↑

Properties

Label 25.25.1795754272...0625.1
Degree $25$
Signature $[25, 0]$
Discriminant $5^{40}\cdot 151^{24}$
Root discriminant $1622.44$
Ramified primes $5, 151$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{25}$ (as 25T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-86339316834042614143, -27919634273568079160, 246479720085716115620, -4979093806744954890, -147538257096294486000, 37173715758686750029, 20399730914876360265, -6853500138332825725, -1134379073442882225, 499106416403648175, 27514154918425942, -18968470528314790, -167805809274915, 419257369310355, -4894370697225, -5707780707485, 105209320215, 49405022580, -841263280, -270641075, 3018339, 886370, -3775, -1510, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^25 - 1510*x^23 - 3775*x^22 + 886370*x^21 + 3018339*x^20 - 270641075*x^19 - 841263280*x^18 + 49405022580*x^17 + 105209320215*x^16 - 5707780707485*x^15 - 4894370697225*x^14 + 419257369310355*x^13 - 167805809274915*x^12 - 18968470528314790*x^11 + 27514154918425942*x^10 + 499106416403648175*x^9 - 1134379073442882225*x^8 - 6853500138332825725*x^7 + 20399730914876360265*x^6 + 37173715758686750029*x^5 - 147538257096294486000*x^4 - 4979093806744954890*x^3 + 246479720085716115620*x^2 - 27919634273568079160*x - 86339316834042614143)
 
gp: K = bnfinit(x^25 - 1510*x^23 - 3775*x^22 + 886370*x^21 + 3018339*x^20 - 270641075*x^19 - 841263280*x^18 + 49405022580*x^17 + 105209320215*x^16 - 5707780707485*x^15 - 4894370697225*x^14 + 419257369310355*x^13 - 167805809274915*x^12 - 18968470528314790*x^11 + 27514154918425942*x^10 + 499106416403648175*x^9 - 1134379073442882225*x^8 - 6853500138332825725*x^7 + 20399730914876360265*x^6 + 37173715758686750029*x^5 - 147538257096294486000*x^4 - 4979093806744954890*x^3 + 246479720085716115620*x^2 - 27919634273568079160*x - 86339316834042614143, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{25} - 1510 x^{23} - 3775 x^{22} + 886370 x^{21} + 3018339 x^{20} - 270641075 x^{19} - 841263280 x^{18} + 49405022580 x^{17} + 105209320215 x^{16} - 5707780707485 x^{15} - 4894370697225 x^{14} + 419257369310355 x^{13} - 167805809274915 x^{12} - 18968470528314790 x^{11} + 27514154918425942 x^{10} + 499106416403648175 x^{9} - 1134379073442882225 x^{8} - 6853500138332825725 x^{7} + 20399730914876360265 x^{6} + 37173715758686750029 x^{5} - 147538257096294486000 x^{4} - 4979093806744954890 x^{3} + 246479720085716115620 x^{2} - 27919634273568079160 x - 86339316834042614143 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $25$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[25, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(179575427285891034426038718238151945439156258996386904982500709593296051025390625=5^{40}\cdot 151^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1622.44$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 151$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(3775=5^{2}\cdot 151\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{3775}(1,·)$, $\chi_{3775}(2626,·)$, $\chi_{3775}(2691,·)$, $\chi_{3775}(2436,·)$, $\chi_{3775}(1286,·)$, $\chi_{3775}(1031,·)$, $\chi_{3775}(841,·)$, $\chi_{3775}(2186,·)$, $\chi_{3775}(1356,·)$, $\chi_{3775}(3281,·)$, $\chi_{3775}(1876,·)$, $\chi_{3775}(3221,·)$, $\chi_{3775}(346,·)$, $\chi_{3775}(731,·)$, $\chi_{3775}(91,·)$, $\chi_{3775}(2596,·)$, $\chi_{3775}(2726,·)$, $\chi_{3775}(2086,·)$, $\chi_{3775}(2346,·)$, $\chi_{3775}(1906,·)$, $\chi_{3775}(3571,·)$, $\chi_{3775}(1076,·)$, $\chi_{3775}(1141,·)$, $\chi_{3775}(311,·)$, $\chi_{3775}(3541,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{46} a^{15} + \frac{2}{23} a^{14} - \frac{10}{23} a^{13} + \frac{6}{23} a^{12} - \frac{1}{23} a^{11} - \frac{9}{23} a^{10} + \frac{7}{23} a^{9} - \frac{3}{23} a^{8} + \frac{1}{46} a^{7} + \frac{9}{23} a^{6} - \frac{4}{23} a^{5} + \