Normalized defining polynomial
\( x^{26} - x^{25} + 73 x^{24} - 186 x^{23} + 3641 x^{22} - 9330 x^{21} + 100019 x^{20} - 222719 x^{19} + 1875616 x^{18} - 3492740 x^{17} + 23704391 x^{16} - 32264444 x^{15} + 210535014 x^{14} - 201710657 x^{13} + 1351138459 x^{12} - 636617440 x^{11} + 6088122667 x^{10} - 338323732 x^{9} + 19670105030 x^{8} + 9111135848 x^{7} + 40261020210 x^{6} + 33026511660 x^{5} + 66399395218 x^{4} + 51808567752 x^{3} + 39465012376 x^{2} + 13351703742 x + 3769837201 \)
Invariants
| Degree: | $26$ | magma: Degree(K);
sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
| |
| Signature: | $[0, 13]$ | magma: Signature(K);
sage: K.signature()
gp: K.sign
| |
| Discriminant: | \(-80198818302747948116281352414518078412749016374883916055923=-\,3^{13}\cdot 157^{24}\) | magma: Discriminant(Integers(K));
sage: K.disc()
gp: K.disc
| |
| Root discriminant: | $184.31$ | magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
| |
| Ramified primes: | $3, 157$ | magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(471=3\cdot 157\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{471}(256,·)$, $\chi_{471}(1,·)$, $\chi_{471}(130,·)$, $\chi_{471}(67,·)$, $\chi_{471}(196,·)$, $\chi_{471}(389,·)$, $\chi_{471}(328,·)$, $\chi_{471}(265,·)$, $\chi_{471}(203,·)$, $\chi_{471}(14,·)$, $\chi_{471}(16,·)$, $\chi_{471}(467,·)$, $\chi_{471}(407,·)$, $\chi_{471}(413,·)$, $\chi_{471}(158,·)$, $\chi_{471}(415,·)$, $\chi_{471}(224,·)$, $\chi_{471}(353,·)$, $\chi_{471}(101,·)$, $\chi_{471}(422,·)$, $\chi_{471}(232,·)$, $\chi_{471}(173,·)$, $\chi_{471}(46,·)$, $\chi_{471}(310,·)$, $\chi_{471}(250,·)$, $\chi_{471}(287,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{13} a^{12} + \frac{6}{13} a^{11} - \frac{3}{13} a^{10} - \frac{5}{13} a^{9} - \frac{4}{13} a^{8} + \frac{2}{13} a^{7} - \frac{1}{13} a^{6} - \frac{6}{13} a^{5} + \frac{3}{13} a^{4} + \frac{5}{13} a^{3} + \frac{4}{13} a^{2} - \frac{2}{13} a$, $\frac{1}{13} a^{13} - \frac{1}{13} a$, $\frac{1}{13} a^{14} - \frac{1}{13} a^{2}$, $\frac{1}{13} a^{15} - \frac{1}{13} a^{3}$, $\frac{1}{13} a^{16} - \frac{1}{13} a^{4}$, $\frac{1}{13} a^{17} - \frac{1}{13} a^{5}$, $\frac{1}{13} a^{18} - \frac{1}{13} a^{6}$, $\frac{1}{13} a^{19} - \frac{1}{13} a^{7}$, $\frac{1}{169} a^{20} - \frac{2}{169} a^{19} + \frac{6}{169} a^{18} + \frac{1}{169} a^{17} + \frac{4}{169} a^{16} - \frac{1}{169} a^{15} + \frac{1}{169} a^{14} - \frac{5}{169} a^{13} - \frac{4}{169} a^{12} + \frac{67}{169} a^{11} + \frac{12}{169} a^{10} + \frac{20}{169} a^{9} - \frac{50}{169} a^{8} + \frac{72}{169} a^{7} + \frac{37}{169} a^{6} - \frac{55}{169} a^{5} + \frac{75}{169} a^{4} - \frac{58}{169} a^{3} - \frac{30}{169} a^{2} - \frac{4}{13} a$, $\frac{1}{169} a^{21} + \frac{2}{169} a^{19} + \frac{6}{169} a^{17} - \frac{6}{169} a^{16} - \frac{1}{169} a^{15} - \frac{3}{169} a^{14} - \frac{1}{169} a^{13} - \frac{6}{169} a^{12} - \frac{75}{169} a^{11} + \frac{70}{169} a^{10} - \frac{23}{169} a^{9} + \frac{63}{169} a^{8} + \frac{51}{169} a^{7} - \frac{72}{169} a^{6} + \frac{17}{169} a^{5} + \frac{79}{169} a^{4} + \frac{36}{169} a^{3} - \frac{34}{169} a^{2} + \frac{1}{13} a$, $\frac{1}{169} a^{22} + \frac{4}{169} a^{19} - \frac{6}{169} a^{18} + \frac{5}{169} a^{17} + \frac{4}{169} a^{16} - \frac{1}{169} a^{15} - \frac{3}{169} a^{14} + \frac{4}{169} a^{13} - \frac{2}{169} a^{12} - \frac{12}{169} a^{11} - \frac{73}{169} a^{10} + \frac{36}{169} a^{9} + \frac{60}{169} a^{8} + \frac{83}{169} a^{7} + \frac{47}{169} a^{6} - \frac{45}{169} a^{5} + \frac{68}{169} a^{4} + \frac{69}{169} a^{3} - \frac{5}{169} a^{2} - \frac{2}{13} a$, $\frac{1}{2197} a^{23} - \frac{4}{2197} a^{22} + \frac{4}{2197} a^{20} + \frac{30}{2197} a^{19} + \frac{3}{2197} a^{18} + \frac{75}{2197} a^{17} + \frac{35}{2197} a^{16} + \frac{40}{2197} a^{15} - \frac{49}{2197} a^{14} - \frac{70}{2197} a^{13} + \frac{48}{2197} a^{12} + \frac{287}{2197} a^{11} + \frac{3}{2197} a^{10} + \frac{501}{2197} a^{9} - \frac{872}{2197} a^{8} - \frac{1078}{2197} a^{7} - \frac{935}{2197} a^{6} + \frac{183}{2197} a^{5} + \frac{915}{2197} a^{4} - \frac{736}{2197} a^{3} + \frac{943}{2197} a^{2} + \frac{56}{169} a + \frac{6}{13}$, $\frac{1}{677808698112030120649} a^{24} - \frac{29968640181741143}{677808698112030120649} a^{23} + \frac{1215982150982870615}{677808698112030120649} a^{22} + \frac{1776657445576742265}{677808698112030120649} a^{21} + \frac{139391476913982564}{677808698112030120649} a^{20} - \frac{2355365088101388899}{677808698112030120649} a^{19} - \frac{10679819367905813789}{677808698112030120649} a^{18} - \frac{3505869509288186241}{677808698112030120649} a^{17} - \frac{23352128781308384076}{677808698112030120649} a^{16} + \frac{4280139341454838207}{677808698112030120649} a^{15} + \frac{16678777942361042752}{677808698112030120649} a^{14} - \frac{18046666830011196068}{677808698112030120649} a^{13} - \frac{14292827308959780730}{677808698112030120649} a^{12} - \frac{22916281436669757284}{677808698112030120649} a^{11} - \frac{338250388510937091336}{677808698112030120649} a^{10} - \frac{11356331389716789793}{677808698112030120649} a^{9} + \frac{227790106076426450839}{677808698112030120649} a^{8} + \frac{271279545737642228650}{677808698112030120649} a^{7} + \frac{181253595545599921259}{677808698112030120649} a^{6} - \frac{39449509432867948378}{677808698112030120649} a^{5} + \frac{213329842139639691392}{677808698112030120649} a^{4} + \frac{115326575463290890874}{677808698112030120649} a^{3} - \frac{248802921345083803351}{677808698112030120649} a^{2} - \frac{10227546764619943583}{52139130624002316973} a - \frac{394717256655220898}{4010702355692485921}$, $\frac{1}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{25} + \frac{18308833895989454695278406000685638235846633118668377195416796840482026569639354}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{24} - \frac{4622655005266653562877128555866215639135941531552173420938505756862073971714259719303749989492885}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{23} - \frac{31827676439044804104597984532338963339131735578848064676925304631289747767537756504326567892092906}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{22} - \frac{26547970522901751818234565905495663115496639089841389123047603090024438887616810047817552105567649}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{21} + \frac{21833626237292259720754384734308132919422934913573211954464347832384438754990713249262841245296193}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{20} - \frac{1135608627391039305614245554999911896824060403604182408546597413487574149632398268995738721017593336}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{19} + \frac{67397469284574791963711782147863198908254858955629211422569743815333909737739535030322197612799309}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{18} - \frac{885911436621230608603948251943567962068826959858570196877362441724062685568461601656634821109872983}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{17} + \frac{349594959202261898772343435451403831084837413113491008129262512429064092801359640301627985882033721}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{16} - \frac{70341442186594946554905434711620039642521498390109467461450307711401350026333691709466897155118675}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{15} + \frac{510519868010168558442550314022425799044790526689478118918771918025541997409977353422122395125242338}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{14} - \frac{569411890543647983545491415309282885912494572621135810697083715900687050314692338954033244941442010}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{13} - \frac{1018429444855416620439284991204628044527328027484031225475885228827476112500287724483726503053233012}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{12} - \frac{19356489215912080704375826447666142028459303031591844093066129616909294833376308177032181021740911095}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{11} - \frac{18422342590299528455283904177008306337905190527493033719386645860458285122907130920493018713210521676}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{10} + \frac{18633149767757646059577319476543996547957079241786791663849694440396902540550266574656144871646501624}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{9} - \frac{1490132823206017339025913235905295847250017502151103541161849520656367791017520949326294023975268986}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{8} - \frac{4328729227741648701881015538812962544086303272645358011548941680025080377968775252764314118137330423}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{7} + \frac{15148417158728908880900065183088904744732392310315348247419380453511576731757510433391588389117226168}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{6} + \frac{12377616543549593645927014348835587545497566836466826251433577482169076867240008462717576974458397180}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{5} + \frac{17437779681493243489959085628244662113559609388751423122478846570780538194860540763993401660904925684}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{4} - \frac{11174615140395733491413661090369734874680316597518592498050389601624979291722303288238764440282442488}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{3} - \frac{2867943480415943140196092654887163153291304892170715325779724817211792898434664363732156680142525232}{41450619959074847498907392808444861291435360294574797963778760640580251788438159878618242222599904157} a^{2} - \frac{58394432300980817893601482137555433753450335558369540052421867171914617351658231757303497264177323}{3188509227621142115300568677572681637802720022659599843367596972352327060649089221432172478661531089} a - \frac{18315695189416210633683354096584898476338128697255995752346272930184665386571291826862359555115}{51930963494863794447801571321563570054931188173416502603749197419376977811513041278069227164311}$
Class group and class number
$C_{10628423}$, which has order $10628423$ (assuming GRH)
Unit group
| Rank: | $12$ | magma: UnitRank(K);
sage: UK.rank()
gp: K.fu
| |
