac{2}{25}a^{15}-\frac{2}{25}a^{14}+\frac{1}{25}a^{13}-\frac{1}{25}a^{12}+\frac{1}{25}a^{11}-\frac{1}{25}a^{10}+\frac{1}{5}a^{9}+\frac{9}{25}a^{8}-\frac{1}{5}a^{7}-\frac{12}{25}a^{6}+\frac{8}{25}a^{5}+\frac{11}{25}a^{4}-\frac{2}{5}a^{3}-\frac{1}{5}a^{2}$, $\frac{1}{25}a^{20}+\frac{1}{25}a^{16}+\frac{1}{25}a^{12}-\frac{9}{25}a^{8}+\frac{6}{25}a^{4}$, $\frac{1}{25}a^{21}+\frac{1}{25}a^{17}+\frac{1}{25}a^{13}-\frac{9}{25}a^{9}+\frac{6}{25}a^{5}$, $\frac{1}{2125}a^{22}-\frac{36}{2125}a^{21}-\frac{36}{2125}a^{20}+\frac{3}{425}a^{19}+\frac{43}{2125}a^{17}-\frac{108}{2125}a^{16}-\frac{138}{2125}a^{15}-\frac{2}{25}a^{14}-\frac{41}{425}a^{13}-\frac{46}{2125}a^{12}-\frac{94}{2125}a^{11}-\frac{149}{2125}a^{10}-\frac{137}{425}a^{9}+\frac{18}{425}a^{8}-\frac{863}{2125}a^{7}+\frac{1028}{2125}a^{6}-\frac{287}{2125}a^{5}+\frac{103}{425}a^{4}+\frac{22}{85}a^{3}-\frac{3}{17}a^{2}-\frac{2}{85}a+\frac{1}{17}$, $\frac{1}{1566125}a^{23}+\frac{1}{92125}a^{22}+\frac{27211}{1566125}a^{21}+\frac{28112}{1566125}a^{20}-\frac{52}{28475}a^{19}-\frac{10157}{1566125}a^{18}+\frac{52321}{1566125}a^{17}-\frac{75987}{1566125}a^{16}-\frac{54149}{1566125}a^{15}-\frac{31321}{313225}a^{14}+\frac{129764}{1566125}a^{13}+\frac{71503}{1566125}a^{12}-\frac{131611}{1566125}a^{11}-\frac{107352}{1566125}a^{10}-\frac{14587}{313225}a^{9}-\frac{494108}{1566125}a^{8}+\frac{610639}{1566125}a^{7}-\frac{669068}{1566125}a^{6}-\frac{269781}{1566125}a^{5}+\frac{154744}{313225}a^{4}+\frac{26787}{62645}a^{3}-\frac{17763}{62645}a^{2}+\frac{67}{935}a+\frac{49}{187}$, $\frac{1}{1566125}a^{24}-\frac{347}{1566125}a^{22}-\frac{16596}{1566125}a^{21}-\frac{48}{313225}a^{20}+\frac{5298}{1566125}a^{19}-\frac{5118}{313225}a^{18}-\frac{70726}{1566125}a^{17}+\frac{110757}{1566125}a^{16}-\frac{1976}{28475}a^{15}-\frac{152266}{1566125}a^{14}+\frac{14566}{313225}a^{13}-\frac{30143}{1566125}a^{12}-\frac{5054}{1566125}a^{11}+\frac{22887}{313225}a^{10}+\frac{5102}{1566125}a^{9}+\frac{120998}{313225}a^{8}-\frac{171074}{1566125}a^{7}-\frac{264587}{1566125}a^{6}+\frac{26288}{62645}a^{5}-\frac{18182}{313225}a^{4}+\frac{16963}{62645}a^{3}+\frac{1261}{5695}a^{2}-\frac{16}{187}a+\frac{69}{187}$, $\frac{1}{4019358014375}a^{25}-\frac{1092866}{4019358014375}a^{24}+\frac{476863}{4019358014375}a^{23}+\frac{733574131}{4019358014375}a^{22}+\frac{50923054101}{4019358014375}a^{21}-\frac{70866659987}{4019358014375}a^{20}-\frac{62376008723}{4019358014375}a^{19}+\frac{79492017619}{4019358014375}a^{18}-\frac{146356384442}{4019358014375}a^{17}+\frac{299501636793}{4019358014375}a^{16}-\frac{246968380411}{4019358014375}a^{15}+\frac{220948660616}{4019358014375}a^{14}-\frac{18324496293}{365396183125}a^{13}+\frac{51219224684}{4019358014375}a^{12}+\frac{281579707479}{4019358014375}a^{11}+\frac{16433562326}{236432824375}a^{10}-\frac{54779437001}{236432824375}a^{9}+\frac{114291735318}{236432824375}a^{8}-\frac{2289056378}{4019358014375}a^{7}+\frac{1574165690332}{4019358014375}a^{6}-\frac{71883675883}{160774320575}a^{5}+\frac{205226591736}{803871602875}a^{4}+\frac{2050424108}{14615847325}a^{3}+\frac{737604766}{3420730225}a^{2}+\frac{210878394}{479923345}a+\frac{112787458}{479923345}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!75}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!25}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{87\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!62}{67\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!47}{74\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!69}{90\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!85}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!65}a+\frac{12\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!33}$