frac{6}{23} a^{4} + \frac{17}{46} a^{3} - \frac{11}{23} a^{2} - \frac{3}{46} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{46} a^{16} + \frac{5}{23} a^{14} - \frac{2}{23} a^{12} - \frac{5}{23} a^{11} - \frac{3}{23} a^{10} - \frac{8}{23} a^{9} - \frac{21}{46} a^{8} + \frac{7}{23} a^{7} + \frac{6}{23} a^{6} - \frac{1}{23} a^{5} + \frac{15}{46} a^{4} + \frac{1}{23} a^{3} - \frac{7}{46} a^{2} - \frac{11}{46} a$, $\frac{1}{46} a^{17} + \frac{3}{23} a^{14} + \frac{6}{23} a^{13} + \frac{4}{23} a^{12} + \frac{7}{23} a^{11} - \frac{10}{23} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{9}{23} a^{8} + \frac{1}{23} a^{7} + \frac{1}{23} a^{6} + \frac{3}{46} a^{5} + \frac{10}{23} a^{4} + \frac{7}{46} a^{3} - \frac{21}{46} a^{2} - \frac{8}{23} a$, $\frac{1}{46} a^{18} - \frac{6}{23} a^{14} - \frac{5}{23} a^{13} - \frac{6}{23} a^{12} - \frac{4}{23} a^{11} - \frac{7}{46} a^{10} - \frac{5}{23} a^{9} - \frac{4}{23} a^{8} - \frac{2}{23} a^{7} - \frac{13}{46} a^{6} + \frac{11}{23} a^{5} - \frac{19}{46} a^{4} + \frac{15}{46} a^{3} - \frac{11}{23} a^{2} + \frac{9}{23} a$, $\frac{1}{46} a^{19} - \frac{4}{23} a^{14} - \frac{11}{23} a^{13} - \frac{1}{23} a^{12} + \frac{15}{46} a^{11} + \frac{2}{23} a^{10} + \frac{11}{23} a^{9} + \frac{8}{23} a^{8} - \frac{1}{46} a^{7} + \frac{4}{23} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} + \frac{21}{46} a^{4} - \frac{1}{23} a^{3} - \frac{8}{23} a^{2} + \frac{5}{23} a$, $\frac{1}{46} a^{20} + \frac{5}{23} a^{14} + \frac{11}{23} a^{13} + \frac{19}{46} a^{12} - \frac{6}{23} a^{11} + \frac{8}{23} a^{10} - \frac{5}{23} a^{9} - \frac{3}{46} a^{8} + \frac{8}{23} a^{7} - \frac{17}{46} a^{6} + \frac{3}{46} a^{5} + \frac{1}{23} a^{4} - \frac{9}{23} a^{3} + \frac{9}{23} a^{2} + \frac{11}{23} a$, $\frac{1}{46} a^{21} - \frac{9}{23} a^{14} - \frac{11}{46} a^{13} + \frac{3}{23} a^{12} - \frac{5}{23} a^{11} - \frac{7}{23} a^{10} - \frac{5}{46} a^{9} - \frac{8}{23} a^{8} + \frac{19}{46} a^{7} + \frac{7}{46} a^{6} - \frac{5}{23} a^{5} - \frac{7}{23} a^{3} + \frac{6}{23} a^{2} - \frac{8}{23} a$, $\frac{1}{46} a^{22} + \frac{15}{46} a^{14} + \frac{7}{23} a^{13} + \frac{11}{23} a^{12} - \frac{2}{23} a^{11} - \frac{7}{46} a^{10} + \frac{3}{23} a^{9} + \frac{3}{46} a^{8} - \frac{21}{46} a^{7} - \frac{4}{23} a^{6} - \frac{3}{23} a^{5} + \frac{9}{23} a^{4} - \frac{2}{23} a^{3} + \frac{1}{23} a^{2} - \frac{4}{23} a$, $\frac{1}{119554} a^{23} + \frac{627}{59777} a^{22} + \frac{513}{59777} a^{21} - \frac{251}{59777} a^{20} + \frac{252}{59777} a^{19} + \frac{163}{119554} a^{18} + \frac{501}{119554} a^{17} - \frac{275}{119554} a^{16} - \frac{379}{119554} a^{15} + \frac{3}{529} a^{14} - \frac{21155}{59777} a^{13} - \frac{14767}{59777} a^{12} - \frac{52941}{119554} a^{11} - \frac{19289}{119554} a^{10} - \frac{20307}{59777} a^{9} + \frac{3474}{59777} a^{8} + \frac{17570}{59777} a^{7} - \frac{58333}{119554} a^{6} + \frac{10035}{119554} a^{5} + \frac{19410}{59777} a^{4} - \frac{11728}{59777} a^{3} - \frac{11733}{59777} a^{2} + \frac{2141}{5198} a + \frac{30}{113}$, $\frac{1}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{24} - \frac{166803071100461565426017520153965845379741018629002901501612544727036443199426819134999445428423121019219600033821810321102317884179622410481278620990952515807477119669989479475416069263142348137523211665526871451}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{23} - \frac{166219908698000180498783348053018520330710571974985518164831292953037284497260652747498258500524314777506782696787802270705421118595483770294621664419843702146662437463865484241159707789659655535846846044711518458329}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{22} - \frac{1510718810122741774398350061217096071181065130421069225533075059664547659293118968737862528527045314431582902228672365260299383432748353230350254