Normalized defining polynomial
\( x^{25} - x^{24} - 288 x^{23} + 497 x^{22} + 34352 x^{21} - 78170 x^{20} - 2240723 x^{19} + 6111573 x^{18} + 88353827 x^{17} - 277220089 x^{16} - 2180920913 x^{15} + 7768392594 x^{14} + 33401169837 x^{13} - 136672173208 x^{12} - 297659219628 x^{11} + 1479506226130 x^{10} + 1250997120007 x^{9} - 9250584651357 x^{8} + 37235512027 x^{7} + 29123329385706 x^{6} - 15122977023774 x^{5} - 33560927016050 x^{4} + 26612300985025 x^{3} + 1442645425875 x^{2} - 4088955351250 x + 666457915625 \)
Invariants
| Degree: | $25$ | magma: Degree(K);
sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
| |
| Signature: | $[25, 0]$ | magma: Signature(K);
sage: K.signature()
gp: K.sign
| |
| Discriminant: | \(4931594142375771105480494098054585760878374959955311864606883374401=601^{24}\) | magma: Discriminant(Integers(K));
sage: K.disc()
gp: K.disc
| |
| Root discriminant: | $465.29$ | magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
| |
| Ramified primes: | $601$ | magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(601\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{601}(128,·)$, $\chi_{601}(1,·)$, $\chi_{601}(2,·)$, $\chi_{601}(451,·)$, $\chi_{601}(4,·)$, $\chi_{601}(263,·)$, $\chi_{601}(8,·)$, $\chi_{601}(256,·)$, $\chi_{601}(16,·)$, $\chi_{601}(526,·)$, $\chi_{601}(512,·)$, $\chi_{601}(216,·)$, $\chi_{601}(27,·)$, $\chi_{601}(157,·)$, $\chi_{601}(32,·)$, $\chi_{601}(423,·)$, $\chi_{601}(64,·)$, $\chi_{601}(490,·)$, $\chi_{601}(108,·)$, $\chi_{601}(301,·)$, $\chi_{601}(432,·)$, $\chi_{601}(245,·)$, $\chi_{601}(54,·)$, $\chi_{601}(314,·)$, $\chi_{601}(379,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{6} + \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{7} + \frac{1}{25} a^{3}$, $\frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{8} + \frac{1}{25} a^{4}$, $\frac{1}{25} a^{13} - \frac{2}{25} a^{9} + \frac{1}{25} a^{5}$, $\frac{1}{25} a^{14} + \frac{2}{25} a^{6} - \frac{3}{25} a^{2}$, $\frac{1}{125} a^{15} + \frac{2}{125} a^{11} - \frac{7}{125} a^{7} + \frac{4}{125} a^{3}$, $\frac{1}{625} a^{16} + \frac{2}{625} a^{15} - \frac{8}{625} a^{12} - \frac{1}{625} a^{11} + \frac{1}{125} a^{10} - \frac{2}{25} a^{9} - \frac{37}{625} a^{8} - \frac{29}{625} a^{7} - \frac{7}{125} a^{6} - \frac{206}{625} a^{4} - \frac{222}{625} a^{3} + \frac{6}{125} a^{2} - \frac{3}{25} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{625} a^{17} + \frac{1}{625} a^{15} - \frac{8}{625} a^{13} - \frac{2}{125} a^{12} - \frac{8}{625} a^{11} - \frac{2}{125} a^{10} - \frac{62}{625} a^{9} - \frac{6}{125} a^{8} + \frac{38}{625} a^{7} - \frac{6}{125} a^{6} + \frac{44}{625} a^{5} + \frac{58}{125} a^{4} - \frac{156}{625} a^{3} - \frac{17}{125} a^{2} - \frac{4}{25} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{3125} a^{18} + \frac{1}{3125} a^{16} - \frac{8}{3125} a^{14} - \frac{2}{625} a^{13} - \frac{58}{3125} a^{12} + \frac{8}{625} a^{11} - \frac{62}{3125} a^{10} - \frac{56}{625} a^{9} + \frac{138}{3125} a^{8} + \frac{24}{625} a^{7} + \frac{169}{3125} a^{6} - \frac{17}{625} a^{5} - \frac{1456}{3125} a^{4} - \frac{182}{625} a^{3} - \frac{34}{125} a^{2} + \frac{12}{25} a$, $\frac{1}{3125} a^{19} + \frac{1}{3125} a^{17} - \frac{8}{3125} a^{15} - \frac{2}{625} a^{14} - \frac{58}{3125} a^{13} + \frac{8}{625} a^{12} - \frac{62}{3125} a^{11} - \frac{6}{625} a^{10} + \frac{138}{3125} a^{9} + \frac{24}{625} a^{8} + \frac{169}{3125} a^{7} + \frac{8}{625} a^{6} - \frac{206}{3125} a^{5} - \frac{182}{625} a^{4} - \frac{34}{125} a^{3} + \frac{9}{25} a^{2} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{15625} a^{20} + \frac{2}{15625} a^{18} - \frac{1}{3125} a^{17} - \frac{7}{15625} a^{16} - \frac{3}{3125} a^{15} + \frac{59}{15625} a^{14} - \frac{36}{3125} a^{13} - \frac{14}{3125} a^{12} - \frac{8}{625} a^{11} + \frac{126}{15625} a^{10} + \frac{26}{625} a^{9} - \frac{168}{15625} a^{8} - \frac{31}{3125} a^{7} - \frac{1512}{15625} a^{6} + \frac{207}{3125} a^{5} + \frac{6244}{15625} a^{4} - \frac{351}{3125} a^{3} - \frac{132}{625} a^{2} - \frac{54}{125} a - \frac{7}{25}$, $\frac{1}{78125} a^{21} + \frac{2}{78125} a^{20} - \frac{8}{78125} a^{19} + \frac{4}{78125} a^{18} + \frac{23}{78125} a^{17} + \frac{26}{78125} a^{16} - \frac{116}{78125} a^{15} - \frac{627}{78125} a^{14} - \frac{12}{3125} a^{13} - \frac{136}{15625} a^{12} - \frac{1279}{78125} a^{11} + \frac{1267}{78125} a^{10} + \frac{5252}{78125} a^{9} - \frac{601}{78125} a^{8} + \frac{1413}{78125} a^{7} + \frac{2081}{78125} a^{6} - \frac{3476}{78125} a^{5} - \frac{19497}{78125} a^{4} + \frac{7723}{15625} a^{3} + \frac{961}{3125} a^{2} + \frac{97}{625} a + \frac{21}{125}$, $\frac{1}{390625} a^{22} + \frac{2}{390625} a^{21} + \frac{2}{390625} a^{20} + \frac{29}{390625} a^{19} - \frac{57}{390625} a^{18} + \frac{251}{390625} a^{17} - \frac{36}{390625} a^{16} - \frac{1477}{390625} a^{15} + \frac{793}{78125} a^{14} + \frac{264}{78125} a^{13} - \frac{2804}{390625} a^{12} - \frac{4783}{390625} a^{11} + \frac{7587}{390625} a^{10} + \frac{12474}{390625} a^{9} - \frac{5942}{390625} a^{8} + \frac{6881}{390625} a^{7} + \frac{24254}{390625} a^{6} + \frac{27078}{390625} a^{5} + \frac{29606}{78125} a^{4} + \frac{4944}{15625} a^{3} + \frac{28}{3125} a^{2} + \frac{253}{625} a - \frac{54}{125}$, $\frac{1}{23046875} a^{23} - \frac{11}{23046875} a^{22} + \frac{111}{23046875} a^{21} - \frac{252}{23046875} a^{20} + \frac{1986}{23046875} a^{19} - \frac{643}{23046875} a^{18} - \frac{6569}{23046875} a^{17} + \frac{9426}{23046875} a^{16} - \frac{47619}{23046875} a^{15} - \frac{10244}{4609375} a^{14} + \frac{317286}{23046875} a^{13} + \frac{303119}{23046875} a^{12} - \frac{117399}{23046875} a^{11} - \frac{416512}{23046875} a^{10} - \frac{55459}{23046875} a^{9} - \frac{430933}{23046875} a^{8} + \frac{1155306}{23046875} a^{7} + \frac{458261}{23046875} a^{6} + \frac{326756}{23046875} a^{5} + \frac{2202528}{4609375} a^{4} + \frac{269844}{921875} a^{3} - \frac{217}{184375} a^{2} - \frac{2924}{7375} a + \frac{31}{125}$, $\frac{1}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{24} - \frac{317760669373015152267202930548663465702200675295929615814403847064906282218675285277051102098}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{23} + \frac{16922406454362633086066263346913142068951450593769213319808088698905363169444108241511296649393}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{22} - \frac{9604554444777169795258920719428057936219526940288386130651242426043609699743848601556725711924}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{21} + \frac{143173822675499369921749262363167778729223091007101979531390440126824584954315982439359210465131}{5459269947167113834842124333859047274179116701068264086591145776327534659971033658111592770017578125} a^{20} - \frac{503627673776659960816288071184874969453794961886790907494532743792188180852341161972606516879411}{5459269947167113834842124333859047274179116701068264086591145776327534659971033658111592770017578125} a^{19} - \frac{1715665711078367549016573536438998972266303419643828659786339789910571739607134656048791884046213}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{18} + \frac{19384236361384400082638329771553983777733555887495342415685811703567743424430896256476401739025459}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{17} - \frac{19856281895506929584585622084888777987680043568409139062985261435751699999110958015615685103484646}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{16} - \frac{14192099233939106172985234514840826399589482499767309912103464196422722845138466963475579149461752}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{15} + \frac{2765789920641366580409566787365644390116399342303261607110567082033361635836724474772769030283209}{462649995522636765664586807954156548659247178056632549711114048841316496607714716789