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

 Monogenic: No Index: Not computed Inessential primes: $5$

## Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

## Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

 Rank: $13$ sage: UK.rank()  gp: K.fu  magma: UnitRank(K);  oscar: rank(UK) Torsion generator: $$-1$$ -1  (order $2$) sage: UK.torsion_generator()  gp: K.tu[2]  magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);  oscar: torsion_units_generator(OK) Fundamental units: $\frac{65\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!83}{98\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{99\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!73}{98\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!05}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!95}a+\frac{26\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!29}$, $\frac{14\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!76}{66\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!08}{63\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{97\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{80\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!45}a+\frac{42\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!95}$, $\frac{10\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{85\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!91}{94\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!42}{98\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!25}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!29}a+\frac{71\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!45}$, $\frac{16\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!17}{63\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{88\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!29}a+\frac{19\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!45}$, $\frac{33\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!77}{90\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{75\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{57\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!48}{53\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!74}{41\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!31}{41\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!22}{36\!\cdots\!55}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!29}{71\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!65}a+\frac{10\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!65}$, $\frac{23\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{67\!\cdots\!39}{41\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!26}{53\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{93\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!27}{41\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!99}{74\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!88}{90\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!29}{90\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!21}{54\!\cdots\!65}a+\frac{65\!\cdots\!17}{49\!\cdots\!15}$, $\frac{43\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!61}{67\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!33}{39\!\cdots\!25}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!78}{61\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!86}{90\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!93}{74\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!65}a+\frac{45\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!65}$, $\frac{99\!\cdots\!08}{53\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!62}{90\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!52}{90\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!02}{90\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!32}{53\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!54}{29\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!09}{90\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!68}{90\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!85}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!65}a+\frac{52\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!33}$, $\frac{68\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!19}{41\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!58}{74\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{97\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!34}{36\!\cdots\!55}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!09}{90\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!65}a+\frac{34\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!33}$, $\frac{66\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!25}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!78}{90\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!29}{74\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!66}{90\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!38}{41\!\cdots\!25}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!67}{53\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!72}{53\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!96}{54\!\cdots\!65}a+\frac{25\!\cdots\!62}{54\!\cdots\!65}$, $\frac{15\!\cdots\!01}{41\!\cdots\!25}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!38}{67\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!18}{90\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!37}{90\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!86}{54\!\cdots\!65}a+\frac{31\!\cdots\!51}{54\!\cdots\!65}$, $\frac{42\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{74\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!75}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!09}{90\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{76\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!02}{36\!\cdots\!55}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!13}{74\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!83}{53\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!93}{90\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!85}a-\frac{22\!\cdots\!44}{49\!\cdots\!15}$, $\frac{78\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!64}{41\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!89}{41\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!79}{74\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!33}{90\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!88}{49\!\cdots\!15}a+\frac{21\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!65}$ 652334683100962408974786025616538832880639685751065300594699393257828/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^26 - 4186752765363035046229353597454540713264132466030728758643027797390368/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^25 + 507242875532211396514811394928672720017545719348504009389013512210249/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^24 + 4784274270717828313098238687703237499472829713231029328047366745784383/987593025283290489145349462076747367979510804592790615958871776807463383125*a^23 - 124361671727644548858494068863122246899396030590298466621587197034143377/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^22 - 991088300764688328251278744739150390159582257195724566389957038692837/472327099048530233939080177514966132511939950022638990241199545429656400625*a^21 + 2966688357840841274679245992256899999898023013713908542644493976289756/27783947002854719643475304559703890147761173530743470014188208554685670625*a^20 - 5659634538629879161465904273321332892749263805769621278115249458158464938/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^19 + 826468347297756737959952666826273985389928851655251869293164038974774444/987593025283290489145349462076747367979510804592790615958871776807463383125*a^18 + 11382940147157329662923495498525734191868753438363426567485324351049174614/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^17 - 3674896260491195044323636739657934521927485756659489841607046735110439773/987593025283290489145349462076747367979510804592790615958871776807463383125*a^16 + 1740875387137459522870804020651291001417950313074491377996799666902373393/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^15 + 257270642834688093669525060299265797456187331879073475117134944611669112571/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^14 - 1482399993095151915240811866896318640352786460627191046552754666921853730493/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^13 + 3042578005961118054536390248991317472030431003803896413837730312762290243992/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^12 + 301600275678892079653943722011147077688143371697883776803136792481443235866/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^11 - 62925910539393952414388391369787414836937674941039366495411469199698808181/178090545542888448862276132505642967996305227057716340582747369588231101875*a^10 - 10315027480680442201092160081870154028681142247969113559003208283355145778762/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^9 + 17783228233915459782734974262438400194267088089619165274287148361151627746606/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^8 + 2105668150557624086643412265853976071149858465627141239072761420738322224611/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^7 + 9852133662002687216971657098124927606538583748015763564001410564688201146689/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^6 - 26347390223051961579513775657507513709820375189805914007750717079684559093532/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^5 + 15790349220468440465898194492368926236174313459132752825554394871549486337/17381637244985912608958150532550753676439390160833114840876143271811355543*a^4 + 4736116407918649140277841474972253862425213720583464690256995284185081600606/434540931124647815223953763313768841910984754020827871021903581795283888575*a^3 + 32843078940325070322466579939054903849158531589179396313681159982505331114/3778616792388241871512641420119729060095519600181111921929596363437251205*a^2 - 2730010402279020363745595041479538720141611621715353778312807838568648741/117921555257706327062131279053939984236359499055855595935387674842682195*a + 2606106068547504854644784418960816570579617578291442012099748708616057346/259427421566953919536688813918667965319990897922882311057852884653900829, 14582602338438290972064989771994665737169831206650891540455490965758/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^26 - 148111026785686351644118317684148143436377223279586704715769154680077/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^25 + 3731435217376315738057944064242107009066238876876004928126493244276/66647382074332486997538920753645527900457784359022679604586438925657038125*a^24 + 11413545832371795265939447655148742607647174069227915173799664948508/639030781065658551799932004873189473398506991207099810326328796757770424375*a^23 - 9835774438941991068533489457107958765924859354249824356251876436894206/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^22 + 40983609784442630512846024733384559540102061888975198032694081626718/18893083961941209357563207100598645300477598000905559609647981817186256025*a^21 + 1085771378484769868006082762200880254957174699583278895242463719305238/472327099048530233939080177514966132511939950022638990241199545429656400625*a^20 - 258396110405544209257568568597651540182813257049449163132868414779344021/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^19 + 973953175740718024387539409466753354142386453722259324086843921688737133/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^18 - 1718923049998012003141320722827345352996560853602161580149498550350845908/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^17 - 402793560908169981545940441116725105612320176444316510046472100568061627/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^16 + 8027874890163552100223770485286941982581578860392453517615552976039910127/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^15 + 8341624218423543814488431384990680678650188692945895987463273747348747757/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^14 - 60975252839438336073868646168954846857403055416892417731918832292020315826/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^13 + 255556055449628897174632773327745957744086623705161434339351767713070339511/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^12 - 121185191194691767141334398553572681149964689359348841348788120700196162686/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^11 + 4418170115921633623727721244130085777292735197194445475650447598121251/178090545542888448862276132505642967996305227057716340582747369588231101875*a^10 + 809624515636597816854624341321199190993504470634076620780347005405938499431/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^9 + 3053536851579499827179534834104655063808038065011099058062620746619485283482/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^8 - 4268243200684805661627866668352505720684085326099991651109278089519512992962/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^7 - 3363076073475642386794053923298380580034588275087679696220756315675329245578/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^6 - 2524904789049559874828353488272804986148236660968983001504517674859020641534/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^5 + 6304047288256351039864491285548459418818629882933666915084311333900314405216/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^4 + 421656407962284733629178485308832523862224382973438154766407917886419056664/434540931124647815223953763313768841910984754020827871021903581795283888575*a^3 - 14050565288147852170590963486802004613990870629541395685431733830235210821/18893083961941209357563207100598645300477598000905559609647981817186256025*a^2 - 6309155395880854185797100388070206288340872931657303137891524962338627248/1297137107834769597683444069593339826599954489614411555289264423269504145*a + 427957906733277367252305173825982268835743331303019327287599045331455478/117921555257706327062131279053939984236359499055855595935387674842682195, 10454312207331597582107044657570202126184607774185277875320456762243/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^26 - 41003178512059206825978982793427254620180215110536665746134690491622/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^25 - 173292724529370049398770173092015307001282484633160800224748640303517/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^24 + 852796151816789741508332660295981535182680920279481501133964746781761/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^23 + 400199272041484703539688178107957567373948057878783039505749386450299/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^22 - 42454271737172477332860962349649432114604016969366385094747008642591/94465419809706046787816035502993226502387990004527798048239909085931280125*a^21 + 625408265163961449591406088352881150593149122583239087550959917921348/472327099048530233939080177514966132511939950022638990241199545429656400625*a^20 - 48482048439368818134661496294704156186594539611048139722752937277070186/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^19 - 71610900620248652888950406939483579312487399742270743979658960694271067/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^18 + 49208668788453857370344407450795862224841088620304128745592661217169437/987593025283290489145349462076747367979510804592790615958871776807463383125*a^17 - 7499517871987012377431628703321974740546186376261721738570228614490121/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^16 - 1068711321590350162280958231052186021333076840809585528697356041783036808/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^15 + 143661040403749678460958468549941430076073914414632185716463738915511742/987593025283290489145349462076747367979510804592790615958871776807463383125*a^14 - 15118677090157900246946862486762493200923147888556411459533030815885067351/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^13 - 6871635559556662812316903781110494273082904317792634207899319658860540794/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^12 + 26220505892951934482742814519537410619837920533536323656496456395316744507/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^11 + 49258472183183892137402880192665862397927493871834216317393496286764846/178090545542888448862276132505642967996305227057716340582747369588231101875*a^10 - 199547852411928785189104877619441090963152572809264175192273869165682774754/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^9 - 855904773678710704772988460084086276554007450158675315249833579412551177093/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^8 + 425639545541710519376476498490870368321488572084789249197573257850314619123/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^7 + 2291601372733941968918531398698561118935030991815940102088788917103008065907/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^6 + 593476960845651777960736144010743811556446323402705592222664564588967488672/2172704655623239076119768816568844209554923770104139355109517908976419442875*a^5 - 6369894412883839403027852332239827689849813447776691778378272013565460922/11618741473921064578180581906785263152700127112856360187751432668323098625*a^4 - 202523806446382467764327476353296288683570326081789660888202845830504401006/434540931124647815223953763313768841910984754020827871021903581795283888575*a^3 - 12433245310274291272148764542063842151223660888832919572886782846615706651/18893083961941209357563207100598645300477598000905559609647981817186256025*a^2 + 377771055644639874415035905928624165968745097094863832208828914878407281/259427421566953919536688813918667965319990897922882311057852884653900829*a + 712069662527176049572309406865269252461765712333536426031158244053573363/1297137107834769597683444069593339826599954489614411555289264423269504145, 1660387649072153423613625723954472394501442064448216721058994191717/25561231242626342071997280194927578935940279648283992413053151870310816975*a^26 - 4961710664374654454244592709204127146005384505171314167952238836551446/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^25 + 2744884796071634714946268221742652552430323142923646703956925638028901/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^24 + 59759711205357347663078172254200959611751080637777335456432853785876952/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^23 - 166364494060338091354026896394027550272747912455983146621155415811268851/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^22 + 547784370922558067534871189578990353449164784542785322692833122504858/472327099048530233939080177514966132511939950022638990241199545429656400625*a^21 + 57886061721042766055967734971592815396622332463613963887689787272343764/472327099048530233939080177514966132511939950022638990241199545429656400625*a^20 - 6791295531965042582773250829846913164539620148729480054730258156986659422/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^19 + 12651401875954054188559115843596829837110007312885169018738047386413576201/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^18 + 10355624567430263573327440971500244556684344552799301219164774547292490307/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^17 - 54832890780937050945582383174366819609766825985130311522577755932493895538/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^16 + 13310942884646893427637507703620591400567620870703919706794818347421881991/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^15 + 296874902665495513612364036033366091337519912554033007870248810682217201099/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^14 - 1749243066703813723360163763511151385526118843510279085102980603798536250717/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^13 + 4069970642932297263959457437408812386992154831019409057945849663563441819486/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^12 - 33821039302811593441600634896079163514251494338020326308333302556149739717/639030781065658551799932004873189473398506991207099810326328796757770424375*a^11 - 95582828304074759135245094904420133308498533685239012095419148654709734357/178090545542888448862276132505642967996305227057716340582747369588231101875*a^10 - 10834428368238298196909614806221810787640605695655175188574926751294723565013/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^9 + 27281538347201788387713104627079201403674618930287876707908189914568166196924/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^8 + 180297157093354073416967967415608860408654819099778390090910261979229621233/987593025283290489145349462076747367979510804592790615958871776807463383125*a^7 + 48685490295420395047311104488004831602322305966044365789190419411851856428038/10863523278116195380598844082844221047774618850520696775547589544882097214375*a^6 - 3321775072655171699332639293386784612218116266631709211874316552799321504167/197518605056658097829069892415349473595902160918558123191774355361492676625*a^5 + 47296682708941816203750968989913031357007780721080344985241318971208384992/11618741473921064578180581906785263152700127112856360187751432668323098625*a^4 + 7268312171067568942332704974135965065735331759867599641962763871507002300127/434540931124647815223953763313768841910984754020827871021903581795283888575*a^3 + 163130520876705545432455933603953876673803443145835386576253849820554902111/18893083961941209357563207100598645300477598000905559609647981817186256025*a^2 - 8836680541875467604247965897897248299897166114390431027775967967464782099/259427421566953919536688813918667965319990897922882311057852884653900829*a + 19704919987904655471337155028692161156603595838403171716069154223319783407/1297137107834769597683444069593339826599954489614411555289264423269504145, 33660707364704658938148279603226757637640937281999349887390190175746301481/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^26 - 46187495334205345455523793602354036371590892606599722803625990715633271577/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^25 + 108120640837183622200660392318634250588279713851588737717054295908719959882/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^24 + 2777830977239279104179571520038986371043681718318176737773524002085886189149/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^23 - 7546721878483480623319278667800789309969770936574241218145717629618563140068/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^22 + 27163732494066434694670825606112059829816704401213461825490638769888165313/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^21 + 537443257543163539531232851751526278835976869948297532060707736750339841326/394582058545142157432707580296002707100474634248912612447498100251934957082125*a^20 - 316413121816073338899158916156531216538254393618322445691695170112175302221824/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^19 + 576468084857242704185752226113730592296528998785953304447823698517110929585767/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^18 + 475298798468477963254982347163133451020929820862733435349697088263456069365101/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^17 - 2428657466363361384634614742092324009244876955635517211860264478449653967945988/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^16 + 7921990071673791536188894380461829409888316390485393876361237872791752120348/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^15 + 13675978799677758271114895859826530970563206217841215338082506172575667210137458/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 - 81880165331539199353924775796872674551864542657962337443620877441860309530174719/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^13 + 185946358300871859895730225633087679775079385513157307694082476949951405287579513/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^12 - 2517022471178787055372346392228532045219308263000554242079354089779231857445074/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^11 - 156673689222490910346862655858543290814921756904408144826598678375386182603507/29755368349305802035909096219042827092822677336803246184565430510801652501275*a^10 - 44596550048402156227951134814440254392912390235870543522086134510222554638560031/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^9 + 1175728618199735601090424277989206071020734984072848780623610560145492975695547013/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^8 - 46763874776552494592580117536814704533391875995237947386481925788517078892140821/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^7 + 2378316639638897491506813305258080138576364867469239759679866336785136237027181222/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^6 - 64158369158262367841626984300900635907445540096105681286295757180347368819033622/363015493861530784838090973872322490532436663508999603451698252231780160515555*a^5 + 477568310937854806531357508606947460539951833718940537740172850141611417593023346/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^4 + 59070989515634396329956774142377048788504262216151775109216198268398432130007939/363015493861530784838090973872322490532436663508999603451698252231780160515555*a^3 + 528227424780696836992721925953151045425450298691016362404725570677192040871829/7174219246275311953321956005381867401826811531798411135409056368216999219675*a^2 - 1930838412051673862085330409953266840820808023149085985804776599306450005139811/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665*a + 1054099748313989572979293692448322449851964063939152196557435538238820404779908/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665, 230656859648277789092933694106812440771156464541463252827171609004891789811/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^26 - 1584260480498535336616300310841926271749307452195870759670351353216881655957/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^25 + 67687088429159431669178705381000474161339414916757451759829223864739347839/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^24 + 19066341341328689565008640240769124735774598402942698780504482965019575641213/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^23 - 10356862258531135445721313390847688667366811819260209229818614091310444743101/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^22 + 179583377952693524707212622147728530795895407728786920619737522917365703414/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^21 + 1675597513636355497585418360542079437039478044578272386977590969198061213773/179355481156882798833048900134546685045670288294960278385226409205424980491875*a^20 - 2170076653236034403258544904286002725612828348050488832079418431992785560484608/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^19 + 3954462276956563692480167215002564609882528559182546978586739713729239289723424/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^18 + 38536639657165279509364857978779333064212302769881456128106579740625430394226/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^17 - 16678905670377006105467425142228159820642544940192330389961070857407801826436574/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^16 + 4539649408049802993728433246959955206619881386890154965408717843372956614122642/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^15 + 93801942906054672278506682818537216745120954621764371751762620571315105400732186/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 - 561576654100820685969578820988988580301307444566679019257222934190257160069625788/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^13 + 255126194370205351921441702836002653974531539486039551504462479711858176465273004/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^12 - 16853642246138742677956389678396565156425895845417051326754136252503207791318527/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^11 - 26975526326264194197370517877716481075509827787185344261833159692746325114530799/743884208732645050897727405476070677320566933420081154614135762770041312531875*a^10 - 3379859747311682758562496434323471801142662534226819592717249280932219792972182202/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^9 + 474818966977392307237915310216096398978394475917687757507886806327550445771072943/2669231572511255770868315984355312430385563702272055907733075384057207062614375*a^8 - 56625613653541580323054105215238394324131148617864860552723852343841018937377388/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^7 + 