Number field 26.26.3874006276495686122600289871040620757839501838095241811329.1

• Label: 26.26.387...329.1
• Degree: $26$
• Signature: $[26, 0]$
• Discriminant: $3.874\times 10^{57}$
• Root discriminant: \(164.03\)
• Ramified primes: $13,53$
• Class number: $4$ (GRH)
• Class group: [4] (GRH)
• Galois group: $C_{26}$ (as 26T1)

Normalized defining polynomial

x^26 - x^25 - 184*x^24 + 183*x^23 + 14268*x^22 - 14086*x^21 - 612490*x^20 + 598585*x^19 + 16089370*x^18 - 15388122*x^17 - 270313194*x^16 + 246233523*x^15 + 2954365608*x^14 - 2442913785*x^13 - 20986142706*x^12 + 14563237893*x^11 + 95061660594*x^10 - 48083263759*x^9 - 262326941485*x^8 + 68701741726*x^7 + 399116329504*x^6 + 10753142193*x^5 - 256395661245*x^4 - 85248420923*x^3 + 7165503790*x^2 + 643114124*x - 4674283

Invariants

Degree:		$26$
Signature:		$[26, 0]$
Discriminant:		\(3874006276495686122600289871040620757839501838095241811329\) \(\medspace = 13^{13}\cdot 53^{25}\)
Root discriminant:		\(164.03\)
Galois root discriminant:		$13^{1/2}53^{25/26}\approx 164.03225037940098$
Ramified primes:		\(13\), \(53\)
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{689}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$26$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(689=13\cdot 53\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{689}(64,·)$, $\chi_{689}(1,·)$, $\chi_{689}(66,·)$, $\chi_{689}(324,·)$, $\chi_{689}(261,·)$, $\chi_{689}(521,·)$, $\chi_{689}(651,·)$, $\chi_{689}(272,·)$, $\chi_{689}(467,·)$, $\chi_{689}(599,·)$, $\chi_{689}(664,·)$, $\chi_{689}(25,·)$, $\chi_{689}(90,·)$, $\chi_{689}(222,·)$, $\chi_{689}(417,·)$, $\chi_{689}(38,·)$, $\chi_{689}(168,·)$, $\chi_{689}(428,·)$, $\chi_{689}(365,·)$, $\chi_{689}(623,·)$, $\chi_{689}(688,·)$, $\chi_{689}(625,·)$, $\chi_{689}(183,·)$, $\chi_{689}(248,·)$, $\chi_{689}(441,·)$, $\chi_{689}(506,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{83}a^{23}+\frac{8}{83}a^{22}+\frac{15}{83}a^{21}+\frac{17}{83}a^{20}-\frac{20}{83}a^{19}+\frac{10}{83}a^{18}+\frac{28}{83}a^{17}-\frac{37}{83}a^{16}-\frac{1}{83}a^{15}-\frac{6}{83}a^{14}+\frac{37}{83}a^{13}-\frac{29}{83}a^{12}+\frac{3}{83}a^{11}-\frac{29}{83}a^{10}-\frac{20}{83}a^{9}+\frac{30}{83}a^{8}-\frac{18}{83}a^{7}+\frac{39}{83}a^{6}-\frac{33}{83}a^{5}-\frac{22}{83}a^{4}+\frac{20}{83}a^{3}+\frac{14}{83}a^{2}-\frac{12}{83}a+\frac{5}{83}$, $\frac{1}{8881}a^{24}+\frac{2}{8881}a^{23}+\frac{1046}{8881}a^{22}+\frac{2666}{8881}a^{21}-\frac{1118}{8881}a^{20}+\frac{2039}{8881}a^{19}-\frac{2688}{8881}a^{18}-\frac{4438}{8881}a^{17}+\frac{1798}{8881}a^{16}+\frac{50}{107}a^{15}-\frac{1006}{8881}a^{14}-\frac{1330}{8881}a^{13}+\frac{3248}{8881}a^{12}-\frac{545}{8881}a^{11}+\frac{3059}{8881}a^{10}+\frac{4217}{8881}a^{9}-\frac{2522}{8881}a^{8}+\frac{728}{8881}a^{7}+\frac{2555}{8881}a^{6}-\frac{322}{8881}a^{5}+\frac{1231}{8881}a^{4}-\frac{3094}{8881}a^{3}+\frac{1481}{8881}a^{2}-\frac{3077}{8881}a+\frac{3788}{8881}$, $\frac{1}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!73}a+\frac{88\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!73}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{4}$, which has order $4$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$25$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{77\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{78\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!73}a+\frac{12\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{89\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{84\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!73}a+\frac{60\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{61\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!40}{63\!\cdots\!31}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a-\frac{20\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{33\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{62\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{68\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{48\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{56\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{90\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a+\frac{12\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{22\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!73}a+\frac{18\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{93\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{84\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!03}{63\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!73}a+\frac{18\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{98\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{71\!\cdots\!62}{63\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{84\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{93\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a-\frac{12\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{21\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}a-\frac{49\!\cdots\!61}{49\!\cdots\!39}$, $\frac{43\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{79\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{84\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{92\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{66\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!73}a+\frac{27\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{14\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{84\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!27}{63\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a+\frac{80\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{13\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!88}{63\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!73}a+\frac{36\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{25\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{46\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!36}{63\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!48}{63\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}a+\frac{16\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{61\!\cdots\!82}{63\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{94\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{59\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}a+\frac{45\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{67\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{95\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{96\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{99\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!73}a+\frac{44\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{15\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{29\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{90\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{97\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!88}{49\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!73}a-\frac{35\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{43\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!33}a^{24}-\frac{79\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!33}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!33}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!33}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!33}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!33}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{90\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!33}a-\frac{30\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!33}$, $\frac{87\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!73}{63\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!73}a+\frac{53\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{21\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{38\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!73}a+\frac{15\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{42\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{77\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{86\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a+\frac{38\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{81\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!73}a+\frac{34\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{24\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{70\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{96\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!73}a-\frac{10\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{18\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{84\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{91\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{85\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!73}a+\frac{15\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{66\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{94\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{89\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{80\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a+\frac{30\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{93\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{89\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!33}{63\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{53\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{88\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!73}a+\frac{78\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!73}$, $\frac{87\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!75}{49\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!73}a-\frac{20\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!73}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 88301907040780570000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{26}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 88301907040780570000 \cdot 4}{2\cdot\sqrt{3874006276495686122600289871040620757839501838095241811329}}\cr\approx \mathstrut & 0.190414407618472 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{26}$ (as 26T1):

A cyclic group of order 26

The 26 conjugacy class representatives for $C_{26}$

Character table for $C_{26}$

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{689}) \), 13.13.491258904256726154641.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.13.0.1}{13} }^{2}$	$26$	${\href{/padicField/5.13.0.1}{13} }^{2}$	$26$	$26$	R	${\href{/padicField/17.13.0.1}{13} }^{2}$	${\href{/padicField/19.13.0.1}{13} }^{2}$	${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{13}$	${\href{/padicField/29.13.0.1}{13} }^{2}$	${\href{/padicField/31.13.0.1}{13} }^{2}$	$26$	${\href{/padicField/41.13.0.1}{13} }^{2}$	${\href{/padicField/43.13.0.1}{13} }^{2}$	$26$	R	$26$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(13\)		Deg $26$	$2$	$13$	$13$
\(53\)		Deg $26$	$26$	$1$	$25$