↑

Properties

Label 25.25.1795754272...0625.4
Degree $25$
Signature $[25, 0]$
Discriminant $5^{40}\cdot 151^{24}$
Root discriminant $1622.44$
Ramified primes $5, 151$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{25}$ (as 25T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![160465690548922974793, 197854132985078094240, -390282190146595604570, -141655796051848662890, 155067588230737220750, 36466896285396543979, -25084686408659749065, -4669418190098058825, 2029959645702275475, 334044432391802925, -88826082886172992, -13968017713086990, 2202080307305665, 348130556565355, -31853267558025, -5256678097985, 271497257835, 48545477730, -1335514970, -271924575, 3497311, 886370, -3775, -1510, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^25 - 1510*x^23 - 3775*x^22 + 886370*x^21 + 3497311*x^20 - 271924575*x^19 - 1335514970*x^18 + 48545477730*x^17 + 271497257835*x^16 - 5256678097985*x^15 - 31853267558025*x^14 + 348130556565355*x^13 + 2202080307305665*x^12 - 13968017713086990*x^11 - 88826082886172992*x^10 + 334044432391802925*x^9 + 2029959645702275475*x^8 - 4669418190098058825*x^7 - 25084686408659749065*x^6 + 36466896285396543979*x^5 + 155067588230737220750*x^4 - 141655796051848662890*x^3 - 390282190146595604570*x^2 + 197854132985078094240*x + 160465690548922974793)
 