16323034142688941865048066344664403547216464880209672473476000672960644411860554228/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^6 - 10999864623564532426229839798358794703962798180053208362269077669469412502765071329/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^5 + 294818685983830790499651626853105777001103015493731016220888420159498231935614684/825035213321660874632024940618914751210083326156817280572041482344954910262625*a^4 + 2024781091954464708336800819963973782950271292164879604305006259516365774561068834/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^3 + 40222191158895204865705617378971253668357086158505358973687916771080267412069106/78916411709028431486541516059200541420094926849782522489499620050386991416425*a^2 - 13222622347567313647455515220167864237933878240807595458129336956619325035747321/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665*a + 654522081192322692220717653887500603275531818999712668785458574855625762880117/492558336311439328138522352608307314155273627556308824222114317817883528515, 4301897820404823215815382624741521837716823599398996607359935884695950836/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^26 - 23190792591447047105326280409024675732091110299643569273389871788598318379/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^25 - 1032583285187048579839346707809744231958963831317107181836753121889824837/2669231572511255770868315984355312430385563702272055907733075384057207062614375*a^24 + 4624561397427520954051647683622653884772816588920797608712578679980068161/677267712428229076190468234836422556963501237889924633305407186999589851708125*a^23 - 452216427194025318627812922489518360826986506388594171657041577719542233/39839277201660533893556954990377797468441249287642625488553363941152344218125*a^22 - 3513996002920180924337698540415974809050295752198110872845770421877046801/394582058545142157432707580296002707100474634248912612447498100251934957082125*a^21 + 299305116393709547296013770191984100584366419912263462812170336518360775066/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^20 - 2808562261192018159312551128254944825024802844184150355062936878415876548537/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^19 + 1945923376615779810672798560518983537101641233796303967622727065934115911283/2669231572511255770868315984355312430385563702272055907733075384057207062614375*a^18 + 84837251185087940306090289893055997896643896783090253454461610743080781630709/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^17 - 31385948475251261791738658058803608825762379401931400582086134460741706954628/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^16 - 65811692143585616041667315012899455291991149581861216742438970489607710878/61569792038929916017315294076038414269409203444538603027764289727235441064375*a^15 + 1542595659060338892900498348201821665075599538983000935908789050880366729864119/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 - 8355186736448315971965706704575211039517078237913072476295098722918991456008867/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^13 + 12455725828784805146980792308774628398638991444163518446452681614646994688349247/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^12 + 1606209670703393097592459302545718920324848595597680737630983239297245286160686/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^11 - 136463905580146870012567854549331612738006033665044936437361821219004014511393/743884208732645050897727405476070677320566933420081154614135762770041312531875*a^10 - 60496841136872870032296209756167327395205099684341747602661310390329132296796123/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^9 + 49985987008908581948682506297512919854644949229400489171371820737366845858477469/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^8 - 7453952453608264928900158827430656517670258806532113262496780451987920219168849/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^7 + 316338058417401829448932877948166015307669289207346390388998451068772148325937719/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^6 - 20063769601003244095442256397453842277537564175938831131595203393696517762015817/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^5 - 2364395322028936721185791818694798367128011629430444281709208799745680818527113/825035213321660874632024940618914751210083326156817280572041482344954910262625*a^4 + 14185524163540681740837656543632089970272066029422082036917723531620924781176303/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^3 + 1000354599123389667607317229635506239968221155147263974053510007605588453679378/78916411709028431486541516059200541420094926849782522489499620050386991416425*a^2 - 117388227972329786480470268358472846998200279489689244402239445860555038500312/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665*a + 45589519927832762659612591913280569665022481161836662140448226877893876983801/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665, 990362727391094982615282273575649846753855786072052928251578792897025308/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^26 - 115883163926730164740780035869721228234763190285307470977368559901772231062/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^25 + 11142345156070608788378150014930895043468270252206647951734189055473315923/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^24 + 1393023018526249029845421048677116426697122212924163013702756731081143579752/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^23 - 3799966846242712549928738441357008560922549089839324520167163397647649227102/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^22 + 14323367125987733006942126700157727565779399061464629595601156353487495816/394582058545142157432707580296002707100474634248912612447498100251934957082125*a^21 + 15854522198892842472734437677304481968758241447980380031027647302025985091/4642141865236966558031853885835325965887936873516618969970565885316881848025*a^20 - 31766755422020925150373667114690548182199109222893278570871439021645940112859/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^19 + 290389775613704756086920057620174410996485439560212818394791252011561596943491/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^18 + 13988528980008935218363176645519452378032148657289810971243959843840104135932/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^17 - 72063779641207953874213608407519771999778751920320105145919465494822734950093/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^16 + 68418927765765966030879931148221613491842962843012983203455108917544777236737/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^15 + 1372186645671860332275632925693967899918071144459259608728622145567990710736318/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^14 - 41095653442446287229571456060710550009436653614524459112867299917306065219846932/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^13 + 93590424726278440618888472607827356566237660815919048428546179066463294635630332/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^12 - 75363606508153801017625254987557900577403447537368501962053074160536957267624/48531483136568286743060290624642044188828430950401016504237734255585582956625*a^11 - 397851225530335907052854365408753129598924096387158652322104491754146847216754/29755368349305802035909096219042827092822677336803246184565430510801652501275*a^10 - 49097412925965602501032379561637287527057967440218120590799867035952991153129849/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^9 + 594578791624170854211213315699634529338461922740708863607964397175029573212831649/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^8 - 25661369273182987830784994534054141753382531904924025809255673944824994648745109/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^7 + 237386495589788211721418319842980024304373190764546784381332808192624057430568283/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^6 - 4023386450474574122997721620147601005579852270418019965458747884274131314805852868/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^5 + 241327913583508532459716288865114226221949213218854438139403789039776626594054889/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^4 + 148197815090063770965272470122262712165171248538261554497540752083171076052405719/363015493861530784838090973872322490532436663508999603451698252231780160515555*a^3 + 2907740915104374951082744268878733698330489073924227219540836847703777448437088/15783282341805686297308303211840108284018985369956504497899924010077398283285*a^2 - 4843529067152366508614477331310342916700137643488257955273353753809699785069504/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665*a + 529003309955874038986477164985454363163387846172632095664231302054917892054769/1083628339885166521904749175738276091141601980623879413288651499199343762733, 686660903161669832457712333050527863449913712495195169586109133151834261/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^26 - 2637659532531948271922820867389081967149866360964093267799892133905177701/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^25 - 7897847152191995240837775575984514072983024181046991582657601873265096267/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^24 + 42498576417742481172545037080011089611347621553068546655921616885746412126/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^23 - 14228118903182309081361560861540540415650322060934679792073616411983057979/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^22 - 6773788464134583604589179201012565229785510565693593393325080656697246809/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^21 + 4031911708704725250839101606153425108359833538618623691675816822441166399/179355481156882798833048900134546685045670288294960278385226409205424980491875*a^20 - 3340856760892017530878408716287947934379224188770062379864992423140588994396/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^19 - 1617139450320227205895279278387753245101598138888917984223210497784675172532/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^18 + 18906784767937835856633625045671518760510300166369039430048375424430379873103/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^17 - 7128649381780268583130558692198797999412105972957637627070514382990243131621/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^16 - 2044654355434189540721671345113346850778033855971178969334387057747362709922/2669231572511255770868315984355312430385563702272055907733075384057207062614375*a^15 + 259891140473894289332346281740868724584082788767724907592444882674235031384332/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 - 1005648202985326287413714284781095208949039038432109464005789419795848236460561/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^13 + 15250890363486924697993677565293943312297948295703943956722160264627726575319/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^12 + 3469647001635867504090092897447819466820898083199639055539518315930746182686837/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^11 + 5151780765828304343288032589524780570616178066475590540867385264989487715958/743884208732645050897727405476070677320566933420081154614135762770041312531875*a^10 - 9706040360952059728059866189467039801482849240435619208605613798457712222087329/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^9 + 723451131948384794365390532003633587770383240262481175506796528103401763111737/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^8 - 6821260191267049494102386701173806544130758196977829143056215647804568636670053/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^7 + 450742516904705760537222490417904230258893331939341979549097826061923994220434/363015493861530784838090973872322490532436663508999603451698252231780160515555*a^6 - 5945280368829434455673334811519543854465477666644271498560842749778040507083409/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^5 - 2948938160451824796561111269769920683882647536123757786287482420486401700464608/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^4 + 950732266068201500661982001992529920311080526833746083044558479643336178934462/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^3 + 3445752711474316696577617325398828938112685217803482231635624877528729561902/1434843849255062390664391201076373480365362306359682227081811273643399843935*a^2 - 10973581524480737228237291007069840612587958911497716505188320861960052748072/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665*a + 347511774533330052569081225721274040968333007389870276809691418615676811868/1083628339885166521904749175738276091141601980623879413288651499199343762733, 6617835666508839057643875636034049179830715992719671558859701418192282166/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^26 - 493833025486488024681012024841434232468074486780602188503621575969205365047/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^25 + 251881980193760327565791343676456959496808376321339733046216056724716666579/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^24 + 5808205636784846303920280370923637741651461163977093642510530873029226208878/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^23 - 659188236227412694601614907186207372174600758410506717063446687443103218597/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^22 + 146898769458330049737903212897792359187021316924555121313332833952469130894/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^21 + 5773982496998860944973240943467678970049820513460886662476194716401539981663/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^20 - 683478549953073737369445528852688577194674806723702939380561542802222137555183/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^19 + 1269018560033448041920531691322520248651685133631968511490284337050255103406244/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^18 + 33693632424438043270122635766254926263095734545301436704952416767050159119574/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^17 - 5242870169543070342373874906736161638706214454210413541705974100110805525001079/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^16 + 2286795170669786166196210536816966681104032137065927589746911269526161142815332/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^15 + 29764916136458899369434007703033580832151826998225462182581265664224242564647761/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 - 176345895855922472973924542459108193933685307130921132663164332147017080785096578/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^13 + 81142950557324526823932169048444359363466630611246763811624393614175791727878278/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^12 - 111118199589766501260309249701514179739954501165257462041858065137536384850226137/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^11 - 8233226987183415583866528131275088606435282111844311871552245235480619408622229/743884208732645050897727405476070677320566933420081154614135762770041312531875*a^10 - 897700328695512281380288255907182861788198514326558017391536424071040679005222252/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^9 + 2694238185462454625773181862986721308096306924284081030704819443253648396634294986/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^8 - 101706173681457402249337186525723499527529179339487864542751852481343288154754466/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^7 + 413605771310374958266178782021503251522762162987749698841294178740586202121848738/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^6 - 206947915247761425100693108259754998430550239455658222770440433245366697279021167/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^5 + 89726650471350845019552194146585197564956823815270150128048662175245709361616972/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^4 + 661936220224562739731396130672518215949356528581910122811168161675401954992815364/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^3 + 7446733874371670451627302179387508306605068895850177202493706641539395895640676/78916411709028431486541516059200541420094926849782522489499620050386991416425*a^2 - 4492954851997689902715538777715870792909320010569317506276611399484993076360496/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665*a + 2563705081264194206620597280360914364071526824772613630024099985902849187857662/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665, 15675029326929878917765960577070871615575028467134948591714821604295531201/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^26 - 1144086661030296171549035486369222406458836071686780953269868349771969783839/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^25 + 24826918508706236515998976462338431072861845073958142482658118287208176111/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^24 + 14357151066824864970798820349188666928245453998845357893518761798183990904782/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^23 - 35062508113624074076274576946662211317375715237910736048099395629475566684032/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^22 - 51352494984678734754854208243487209313237443437780016438726951923735909509/394582058545142157432707580296002707100474634248912612447498100251934957082125*a^21 + 13655527859856227972824542705770879840086949520759860533928771574064891908491/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^20 - 1544092790782608064766014449175743345086293461999835369430224717729841740332007/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^19 + 2578570661318365536274405847962233513958852185976239051727573164159613497845421/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^18 + 3095914501036292234677595552896165661535859758610465905704506630022887876203174/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^17 - 463106074482065069596848743951143088436865265241264716255265863464048069491916/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^16 + 225657665567760267570760512462021598308108045703445656064785652555550743634039/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^15 + 69521694857986958324945101125276805308931298581953779747497841204119850484104169/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 - 145220507787737148013577554457018803583176402611285234844247995805879563442247/16375653819087458716983533646351610002365421486331631335785738552498202838125*a^13 + 855970769712391315755315029716009252049473939803267888611275288163831287239488167/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^12 + 3082839783733826030295630640868657233661008463053827996183849890204770631037587/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^11 - 1754357199995343013467453190346890137186573345719599516696423265940651027262438/67625837157513186445247945952370061574596993947280104964921432979094664775625*a^10 - 2910682247259765988907621742904676164802899743340730663128932056313972187009153798/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^9 + 5184375659405216211326296610000144106824004637904099178152043165174963403685910584/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^8 + 1224808958708731695369193881401860304353708082213111165670824536650950980757253461/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^7 + 13162133656140358703062322413509515849672619996759650752648550928697043457360476729/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^6 - 7586056429497293872522087869012202204026988102202155528539751935878171796045643818/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^5 + 327250245689292505832003372214184307603238760255340546532389886532185139061427837/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^4 + 1436788676929424067835564351801611588620489176503117564644683117763587988353692543/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^3 + 50137187745391259772793734244835566467266141514290690506683660049761721277836303/78916411709028431486541516059200541420094926849782522489499620050386991416425*a^2 - 8544829474067180555638064921642926473554522190745098366804893357920642759174586/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665*a + 3135593577601879337277995649559066258554117598656882423397031434252003431407551/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665, 423028293975760228529560554760615428753599678967888004852895760357082343/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^26 + 10455810851215448260292899590563747688070659028379753122534816890900488769/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^25 - 74486364645012447850433041199537295585583819265076245258976024639173846183/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^24 - 12072513252140213937964167265532652696774875851496856632913430143990239396/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^23 + 196181898785939679220735815105475415764231668895100700843131721227206638309/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^22 - 76079581322107459455032425835145076713089000453255663321971495065354551818/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^21 - 5906030313152025110707752587544484478385712131274802572053529334370102226/179355481156882798833048900134546685045670288294960278385226409205424980491875*a^20 + 18450969182979510677496326032459860057342096114102989442989597680221258192816/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^19 - 90401572274011778722470085321567450496178595265080294148861507107585570643758/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^18 + 125380828971514901605110936792344149189716144244607508747649102501431726896/48531483136568286743060290624642044188828430950401016504237734255585582956625*a^17 + 322345571933347877607788366138183483513878081644742475597183162832214143725513/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^16 - 596461268982195938414280357734369890200954898238667967247484048253731398425654/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^15 - 489982497235185146100535707981142171949473613226354356475478829469672375387447/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 + 3749216315400721033338160706421912576111659702720558857275341357358850034012096/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^13 - 191498794488553016859032464568530223797246020284387867073240608834669958255402/363015493861530784838090973872322490532436663508999603451698252231780160515555*a^12 + 42817602719146470236589959853686662662565952231523793448752480589345025308206864/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^11 + 765287664032982002732619741462158657172427190471703123487063494619780405921913/743884208732645050897727405476070677320566933420081154614135762770041312531875*a^10 - 60173904569653083613945698786471295859359620932294546694860074910537470080468871/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^9 - 287503439089719389395767831057721599677578784697907882830314584187713701609203527/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^8 + 4636329934004917035138563098391004131327718985280186824473026442173711312221548/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^7 + 329694663461919400452670995046364275279954747030761005311783565508090865188429614/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^6 + 15692191698367328663211428842265845725492755747949493818911231465813236995475983/533846314502251154173663196871062486077112740454411181546615076811441412522875*a^5 - 316802942317663768980484451117241027848602505016438614249823414458458667959057593/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^4 - 67728800812429973304391006937925885544207827584346908449466544810625663557278253/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^3 + 1453094347110303898207544462693612859003139361667350626293698622149789896219098/78916411709028431486541516059200541420094926849782522489499620050386991416425*a^2 + 112015181413477778579479691954437210466329681019775207012528977596843154954/1720591203374351416171402311429463466404576025125245178292555571926554085*a - 22596182231008391871975835995319903348578508007548982869056509187524999937944/492558336311439328138522352608307314155273627556308824222114317817883528515, 7858400642307825832850661298409099578213891055916454329994784017782731949/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^26 - 302023192193482303347105613352403107036110304743833221241079197818162219457/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^25 + 312563363051272222168638127502986327044192006383081616688245130716111615917/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^24 + 304317749281303563500935334447481011644882267937496562918305565001311275264/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^23 - 11368576345730043130321510746930742232519547580561087039877847691655733088522/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^22 + 223735930897116190245586625786530696811950444651889030041413220147991873641/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^21 + 3324377600355859606942054168797729355207218227223203746068160443904295566333/1972910292725710787163537901480013535502373171244563062237490501259674785410625*a^20 - 424262283304529421487168087579830015160608501310457102634054994851182075042999/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^19 + 916719146885060519594829649400460382213334477264477429769766179280224826146702/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^18 + 24824887294497195101440989419792253334009879996664817971181669111600253490189/4125176066608304373160124703094573756050416630784086402860207411724774551313125*a^17 - 3608007267682382942521750867448471688540513076767550101188658847290087622516151/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^16 + 2271534623769048483122539953791726146112740316939092430993767619848284750298877/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^15 + 16949832045330427495039774191892419166476652948104888417926981214660444292556808/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^14 - 6338059719624918408205531909328792931601212043676447589573113781072021590607302/2669231572511255770868315984355312430385563702272055907733075384057207062614375*a^13 + 16612118336374175304886442505926105496449763890489256105510507345830404207853176/2669231572511255770868315984355312430385563702272055907733075384057207062614375*a^12 - 138016575998225042950044168359680058150401843746263549061344709828920752458305128/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^11 - 6068076822200027895584564758908512464673133173448026290091494935729201160854179/743884208732645050897727405476070677320566933420081154614135762770041312531875*a^10 - 440929092620369910618192684188954484269178505536910175940515641859384559799067771/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^9 + 1984624897445436135699435654532519692745019010307596188636353874582253690340681998/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^8 - 518959659993817069464139033068505072378366880765028681649851109369757743395882814/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^7 + 2307204576883635692253164619676740337907135926238917096059773253236266864383375706/45376936732691348104761371734040311316554582938624950431462281528972520064444375*a^6 - 484199472159848334659687841127410568712665118221514982387706539505092995441124356/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^5 + 1495078544777874074938061651031230293404642176823316198384278086847951588367983433/9075387346538269620952274346808062263310916587724990086292456305794504012888875*a^4 + 462476542376350468362041898314097563827696463599015888419157389974317021348204439/1815077469307653924190454869361612452662183317544998017258491261158900802577775*a^3 - 424600155386631055328279261866042402534382382241446362930698213797017657458943/78916411709028431486541516059200541420094926849782522489499620050386991416425*a^2 - 288564347336723034871542360528206795469275438886721501165799700721126556733888/492558336311439328138522352608307314155273627556308824222114317817883528515*a + 2111505938234120689669487901561857082614321468923002372924508778770892164325269/5418141699425832609523745878691380455708009903119397066443257495996718813665 (assuming GRH) sage: UK.fundamental_units()  gp: K.fu  magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];  oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)] Regulator: $$71364448730505.47$$ (assuming GRH) sage: K.regulator()  gp: K.reg  magma: Regulator(K);  oscar: regulator(K)