118031357421875} a^{14} - \frac{240823098094178200649795467389849831854587873646989672304898605012277331260175807848710974607704138}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{13} + \frac{142654813544370890074788531225794019501717587925360021138495059217148371200566877140447263944536023}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{12} + \frac{22934182535407584207022465919618898114783260412859553580998481054066515533387421959337355127361511}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{11} - \frac{69979190474457216901948158580748451295882614076630996385201692261330783386503278427804589829277529}{5459269947167113834842124333859047274179116701068264086591145776327534659971033658111592770017578125} a^{10} - \frac{501611506518495803400863926792350724289742632657233648185842381303008379728109856733827819818637506}{5459269947167113834842124333859047274179116701068264086591145776327534659971033658111592770017578125} a^{9} - \frac{711577388660973823828489088375762985669277737604686936520392843788686291312599759657591738138386658}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{8} - \frac{2277045078907977470494279126095217012895632758043944295547068031494191771964684957371717148820520681}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{7} - \frac{815542185778002462561964689257872847950011696269528112245965284791459147943062423365020500443746491}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{6} - \frac{1960611083779259264250920615797514342331347762192249633453560435656432061403226015741166436495276492}{27296349735835569174210621669295236370895583505341320432955728881637673299855168290557963850087890625} a^{5} + \frac{2680551479985894574069158363216831561024046532411453261770455547960948923419205749579990179607264}{8734831915467382135747398934174475638686586721709222538545833242124055455953653852978548432028125} a^{4} + \frac{5569325032453594027426482243517298158982670010491767178190316358510914442976439645455076193268593}{1091853989433422766968424866771809454835823340213652817318229155265506931994206731622318554003515625} a^{3} - \frac{32867348683852241044322831061288667714091176992404785017245928482980064630061896521331957236087304}{218370797886684553393684973354361890967164668042730563463645831053101386398841346324463710800703125} a^{2} + \frac{7586799637018177496858477652555915442484856422892305835659236520664491145121910489439818910348769}{43674159577336910678736994670872378193432933608546112692729166210620277279768269264892742160140625} a - \frac{2394480496420013992682957042681616240900168463135829305003771700698144808679644002438694732529}{148047998567243765012667778545330095570959096978122415907556495629221278914468709372517770034375}$
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
| Rank: | $24$ | magma: UnitRank(K);
sage: UK.rank()
gp: K.fu
| |
| Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
| |
| Fundamental units: | Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH) | magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
| |
| Regulator: | \( 5747316251980816000000000000 \) (assuming GRH) | magma: Regulator(K);
sage: K.regulator()
gp: K.reg
|
Galois group
| A cyclic group of order 25 |
| The 25 conjugacy class representatives for $C_{25}$ |
| Character table for $C_{25}$ is not computed |
Intermediate fields
| 5.5.130466162401.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $25$ | $25$ | ${\href{/LocalNumberField/5.1.0.1}{1} }^{25}$ | $25$ | $25$ | ${\href{/LocalNumberField/13.5.0.1}{5} }^{5}$ | ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{5}$ | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ | ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{5}$ | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ | ${\href{/LocalNumberField/59.1.0.1}{1} }^{25}$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 601 | Data not computed | ||||||