↑

Properties

Label 25.25.1154816935...0625.1
Degree $25$
Signature $[25, 0]$
Discriminant $5^{40}\cdot 101^{24}$
Root discriminant $1102.81$
Ramified primes $5, 101$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{25}$ (as 25T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-38485766521793272607, 9050213705799566715, 50974370534094620880, -19803963163014939215, -13526430608091887250, 5979479311086497354, 1557503978250126535, -780055746914306825, -95685155058299450, 55859212319178175, 3387202078316558, -2420450112730290, -70461282259010, 66410531601355, 845174650850, -1175552933960, -5485909940, 13422938380, 16710955, -97018075, -16564, 423695, 0, -1010, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^25 - 1010*x^23 + 423695*x^21 - 16564*x^20 - 97018075*x^19 + 16710955*x^18 + 13422938380*x^17 - 5485909940*x^16 - 1175552933960*x^15 + 845174650850*x^14 + 66410531601355*x^13 - 70461282259010*x^12 - 2420450112730290*x^11 + 3387202078316558*x^10 + 55859212319178175*x^9 - 95685155058299450*x^8 - 780055746914306825*x^7 + 1557503978250126535*x^6 + 5979479311086497354*x^5 - 13526430608091887250*x^4 - 19803963163014939215*x^3 + 50974370534094620880*x^2 + 9050213705799566715*x - 38485766521793272607)
 
gp: K = bnfinit(x^25 - 1010*x^23 + 423695*x^21 - 16564*x^20 - 97018075*x^19 + 16710955*x^18 + 13422938380*x^17 - 5485909940*x^16 - 1175552933960*x^15 + 845174650850*x^14 + 66410531601355*x^13 - 70461282259010*x^12 - 2420450112730290*x^11 + 3387202078316558*x^10 + 55859212319178175*x^9 - 95685155058299450*x^8 - 780055746914306825*x^7 + 1557503978250126535*x^6 + 5979479311086497354*x^5 - 13526430608091887250*x^4 - 19803963163014939215*x^3 + 50974370534094620880*x^2 + 9050213705799566715*x - 38485766521793272607, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{25} - 1010 x^{23} + 423695 x^{21} - 16564 x^{20} - 97018075 x^{19} + 16710955 x^{18} + 13422938380 x^{17} - 5485909940 x^{16} - 1175552933960 x^{15} + 845174650850 x^{14} + 66410531601355 x^{13} - 70461282259010 x^{12} - 2420450112730290 x^{11} + 3387202078316558 x^{10} + 55859212319178175 x^{9} - 95685155058299450 x^{8} - 780055746914306825 x^{7} + 1557503978250126535 x^{6} + 5979479311086497354 x^{5} - 13526430608091887250 x^{4} - 19803963163014939215 x^{3} + 50974370534094620880 x^{2} + 9050213705799566715 x - 38485766521793272607 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $25$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[25, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(11548169354972874033626020541245956538701891644459465169347822666168212890625=5^{40}\cdot 101^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1102.81$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 101$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2525=5^{2}\cdot 101\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2525}(896,·)$, $\chi_{2525}(1,·)$, $\chi_{2525}(961,·)$, $\chi_{2525}(1801,·)$, $\chi_{2525}(761,·)$, $\chi_{2525}(1741,·)$, $\chi_{2525}(1551,·)$, $\chi_{2525}(2391,·)$, $\chi_{2525}(281,·)$, $\chi_{2525}(2011,·)$, $\chi_{2525}(221,·)$, $\chi_{2525}(31,·)$, $\chi_{2525}(2016,·)$, $\chi_{2525}(866,·)$, $\chi_{2525}(1896,·)$, $\chi_{2525}(1066,·)$, $\chi_{2525}(686,·)$, $\chi_{2525}(1501,·)$, $\chi_{2525}(1136,·)$, $\chi_{2525}(946,·)$, $\chi_{2525}(106,·)$, $\chi_{2525}(1081,·)$, $\chi_{2525}(1531,·)$, $\chi_{2525}(1596,·)$, $\chi_{2525}(701,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $\frac{1}{163} a^{22} + \frac{77}{163} a^{21} - \frac{61}{163} a^{20} + \frac{24}{163} a^{19} + \frac{36}{163} a^{18} - \frac{9}{163} a^{17} + \frac{72}{163} a^{16} + \frac{66}{163} a^{15} + \frac{54}{163} a^{14} + \frac{52}{163} a^{13} + \frac{64}{163} a^{12} - \frac{45}{163} a^{11} - \frac{44}{163} a^{10} - \frac{51}{163} a^{9} + \frac{51}{163} a^{8} + \frac{6}{163} a^{7} - \frac{25}{163} a^{6} - \frac{11}{163} a^{5} + \frac{41}{163} a^{4} - \frac{12}{163} a^{3} + \frac{28}{163} a^{2} + \frac{80}{163} a + \frac{53}{163}$, $\frac{1}{4481836753} a^{23} - \frac{6998468}{4481836753} a^{22} - \frac{196952005}{4481836753} a^{21} - \frac{1132654312}{4481836753} a^{20} - \frac{1834608422}{4481836753} a^{19} - \frac{305104700}{4481836753} a^{18} - \frac{65221977}{4481836753} a^{17} - \frac{1446612846}{4481836753} a^{16} - \frac{1996864158}{4481836753} a^{15} + \frac{1892904809}{4481836753} a^{14} - \frac{757600409}{4481836753} a^{13} + \frac{1669429008}{4481836753} a^{12} - \frac{2182668064}{4481836753} a^{11} - \frac{2182145959}{4481836753} a^{10} + \frac{410292046}{4481836753} a^{9} - \frac{750319932}{4481836753} a^{8} - \frac{250534310}{4481836753} a^{7} + \frac{187610947}{4481836753} a^{6} - \frac{46997350}{4481836753} a^{5} - \frac{645528295}{4481836753} a^{4} - \frac{692449839}{4481836753} a^{3} + \frac{1758303892}{4481836753} a^{2} + \frac{731787459}{4481836753} a + \frac{1108931}{10645693}$, $\frac{1}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{24} - \frac{1347579890739974618496966539927466999552776377687102599550836253726065902749047432262745631750849788819993404432567849005124236161305445342589609794065744294249278529165595298036622248709889098837441621}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{23} + \frac{15105473554320169949647688329736002010992675668553144838265101520711157410280075144586342539182776973982318497449782679193914070673500942318097751566368587335047540479044508492243040280423266091458575313002779}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{22} - \frac{3630999241420422418828014191133489355282113566598184828392217936969300339323613599491997761619578637754737731751702114710078044466186234298279132613695152812886905022521851940863480747635152938546587315804044852}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{21} - \frac{7246942706121646959522330109637940087745889671297017223592178670629918738878760048614326561769036848437368085179848205517386667694966413650204160920621647468934831945908009398703980721772577741465831434499031035}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{20} + \frac{8788006256873447630528434740567745993243186688445488847731949750454012888985000119155556159806625613527542459639776485017750887777133344768846331843301078057596533127204928356329139138555628049871343129495716580}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{19} - \frac{6008597971663507675423158071702000970554910862037517604863255920131273781105481112840630788713907352280124980156440375096844184651423973572327095902084982979833043497934353099955400195306697670573295855500444685}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{18} + \frac{4954643062429657728373467928811551157336293441152579835038654441173528570228192431174618736017197191258173488822389294756890607523527717977397416699700857783132433437549546062494289381628791905321884162037239253}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{17} - \frac{999327083916639893544287854518529250039251729843868057739566920452787603370633144692132285909195848377678995220367644002776618270170770506169412055588279303827155773761053290990217141398005537821412030375230178}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{16} - \frac{1602990202088449590883515610906996251412619766807392982795708407678271267864505597288587139006290122947275103817911719633847670069616552945902173282594071687669293278174621388375855516232258668837715767120441023}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{15} - \frac{4986248394873591327220815464614506047908404270496835165485847071638229222893772348689049758418864645794264014357347814776558539806241053269520183736360732161969860658851279483853602710766690537921970981726274009}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{14} + \frac{6058765785440141065141384009013517479725203401335587112181858885131098274490616376029328767107034086546096874607785063148187246192672019050832991366267635101592200338864640099169317980250494942674670344104826278}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{13} + \frac{2775484353016617864752407119083206271087095159335925005108435572387131661779218360471356234368460699299804285081656751834186641725943069952010690682674637556908131698424742928536399562591125053002174103331814310}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{12} - \frac{789886464547697895337410301264730852403601041084489411624738320785202424599442863068422206127457008613958979946245785871209727530801142923386166912448591345161770010214426187608930315616417711