## Class number formula

\begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{13}\cdot 71364448730505.47 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{1089801024238603052304820653163822019730224609375}}\cr\approx \mathstrut & 4.87829267984210 \end{aligned} (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 8*x^26 + 11*x^25 + 79*x^24 - 318*x^23 + 272*x^22 + 1817*x^21 - 11487*x^20 + 27792*x^19 - 5214*x^18 - 88324*x^17 + 101476*x^16 + 384139*x^15 - 2894444*x^14 + 8285833*x^13 - 7065937*x^12 - 6208737*x^11 - 6594753*x^10 + 51530498*x^9 - 40765921*x^8 + 72314518*x^7 - 318855243*x^6 + 340132420*x^5 + 140246505*x^4 - 148040525*x^3 - 594053575*x^2 + 805097125*x - 295863625)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^27 - 8*x^26 + 11*x^25 + 79*x^24 - 318*x^23 + 272*x^22 + 1817*x^21 - 11487*x^20 + 27792*x^19 - 5214*x^18 - 88324*x^17 + 101476*x^16 + 384139*x^15 - 2894444*x^14 + 8285833*x^13 - 7065937*x^12 - 6208737*x^11 - 6594753*x^10 + 51530498*x^9 - 40765921*x^8 + 72314518*x^7 - 318855243*x^6 + 340132420*x^5 + 140246505*x^4 - 148040525*x^3 - 594053575*x^2 + 805097125*x - 295863625, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 8*x^26 + 11*x^25 + 79*x^24 - 318*x^23 + 272*x^22 + 1817*x^21 - 11487*x^20 + 27792*x^19 - 5214*x^18 - 88324*x^17 + 101476*x^16 + 384139*x^15 - 2894444*x^14 + 8285833*x^13 - 7065937*x^12 - 6208737*x^11 - 6594753*x^10 + 51530498*x^9 - 40765921*x^8 + 72314518*x^7 - 318855243*x^6 + 340132420*x^5 + 140246505*x^4 - 148040525*x^3 - 594053575*x^2 + 805097125*x - 295863625);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 8*x^26 + 11*x^25 + 79*x^24 - 318*x^23 + 272*x^22 + 1817*x^21 - 11487*x^20 + 27792*x^19 - 5214*x^18 - 88324*x^17 + 101476*x^16 + 384139*x^15 - 2894444*x^14 + 8285833*x^13 - 7065937*x^12 - 6208737*x^11 - 6594753*x^10 + 51530498*x^9 - 40765921*x^8 + 72314518*x^7 - 318855243*x^6 + 340132420*x^5 + 140246505*x^4 - 148040525*x^3 - 594053575*x^2 + 805097125*x - 295863625);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

## Galois group

$D_{27}$ (as 27T8):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

 A solvable group of order 54 The 15 conjugacy class representatives for $D_{27}$ Character table for $D_{27}$

## Intermediate fields

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

## Frobenius cycle types

 $p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ Cycle type $27$ $27$ R R ${\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$ ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$ ${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }$ $27$ ${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }$ ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$ ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }$ $27$ ${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{13}{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }$ $27$ $27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma: p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))]; # to obtain a list of$[e_i,f_i]$for the factorization of the ideal$p\mathcal{O}_K$for$p=7$in Oscar: p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac] ## Local algebras for ramified primes$p$LabelPolynomial$efc$Galois group Slope content $$5$$$\Q_{5}$$x + 3$$1$$1$$0$Trivial$[\ ]$5.2.1.2$x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 5.2.1.2x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$5.2.1.2$x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 5.2.1.2x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$5.2.1.2$x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 5.2.1.2x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$5.2.1.2$x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 5.2.1.2x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$5.2.1.2$x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 5.2.1.2x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$5.2.1.2$x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 5.2.1.2x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$5.2.1.2$x^{2} + 10$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} $$7$$ Deg 27$$3$$9$$18$$$67$$$\Q_{67}$$x + 65$$1$$1$$0$Trivial$[\ ]$67.2.1.1$x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 67.2.1.1x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$67.2.1.1$x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 67.2.1.1x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$67.2.1.1$x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 67.2.1.1x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$67.2.1.1$x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 67.2.1.1x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$67.2.1.1$x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 67.2.1.1x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$67.2.1.1$x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2} 67.2.1.1x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$67.2.1.1$x^{2} + 134$$2$$1$$1$$C_2[\ ]_{2}$## Artin representations Label Dimension Conductor Artin stem field$G$Ind$\chi(c)$* 1.1.1t1.a.a$11$$$\Q$$$C_111$1.335.2t1.a.a$1 5 \cdot 67 $$$\Q(\sqrt{-335})$$$C_2$(as 2T1)$1-1$* 2.335.3t2.a.a$2 5 \cdot 67 $3.1.335.1$S_3$(as 3T2)$10$* 2.335.9t3.a.b$2 5 \cdot 67 $9.1.12594450625.1$D_{9}$(as 9T3)$10$* 2.335.9t3.a.c$2 5 \cdot 67 $9.1.12594450625.1$D_{9}$(as 9T3)$10$* 2.335.9t3.a.a$2 5 \cdot 67 $9.1.12594450625.1$D_{9}$(as 9T3)$10$* 2.16415.27t8.a.e$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.f$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.a$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.h$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.c$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.i$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.g$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.d$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10$* 2.16415.27t8.a.b$2 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 $27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1$D_{27}$(as 27T8)$10\$

Data is given for all irreducible representations of the Galois group for the Galois closure of this field. Those marked with * are summands in the permutation representation coming from this field. Representations which appear with multiplicity greater than one are indicated by exponents on the *.