Normalized defining polynomial
\( x^{26} - 2 x^{25} - 97 x^{24} + 274 x^{23} + 3600 x^{22} - 12928 x^{21} - 64015 x^{20} + 293118 x^{19} + 533589 x^{18} - 3564090 x^{17} - 1089717 x^{16} + 23968180 x^{15} + \cdots - 35447 \)
Invariants
Degree: | $26$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[26, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(1919641021107487828653877081110544587155912070949008048128\) \(\medspace = 2^{39}\cdot 79^{24}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(159.66\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{3/2}79^{12/13}\approx 159.66170770416778$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(79\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{2}) \) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $26$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(632=2^{3}\cdot 79\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{632}(1,·)$, $\chi_{632}(97,·)$, $\chi_{632}(65,·)$, $\chi_{632}(457,·)$, $\chi_{632}(141,·)$, $\chi_{632}(337,·)$, $\chi_{632}(405,·)$, $\chi_{632}(89,·)$, $\chi_{632}(413,·)$, $\chi_{632}(289,·)$, $\chi_{632}(101,·)$, $\chi_{632}(433,·)$, $\chi_{632}(617,·)$, $\chi_{632}(225,·)$, $\chi_{632}(125,·)$, $\chi_{632}(301,·)$, $\chi_{632}(541,·)$, $\chi_{632}(561,·)$, $\chi_{632}(117,·)$, $\chi_{632}(417,·)$, $\chi_{632}(381,·)$, $\chi_{632}(441,·)$, $\chi_{632}(21,·)$, $\chi_{632}(317,·)$, $\chi_{632}(605,·)$, $\chi_{632}(245,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{23}a^{17}-\frac{6}{23}a^{15}-\frac{11}{23}a^{14}+\frac{11}{23}a^{13}-\frac{2}{23}a^{11}+\frac{3}{23}a^{10}-\frac{7}{23}a^{9}+\frac{1}{23}a^{8}-\frac{10}{23}a^{7}+\frac{7}{23}a^{6}-\frac{11}{23}a^{5}+\frac{1}{23}a^{4}-\frac{8}{23}a^{3}-\frac{5}{23}a^{2}+\frac{9}{23}a+\frac{4}{23}$, $\frac{1}{23}a^{18}-\frac{6}{23}a^{16}-\frac{11}{23}a^{15}+\frac{11}{23}a^{14}-\frac{2}{23}a^{12}+\frac{3}{23}a^{11}-\frac{7}{23}a^{10}+\frac{1}{23}a^{9}-\frac{10}{23}a^{8}+\frac{7}{23}a^{7}-\frac{11}{23}a^{6}+\frac{1}{23}a^{5}-\frac{8}{23}a^{4}-\frac{5}{23}a^{3}+\frac{9}{23}a^{2}+\frac{4}{23}a$, $\frac{1}{23}a^{19}-\frac{11}{23}a^{16}-\frac{2}{23}a^{15}+\frac{3}{23}a^{14}-\frac{5}{23}a^{13}+\frac{3}{23}a^{12}+\frac{4}{23}a^{11}-\frac{4}{23}a^{10}-\frac{6}{23}a^{9}-\frac{10}{23}a^{8}-\frac{2}{23}a^{7}-\frac{3}{23}a^{6}-\frac{5}{23}a^{5}+\frac{1}{23}a^{4}+\frac{7}{23}a^{3}-\frac{3}{23}a^{2}+\frac{8}{23}a+\frac{1}{23}$, $\frac{1}{23}a^{20}-\frac{2}{23}a^{16}+\frac{6}{23}a^{15}-\frac{11}{23}a^{14}+\frac{9}{23}a^{13}+\frac{4}{23}a^{12}-\frac{3}{23}a^{11}+\frac{4}{23}a^{10}+\frac{5}{23}a^{9}+\frac{9}{23}a^{8}+\frac{2}{23}a^{7}+\frac{3}{23}a^{6}-\frac{5}{23}a^{5}-\frac{5}{23}a^{4}+\frac{1}{23}a^{3}-\frac{1}{23}a^{2}+\frac{8}{23}a-\frac{2}{23}$, $\frac{1}{23}a^{21}+\frac{6}{23}a^{16}+\frac{10}{23}a^{14}+\frac{3}{23}a^{13}-\frac{3}{23}a^{12}+\frac{11}{23}a^{10}-\frac{5}{23}a^{9}+\frac{4}{23}a^{8}+\frac{6}{23}a^{7}+\frac{9}{23}a^{6}-\frac{4}{23}a^{5}+\frac{3}{23}a^{4}+\frac{6}{23}a^{3}-\frac{2}{23}a^{2}-\frac{7}{23}a+\frac{8}{23}$, $\frac{1}{2369}a^{22}-\frac{17}{2369}a^{21}+\frac{4}{2369}a^{20}+\frac{9}{2369}a^{19}+\frac{1}{103}a^{18}+\frac{33}{2369}a^{17}-\frac{1014}{2369}a^{16}-\frac{882}{2369}a^{15}+\frac{830}{2369}a^{14}-\frac{893}{2369}a^{13}+\frac{623}{2369}a^{12}+\frac{326}{2369}a^{11}-\frac{453}{2369}a^{10}-\frac{1031}{2369}a^{9}-\frac{664}{2369}a^{8}-\frac{1017}{2369}a^{7}+\frac{1144}{2369}a^{6}+\frac{951}{2369}a^{5}+\frac{293}{2369}a^{4}-\frac{48}{103}a^{3}+\frac{436}{2369}a^{2}-\frac{745}{2369}a+\frac{1054}{2369}$, $\frac{1}{2369}a^{23}+\frac{24}{2369}a^{21}-\frac{26}{2369}a^{20}-\frac{30}{2369}a^{19}+\frac{12}{2369}a^{18}-\frac{41}{2369}a^{17}+\frac{523}{2369}a^{16}-\frac{465}{2369}a^{15}+\frac{651}{2369}a^{14}+\frac{480}{2369}a^{13}+\frac{308}{2369}a^{12}+\frac{145}{2369}a^{11}-\frac{801}{2369}a^{10}-\frac{990}{2369}a^{9}-\frac{666}{2369}a^{8}+\frac{232}{2369}a^{7}+\frac{108}{2369}a^{6}-\frac{20}{2369}a^{5}-\frac{655}{2369}a^{4}-\frac{307}{2369}a^{3}+\frac{1002}{2369}a^{2}+\frac{28}{2369}a+\frac{717}{2369}$, $\frac{1}{1253201}a^{24}+\frac{185}{1253201}a^{23}-\frac{31}{1253201}a^{22}+\frac{7512}{1253201}a^{21}-\frac{26072}{1253201}a^{20}-\frac{12522}{1253201}a^{19}-\frac{16081}{1253201}a^{18}-\frac{26902}{1253201}a^{17}-\frac{188149}{1253201}a^{16}+\frac{457845}{1253201}a^{15}-\frac{618234}{1253201}a^{14}+\frac{211456}{1253201}a^{13}-\frac{60261}{1253201}a^{12}-\frac{370122}{1253201}a^{11}+\frac{304323}{1253201}a^{10}+\frac{35423}{1253201}a^{9}-\frac{296475}{1253201}a^{8}-\frac{180373}{1253201}a^{7}+\frac{147693}{1253201}a^{6}+\frac{615930}{1253201}a^{5}+\frac{300977}{1253201}a^{4}+\frac{213811}{1253201}a^{3}-\frac{478830}{1253201}a^{2}+\frac{623878}{1253201}a-\frac{5925}{12167}$, $\frac{1}{44\!\cdots\!29}a^{25}+\frac{74\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{72\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{86\!\cdots\!95}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{89\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!95}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a+\frac{22\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $23$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $25$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{53\!\cdots\!12}{84\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!90}{84\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{52\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!26}{84\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!25}{84\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!37}{84\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{98\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!54}{36\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!62}{84\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!93}{84\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!32}{84\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!53}{84\!\cdots\!01}a+\frac{29\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!01}$, $\frac{10\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!95}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{84\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{94\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a+\frac{60\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{19\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{58\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!29}a+\frac{10\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{26\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!74}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!95}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!95}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a+\frac{14\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{47\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{86\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{86\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a+\frac{25\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{61\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{99\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a+\frac{33\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{24\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!74}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!65}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{43\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a+\frac{13\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{53\!