| Torsion generator: | \( \frac{1595166435030487796822572744524709773516707148720972693310890082629196326831}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{25} - \frac{1828668060278383088605707809013779282604274019871762003690830266501022535371}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{24} + \frac{117285136076104534611451482996966405330180446021720861288343569937052981088795}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{23} - \frac{314315016528160115552375288686099629054746160664002863641030907008063165119571}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{22} + \frac{5894856654340718818487587678141219829327040585528914365996078527293658829743414}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{21} - \frac{15843159396091234696696489533566063290952283622185679994068739412024953664075487}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{20} + \frac{163873764051713704479455200138375712682832116094910441789928128543172233080356149}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{19} - \frac{384081013807585464859694286534949132366598971739902108539551500074639259855805760}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{18} + \frac{3101915041880881388220837359283679219551728957748627280329166443369918667705832652}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{17} - \frac{6137840588474167608175428228366375784352848246320919934840864036594949009699949039}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{16} + \frac{39701367358340440680610320612786849236526164318103299921444294874936807860428599214}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{15} - \frac{58998395158916237377040223598463074105055516725701204713671373409274673174524705124}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{14} + \frac{356667542533403940973386307904898792260742535460460593701415116456754735100984915235}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{13} - \frac{389130231516892044499426976330902917215057431293988932121154977052810323631622709323}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{12} + \frac{2318270762493962743892327812567776290005672286884483278859291131036038133705522775108}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{11} - \frac{1447335113451296742455423346712754326571054870674728614054633808233949097959816267123}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{10} + \frac{10585186393150275950102854899666486361438258641769437451881255361261861117117623964446}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{9} - \frac{2357517392289224131850368756658763424311859075677712213132598595849663629920937601352}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{8} + \frac{34614145103068117599800484721088804260272611020306946004531942322577182199227990282720}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{7} + \frac{9221370199641477472723855526396637795123956483108874820828598305945378478488427209964}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{6} + \frac{71767494262709653881358133433873013806556657835086379970946383998196293390507675381037}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{5} + \frac{45478115605062328651025913186245171006992283780932630556041486330336078846538620705118}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{4} + \frac{115787434030000901613030916627652429278110821832223232606833432253416618687237258200282}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{3} + \frac{69581805261663446298795981545903988605589900485864423134697112186312342856312676913231}{20969720622023478298535688459272272371414636056883444980991705766313955755461214215993} a^{2} + \frac{5801742304128635320272679068615497005177982229903519200312523911012261210890870029746}{1613055432463344484502745266097867105493433542837188075460900443562611981189324170461} a + \frac{32440291609931479242994258666310149979998809613726330805939753462166426133230565}{26271688992709074813966762750172919843864452887460513615220124815756152073964139} \) (order $6$) | magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
| |
| Fundamental units: | Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH) | magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
| |
| Regulator: | \( 5466968796671.363 \) (assuming GRH) | magma: Regulator(K);
sage: K.regulator()
gp: K.reg
|
Galois group
| A cyclic group of order 26 |
| The 26 conjugacy class representatives for $C_{26}$ |
| Character table for $C_{26}$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{-3}) \), 13.13.224282727500720205065439601.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $26$ | R | $26$ | ${\href{/LocalNumberField/7.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | ${\href{/LocalNumberField/13.1.0.1}{1} }^{26}$ | $26$ | ${\href{/LocalNumberField/19.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | $26$ | ${\href{/LocalNumberField/31.13.0.1}{13} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | ${\href{/LocalNumberField/43.13.0.1}{13} }^{2}$ | $26$ | $26$ | $26$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | Data not computed | ||||||
| $157$ | 157.13.12.1 | $x^{13} - 157$ | $13$ | $1$ | $12$ | $C_{13}$ | $[\ ]_{13}$ |
| 157.13.12.1 | $x^{13} - 157$ | $13$ | $1$ | $12$ | $C_{13}$ | $[\ ]_{13}$ | |