872281575111166188501807676867349329209894586935873937044323198114261071}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{21} + \frac{28441039588512424642583611215310368204441935685652568631295186326067769923971014459458306473275819770329112078218088107636086743903901263548737271123090207589342035494709300496268731651086829331050976262212830143083}{3535663633495625292069628503161643823719175075552964287764797413194327058419678568366277155076731622017937182034568963438577307383217638968886752719712532331573055205850720107946458083499699867314629244044038027343909} a^{20} + \frac{754891061056125103377093651406508478738246751763313758172821513693832608050301519521056247565513307762434697367815733608787060722739710533653600434743396376691794780728798923459963406393620961558557921488669208825420}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{19} - \frac{1360891997401660394867875051183518746301354122206514362526392347484492779605925779713632687983197892226941150472605554371500931080993787060826810164190867195127348539792919050202684089085279219875003066546401391834793}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{18} - \frac{839312386559131133454543523412965509149885704398954066362187788513351716907120617810337760259143286670887357679274805068520628543070655288785508488936373188280951554730402730615216540148382023995826460790852454422224}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{17} - \frac{305148766789525379529990270430267436280555019477545074637877351761517831043551770829377406215952485542578701691130228531996676728938895477411651046341650954456123185574273552640969564115266616374198896776038075532679}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{16} + \frac{174545924690658335658094702170802836488683203205734195321194836373696597958413255638960864413209684557739498884141749775893680812378400973618615665190282467426060772509209291236796714151494518947384076309421070106340}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{15} - \frac{39864232207616240032650194855255541860742697627460683482087174541618715345001694762192482861308983960576242204675408560767667106336285367720506621560924467176228457880793922564525650512814578895689180316871057387567195}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{14} - \frac{28126220233122553310628548357370285107565785546410716599144000127642923835637658602829072626787350327162695312875772539788575564143643539003448909274690708677261560666643754033444201495972233804660725728070858336834455}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{13} - \frac{79038036008660015550534706466227681442215599714794297058248608964840626875334261419939933450052633669510800862047719265415316003677639218995075138059604384153901943764808690627833625710380301764224373026413404914489843}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{12} + \frac{3927845411681461429148188279225804805398781436373657471922203193727111680945890668244984314633746013406153376266156592582355583863040928544786471407870842075450918464239712214354122712653355705075109131887781208532443}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{11} + \frac{14697346584371241837821582522774149780389996200070175663318109411382350310935780350353962534789162410638047159360270625722906303216690047165781022057525549097478891659543187805564178348390770353185341992639338824093066}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{10} + \frac{9071728753245439374759054459704590053408955865757645998258416882315331154921777885615791714576993479322198269909842209005552552215199911476952031281906804830274453197297769725756559153043173191684806534837316951464333}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{9} + \frac{29564053971033283717368494962774861152564746452462957286625536972179465636877262251314481341