297701068106448497}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{11} - \frac{2114086368473664497929399636551716151760355271653076108015030613269873064158688083229705681072124532637804620610207164232460259226251789568383085770092598531750592051071616909722980287399472043975643237024576453}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{10} - \frac{1234662427723884765201924132146334719064126530297982616628878418845905303435514857703805261998385683630034863352898895319235980396643164106623496156595803155729858968221736486587089379784458155506256017416631754}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{9} + \frac{1034372338078234439575962147381537177994899514963331199153494873927969013543646275556776200100224446522196647901717359261582408512503991560656981070349591276090869644757543660697115139547245532119306643244115967}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{8} + \frac{8340481573146891046890630139150598561306574847470658174176648032337821399540971489590479653922492198580778890841723584357059278712170977902000707726990422101556964274367494012965476572375697167004747340260958467}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{7} + \frac{43821713299668194566598344544512304757726600474684562544952463286539911249660323690359393259841322261258364097691926780760424110902328404147117827005622245102749670433208016807372668471914392222739380380662945}{109707942640971526763607596180064101004317696077156039894534783460436038726479382187374555986532510366927564975104176535910471076440765380643026811880087326378147778529149474382193212175113958452976324605952833} a^{6} - \frac{5159347710656005996310617040220077588653463307044830512482910416391494613963665803406229860593196663672142486644027659981641628795920008131363890456879907849125857934868939579773823299782548652228045681100881909}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{5} + \frac{755694369882589192530573544713240197130141741367092590338894165629325456576256531330802006903641070003344495883764219904117817686871824879163683779702000264277886341815766297043160685498299747652272341187287080}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{4} + \frac{4798947747126162864612633286878509729097913366677738812945860673244027074716236484929678900647646711228666725076028615514884810333080379209613706888543159025527069241810974741267697933042206191842090431290930627}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{3} + \frac{6096876821690720165002178842367784005151135642979068459164622684805037728549254882054089685327119931500895218690198639293796238661691692764163284975641289827754893169287165454429345684292337790308314735249879958}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a^{2} - \frac{5787193424856711521820753884742732332035530867422059146080420667132726984545186524609619946115668976553439261535898383514079252431369535823807872961724842563688004476897251746824860453603925894321957942314678962}{17882394650478358862468038177350448463703784460576434502809169704051074312416139296542052625804799189809193090941980775353406785459844757044813370336454234199638087900251364324297493584543575227835140910770311779} a - \frac{21032750557354544272998693905783802859575554994727457444919373654851795060941844471566147276309941485623561830972909750012968285752722352942920805065833612425212660453294955587884812187345876063848160121578813}{42475996794485412974983463604157834830650319383792005944914892408672385540180853435966870845142040830900696178009455523404766711306044553550625582746922171495577405938839345188355091649747209567304372709668199}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $24$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{25}$ (as 25T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 25
The 25 conjugacy class representatives for $C_{25}$
Character table for $C_{25}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.104060401.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $25$ $25$ R $25$ $25$ $25$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{5}$ $25$ $25$ $25$ $25$ $25$ ${\href{/LocalNumberField/41.5.0.1}{5} }^{5}$ $25$ $25$ $25$ $25$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
101Data not computed