gp: K = bnfinit(x^25 - 1510*x^23 - 3775*x^22 + 886370*x^21 + 3497311*x^20 - 271924575*x^19 - 1335514970*x^18 + 48545477730*x^17 + 271497257835*x^16 - 5256678097985*x^15 - 31853267558025*x^14 + 348130556565355*x^13 + 2202080307305665*x^12 - 13968017713086990*x^11 - 88826082886172992*x^10 + 334044432391802925*x^9 + 2029959645702275475*x^8 - 4669418190098058825*x^7 - 25084686408659749065*x^6 + 36466896285396543979*x^5 + 155067588230737220750*x^4 - 141655796051848662890*x^3 - 390282190146595604570*x^2 + 197854132985078094240*x + 160465690548922974793, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{25} - 1510 x^{23} - 3775 x^{22} + 886370 x^{21} + 3497311 x^{20} - 271924575 x^{19} - 1335514970 x^{18} + 48545477730 x^{17} + 271497257835 x^{16} - 5256678097985 x^{15} - 31853267558025 x^{14} + 348130556565355 x^{13} + 2202080307305665 x^{12} - 13968017713086990 x^{11} - 88826082886172992 x^{10} + 334044432391802925 x^{9} + 2029959645702275475 x^{8} - 4669418190098058825 x^{7} - 25084686408659749065 x^{6} + 36466896285396543979 x^{5} + 155067588230737220750 x^{4} - 141655796051848662890 x^{3} - 390282190146595604570 x^{2} + 197854132985078094240 x + 160465690548922974793 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $25$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[25, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(179575427285891034426038718238151945439156258996386904982500709593296051025390625=5^{40}\cdot 151^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1622.44$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 151$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(3775=5^{2}\cdot 151\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{3775}(1856,·)$, $\chi_{3775}(1,·)$, $\chi_{3775}(386,·)$, $\chi_{3775}(331,·)$, $\chi_{3775}(396,·)$, $\chi_{3775}(2626,·)$, $\chi_{3775}(1936,·)$, $\chi_{3775}(81,·)$, $\chi_{3775}(1876,·)$, $\chi_{3775}(86,·)$, $\chi_{3775}(2041,·)$, $\chi_{3775}(2841,·)$, $\chi_{3775}(1306,·)$, $\chi_{3775}(3296,·)$, $\chi_{3775}(2786,·)$, $\chi_{3775}(3621,·)$, $\chi_{3775}(2726,·)$, $\chi_{3775}(3111,·)$, $\chi_{3775}(1066,·)$, $\chi_{3775}(1771,·)$, $\chi_{3775}(1076,·)$, $\chi_{3775}(3191,·)$, $\chi_{3775}(2996,·)$, $\chi_{3775}(956,·)$, $\chi_{3775}(2941,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6}$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7}$, $\frac{1}{334} a^{23} + \frac{38}{167} a^{22} - \frac{35}{167} a^{21} + \frac{45}{334} a^{20} - \frac{36}{167} a^{19} - \frac{14}{167} a^{18} - \frac{33}{334} a^{17} + \frac{29}{167} a^{16} - \frac{63}{334} a^{15} - \frac{62}{167} a^{14} - \frac{74}{167} a^{13} + \frac{37}{334} a^{12} - \frac{115}{334} a^{11} + \frac{68}{167} a^{10} + \frac{29}{167} a^{9} - \frac{14}{167} a^{8} - \frac{70}{167} a^{7} - \frac{27}{334} a^{6} + \frac{67}{167} a^{5} + \frac{12}{167} a^{4} - \frac{121}{334} a^{3} + \frac{31}{334} a^{2} - \frac{25}{167} a - \frac{59}{167}$, $\frac{1}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{24} + \frac{8043089071409740134960822736351605518208597103319813491417973430175204457546471346218507701662501698806666597782493209627869636653598699135718394160849010256138010469929842454618398938845751102489395802749607306289835911884152062513518271}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{23} - \frac{10675553465421509239675283719505120159478358591457128068875825446045976094322031608008954416907029831302895969972602221562122505174112044529189760012822203005561849530169698018001412733228967391877434608069738981473306545084187207743333656767}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{22} + \frac{5655101210693169238950271238285283853172699314684959645752884565457338602585482176580508814655507100900197425247394071148289529648040804799456760550122532712614072471785561016042063099073317301793510298940358881763504153736970084460303469159}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{21} + \frac{6077469679981248593697293447454427388219221461824878616781413099329863736998132206216291176792590983348328865744154646018312711144039439999116699602402024638077954255918384781447035057366986771808470844441760656167553427989353938475755870109}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{20} - \frac{5659239102618193994446467098151714983376531744954790749985349418217643169711998400361799414564755503779218008441656275583652540361426173489974627366382310517275999183758465845403591702057038891939005533982906662982758269915469637718735170916}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{19} - \frac{1865965169094862487483239961296544388250322630775636522510117620918748431363823890864282604344169122503498399384917839147406300389984874200900198983588860034398324801407695597562410938542182209274139375060803348375130959224414785864519107750}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{18} - \frac{4233814166759090180161569070018028478904466808118619241510006881453705603634170779747271279200838503752442574085950590063249126023142460706494222664172175650208902983862178713823528735832026415537064056560908178554951136690128542017553854652}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{17} + \frac{5726379841225120315948691793365733482064304025072946867072746440779491615632140040058586541595960957446450853137270386159549731178953291787872908815023058320805377518666337570719613601055062936914248261559183437098875586621232909609286773018}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{16} - \frac{3835557668641483971300164219243271025279861762764035618887241013475992272801816915158829679115597823943808774093595860195388718673956596298670998909793146231176823957652084287598816840169878988595099669250096023460130394590431848261129277390}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{15} - \frac{3823818853159216585722730370098238928284186650812137835031528575141063083550595668016682059252967878189013605064621518852974296939021959256765669460152982624590500572964983563585632864501502025958027488677099945514117754579687611934456660159}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{14} - \frac{211315088014887460340596941102835492505394999651005600060794535848450164886588199524995172323532401119185507643167545796371678273025432746674441645585711048442815690826813359974870073227753368021530840852389141457802099733687222833789458454}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{13} - \frac{22333270023506908726524525077348407841252721906383363042783120038242884887531176707254551111708026106944788088256691928624109441513744085525492321082941959971509492127930031410245800328803062484653819635245393551986001813117677455529943644287}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{12} - \frac{10749599851323779663851597332188783696423383968176234594812386120376530273041718284620590610222987636568146044038451985062967071492038232400265441563260197855001485413707735938466853165100943432787961613214031952961917176706281202694635042824}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{11} + \frac{5236701176900048651646096701861111923833147167128815245615839156845960998650103996431615562147100153577687580268323208759677226481654984492082513693769852165030484221142513281310642205073345254806178986988221581367846864405173739672613682421}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{10} - \frac{20474466661487337848425911470312719428920630792617203931375030560587829041831134640932857118235117316451011308064020650793562231280340623460952595793978925402688777719848209216295788092221016392942608866114457918171892829666874684118849378955}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{9} - \frac{6186091324914046409407104078831109875810139167119701947328126592262091589918743880745236215169250864457951446416414455774532503512929699120614988518268445234550143393971197314651670182290236910168069092583482271440594453902333142527675505860}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{8} + \frac{5353486605010142866227616191281780814405981276265117416241606790677553223755638571656622247896177312072806847028213573364607874635949799778727920974650569464969281000315043379576375993814927413865667201077939578040257337905363920015031177757}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{7} + \frac{757950749422491121466351509707594229164203935665843295423510573344295931092703211265871635264589757385422320041432863476737073692850846635881022551238625183271964723193372031294314420196442842360407716541437303869011071532457706616619692808}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{6} - \frac{6175996085980970869473564675553712570693711146669440097277986941640669415647958147645621328676803979810017485346715060653121671805566163165573244828822985057368373741290727475336270596036075191840597627204002244132134267237551968721219303742}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{5} - \frac{691116098927217921069597262585214660411381960883275263143515595901352536687931805453973117821487248169897023576338752364489424173735513843028473299203822065146894577197997125180521446237394241459703480312252183972758060863879121781993506221}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{4} + \frac{11548778222690316662954560658385226068391397349641806177625096708802986845684361994688083955934998169844002335700390175334685663415693749340096493903590974187739843650375236827295803981589187277954733030675602112004594852857312868258964456547}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467} a^{3} - \frac{14064265885110096352507095212734795577235853583153626675535184422100546125113409573919165206729125143123550771278440743707554644824079747171753906164537578885265275891048001811390369333408683072095048854859818419300334651436502432472828420275}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a^{2} + \frac{5263600007636084320615372912450949954390426069390688616873200960294496438969577370297953059686610395585058149503436957787581785425424181400087696792277268964673393802473394186963584798822614072149097760332666485331621702888934588915675207841}{54727439662757841476981650943335423830303118012185850197847550811396125295933788710298107131458154261398230615122772928858671895615399532045713575519501850227789227041898311236663329735318589244515969012965341068823798742858253664446868656934} a - \frac{3488287500079777178716558438881411509001687261682055481387319119894413997917344635440171378010389560917647839528346366444509824413873523887249674053617573441308736453669510205683799489159936738459826880867367571251649689733516811510523783250}{27363719831378920738490825471667711915151559006092925098923775405698062647966894355149053565729077130699115307561386464429335947807699766022856787759750925113894613520949155618331664867659294622257984506482670534411899371429126832223434328467}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $24$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{25}$ (as 25T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 25
The 25 conjugacy class representatives for $C_{25}$
Character table for $C_{25}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.519885601.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.5.0.1}{5} }^{5}$ $25$ R $25$ $25$ $25$ $25$ ${\href{/LocalNumberField/19.5.0.1}{5} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/23.5.0.1}{5} }^{5}$ $25$ $25$ $25$ $25$ $25$ $25$ $25$ ${\href{/LocalNumberField/59.5.0.1}{5} }^{5}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
151Data not computed