907176696198861374469111043008296777452526906619117303706194316205581886991091971326789802094301371467939216681852058422537291}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{8} + \frac{48357643254170552562047892256201974123896586984797625169314577361371375007674157575288534135050908851391904850406191932275245334287071037158276729554383292983757258311493388258559525060732594411626836920328147393653151}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{7} + \frac{8677350140422108747465433950833513692425302731076633388029410280705817147662304491355623884221007704589137600951118258708626558149723085721978668207764509715576338878290528142588470729428289859929625039036001526775516}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{6} - \frac{11216744516524219321057125631110516978909932163125132965436407395150035624412998469754804664437134218134679170405688486184484710892179359577554340527429602119491516614946333289845452817483122081326487191624043772083227}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{5} + \frac{11624362909601581873461220788612796033139159294803285685678779577289231921321017969766252506793654840205371577752550923301034378465944474546860205620197107202157260936308873270524770009884874212970277061544268957454849}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{4} - \frac{28502241230554969568322801780061720988885858314733945291476179145929080640551333095086789383592470267586781609106381108050109225958862638113752553130766393624365662461735335377604063839216890356217139463417895531751233}{162640527140798763435202911145435615891082053475436357237180681006939044687305214144848749133529654612825110373590172318174556139628011392568790625106776487252360539469133124965537071840986193896472945226025749257819814} a^{3} + \frac{17514144683734169451344860000109899084670993144431712530200296805384267279953160968351171100835940959493346187066301128388800035473652905697965231389668804709241185955317170159304537507218816255749263189424295497132663}{81320263570399381717601455572717807945541026737718178618590340503469522343652607072424374566764827306412555186795086159087278069814005696284395312553388243626180269734566562482768535920493096948236472613012874628909907} a^{2} - \frac{1278924806198448122437334150868367484411515644669292687136380052791992858415807643642995061088934860868974611007140048505112515622637571477835678344899568221251454746304604208647451604436144375070177027842564244582632}{3535663633495625292069628503161643823719175075552964287764797413194327058419678568366277155076731622017937182034568963438577307383217638968886752719712532331573055205850720107946458083499699867314629244044038027343909} a - \frac{19603049016261423773694843798179875850112388524142822930673291533488657376092091731607736653680553187336018155014786076558672938642166259195471752900614783764890475182003476407912831138274883478568748423714014948033}{153724505804157621394331674050506253205181525024041925554991191878014219931290372537664224133770940087736399218894302758199013364487723433429858813900544883981437182863074787302019916673899994231070836697566870754083}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $24$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{25}$ (as 25T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 25
The 25 conjugacy class representatives for $C_{25}$
Character table for $C_{25}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.519885601.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.5.0.1}{5} }^{5}$ $25$ R $25$ $25$ $25$ $25$ ${\href{/LocalNumberField/19.5.0.1}{5} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/23.1.0.1}{1} }^{25}$ $25$ $25$ $25$ $25$ $25$ $25$ $25$ ${\href{/LocalNumberField/59.5.0.1}{5} }^{5}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
151Data not computed