\cdots\!12}{84\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!90}{84\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{52\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!26}{84\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!25}{84\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!37}{84\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{98\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!54}{36\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!62}{84\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!93}{84\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!32}{84\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!52}{84\!\cdots\!01}a+\frac{29\!\cdots\!10}{84\!\cdots\!01}$, $\frac{15\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a+\frac{85\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{77\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!08}{43\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{75\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{81\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!29}a+\frac{42\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{34\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{72\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!29}a+\frac{18\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{26\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a+\frac{14\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{14\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{99\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a+\frac{75\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{33\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!23}a^{23}+\frac{65\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{79\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{71\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!74}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!29}a+\frac{13\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{34\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{72\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a+\frac{18\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{22\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!23}a+\frac{12\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{98\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{96\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!29}a+\frac{53\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{53\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!23}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{97\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}a+\frac{29\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{95\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!65}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a+\frac{52\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{49\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{66\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{45\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!23}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!23}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!70}{43\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{89\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!29}a+\frac{27\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{78\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{77\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!29}a+\frac{43\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{15\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{91\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!29}a+\frac{84\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{22\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{85\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{71\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!29}a+\frac{12\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{60\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!65}{44\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{86\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{96\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!29}a+\frac{32\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}$, $\frac{27\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{99\!\cdots\!56}{43\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{85\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{60\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!29}a+\frac{15\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 514750610132899270000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{26}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 514750610132899270000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1919641021107487828653877081110544587155912070949008048128}}\cr\approx \mathstrut & 0.394218272712406 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 26 |
The 26 conjugacy class representatives for $C_{26}$ |
Character table for $C_{26}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{2}) \), 13.13.59091511031674153381441.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | $26$ | $26$ | ${\href{/padicField/7.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | $26$ | ${\href{/padicField/17.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | ${\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{26}$ | $26$ | ${\href{/padicField/31.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | ${\href{/padicField/41.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | ${\href{/padicField/47.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | $26$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $26$ | $2$ | $13$ | $39$ | |||
\(79\) | 79.13.12.1 | $x^{13} + 79$ | $13$ | $1$ | $12$ | $C_{13}$ | $[\ ]_{13}$ |
79.13.12.1 | $x^{13} + 79$ | $13$ | $1$ | $12$ | $C_{13}$ | $[\ ]_{13}$ |