Number field 25.25.1269734648531914468903714880493455422104626762401.1

• Label: 25.25.126...401.1
• Degree: $25$
• Signature: $[25, 0]$
• Discriminant: $1.270\times 10^{48}$
• Root discriminant: \(83.97\)
• Ramified prime: $101$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_{25}$ (as 25T1)

Normalized defining polynomial

x^25 - x^24 - 48*x^23 + 43*x^22 + 946*x^21 - 752*x^20 - 9993*x^19 + 6962*x^18 + 62052*x^17 - 37341*x^16 - 234195*x^15 + 119366*x^14 + 538390*x^13 - 226505*x^12 - 737819*x^11 + 249907*x^10 + 571793*x^9 - 151052*x^8 - 224456*x^7 + 42136*x^6 + 35494*x^5 - 2561*x^4 - 1633*x^3 + 57*x^2 + 19*x - 1

Invariants

Degree:		$25$
Signature:		$[25, 0]$
Discriminant:		\(1269734648531914468903714880493455422104626762401\) \(\medspace = 101^{24}\)
Root discriminant:		\(83.97\)
Galois root discriminant:		$101^{24/25}\approx 83.97471118269716$
Ramified primes:		\(101\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$25$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(101\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{101}(1,·)$, $\chi_{101}(68,·)$, $\chi_{101}(5,·)$, $\chi_{101}(71,·)$, $\chi_{101}(78,·)$, $\chi_{101}(79,·)$, $\chi_{101}(16,·)$, $\chi_{101}(81,·)$, $\chi_{101}(19,·)$, $\chi_{101}(84,·)$, $\chi_{101}(87,·)$, $\chi_{101}(24,·)$, $\chi_{101}(25,·)$, $\chi_{101}(92,·)$, $\chi_{101}(31,·)$, $\chi_{101}(80,·)$, $\chi_{101}(36,·)$, $\chi_{101}(37,·)$, $\chi_{101}(97,·)$, $\chi_{101}(52,·)$, $\chi_{101}(54,·)$, $\chi_{101}(56,·)$, $\chi_{101}(88,·)$, $\chi_{101}(58,·)$, $\chi_{101}(95,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{809}a^{23}-\frac{315}{809}a^{22}+\frac{237}{809}a^{21}-\frac{290}{809}a^{20}+\frac{92}{809}a^{19}+\frac{157}{809}a^{18}+\frac{10}{809}a^{17}-\frac{88}{809}a^{16}-\frac{194}{809}a^{15}+\frac{162}{809}a^{14}+\frac{105}{809}a^{13}+\frac{333}{809}a^{12}-\frac{221}{809}a^{11}-\frac{126}{809}a^{10}-\frac{41}{809}a^{9}+\frac{366}{809}a^{8}+\frac{27}{809}a^{7}-\frac{136}{809}a^{6}-\frac{183}{809}a^{5}-\frac{129}{809}a^{4}+\frac{348}{809}a^{3}+\frac{100}{809}a^{2}-\frac{348}{809}a+\frac{133}{809}$, $\frac{1}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a+\frac{33\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$24$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{55\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{80\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a+\frac{14\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{10\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{71\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!59}a+\frac{24\!\cdots\!52}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{34\!\cdots\!44}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!76}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!03}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{80\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!72}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a+\frac{33\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{11\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!82}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a+\frac{58\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{18\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{87\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{80\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!33}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a+\frac{53\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{73\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a+\frac{18\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{10\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!82}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!72}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!72}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a+\frac{21\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{24\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a-\frac{41\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{79\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{71\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{75\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a+\frac{16\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{11\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a+\frac{21\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{21\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!04}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{69\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{67\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!59}a-\frac{18\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{70\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!04}{39\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!59}a-\frac{17\!\cdots\!52}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{82\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{85\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a+\frac{33\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{38\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{86\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!59}a+\frac{45\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{21\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{99\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!33}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!53}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a-\frac{34\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{22\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!59}a+\frac{58\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!59}$, 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$\frac{56\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{95\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!79}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!79}{39\!\cdots\!59}a+\frac{20\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{14\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{88\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!82}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!59}a+\frac{69\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{15\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a+\frac{51\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}$, $a$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 7091595602831931.0 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{25}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 7091595602831931.0 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1269734648531914468903714880493455422104626762401}}\cr\approx \mathstrut & 0.105586251664491 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{25}$ (as 25T1):

A cyclic group of order 25

The 25 conjugacy class representatives for $C_{25}$

Character table for $C_{25}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.104060401.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$25$	$25$	$25$	$25$	$25$	$25$	${\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{5}$	$25$	$25$	$25$	$25$	$25$	${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{5}$	$25$	$25$	$25$	$25$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(101\)		Deg $25$	$25$	$1$	$24$