LMFDB - Number field 25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232)

gp: K = bnfinit(y^25 - 6*y^24 - 11*y^23 + 373*y^22 - 2123*y^21 + 6909*y^20 - 14504*y^19 + 11689*y^18 + 26637*y^17 - 134028*y^16 + 212769*y^15 - 8645*y^14 - 228977*y^13 + 2110377*y^12 + 2314970*y^11 + 6611519*y^10 + 25497478*y^9 + 45079364*y^8 + 81358720*y^7 + 135641936*y^6 + 134356064*y^5 + 105811904*y^4 + 91282176*y^3 + 70338560*y^2 + 75878400*y + 47071232, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232)

$ x^{25} - 6 x^{24} - 11 x^{23} + 373 x^{22} - 2123 x^{21} + 6909 x^{20} - 14504 x^{19} + 11689 x^{18} + \cdots + 47071232 $ x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$25$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[1, 12]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$12594008714591324159904490763426952893783035367521$ 12594008714591324159904490763426952893783035367521 $\medspace = 11^{20}\cdot 227^{12}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$92.05$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$11^{4/5}227^{1/2}\approx 102.59520810120945$
Ramified primes:	$11$, $227$ 11, 227	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$1$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{8}a^{10}-\frac{1}{8}a^{9}-\frac{1}{8}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}$, $\frac{1}{16}a^{11}-\frac{1}{16}a^{10}-\frac{1}{8}a^{8}-\frac{1}{8}a^{7}-\frac{3}{16}a^{5}-\frac{1}{16}a^{4}$, $\frac{1}{16}a^{12}-\frac{1}{16}a^{10}-\frac{1}{8}a^{9}-\frac{1}{8}a^{7}+\frac{1}{16}a^{6}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{16}a^{13}-\frac{1}{16}a^{10}-\frac{1}{8}a^{9}-\frac{1}{16}a^{7}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{160}a^{14}+\frac{1}{160}a^{13}+\frac{1}{40}a^{12}-\frac{3}{160}a^{11}+\frac{1}{160}a^{10}+\frac{3}{40}a^{9}+\frac{7}{160}a^{8}-\frac{17}{160}a^{7}-\frac{1}{8}a^{6}+\frac{19}{160}a^{5}+\frac{7}{160}a^{4}+\frac{1}{40}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{20}a+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{160}a^{15}+\frac{3}{160}a^{13}+\frac{3}{160}a^{12}+\frac{1}{40}a^{11}+\frac{1}{160}a^{10}+\frac{3}{32}a^{9}+\frac{1}{10}a^{8}+\frac{17}{160}a^{7}+\frac{9}{160}a^{6}-\frac{3}{40}a^{5}+\frac{27}{160}a^{4}-\frac{1}{40}a^{3}+\frac{9}{20}a^{2}+\frac{9}{20}a-\frac{2}{5}$, $\frac{1}{320}a^{16}-\frac{1}{320}a^{14}-\frac{1}{320}a^{13}+\frac{1}{40}a^{12}-\frac{7}{320}a^{11}+\frac{11}{320}a^{10}-\frac{1}{10}a^{9}+\frac{29}{320}a^{8}-\frac{3}{320}a^{7}+\frac{1}{40}a^{6}-\frac{69}{320}a^{5}+\frac{3}{20}a^{4}-\frac{9}{20}a^{3}+\frac{19}{40}a^{2}+\frac{2}{5}a+\frac{1}{5}$, $\frac{1}{320}a^{17}-\frac{1}{320}a^{15}-\frac{1}{320}a^{14}+\frac{1}{40}a^{13}-\frac{7}{320}a^{12}-\frac{9}{320}a^{11}-\frac{3}{80}a^{10}+\frac{29}{320}a^{9}+\frac{37}{320}a^{8}-\frac{1}{10}a^{7}+\frac{11}{320}a^{6}-\frac{13}{80}a^{5}-\frac{11}{80}a^{4}-\frac{11}{40}a^{3}-\frac{1}{10}a^{2}-\frac{3}{10}a$, $\frac{1}{1280}a^{18}+\frac{1}{1280}a^{17}+\frac{1}{1280}a^{16}+\frac{1}{640}a^{15}+\frac{1}{1280}a^{14}+\frac{27}{1280}a^{13}-\frac{3}{160}a^{12}+\frac{13}{1280}a^{11}-\frac{21}{1280}a^{10}+\frac{67}{640}a^{9}+\frac{139}{1280}a^{8}+\frac{9}{1280}a^{7}-\frac{9}{1280}a^{6}-\frac{89}{640}a^{5}+\frac{23}{160}a^{4}-\frac{1}{32}a^{3}-\frac{31}{80}a^{2}+\frac{1}{4}a+\frac{1}{5}$, $\frac{1}{1280}a^{19}+\frac{1}{1280}a^{16}-\frac{1}{1280}a^{15}+\frac{1}{640}a^{14}+\frac{1}{256}a^{13}+\frac{21}{1280}a^{12}+\frac{19}{640}a^{11}-\frac{29}{1280}a^{10}+\frac{37}{1280}a^{9}+\frac{11}{640}a^{8}+\frac{15}{128}a^{7}+\frac{71}{1280}a^{6}-\frac{47}{640}a^{5}+\frac{31}{160}a^{4}+\frac{31}{160}a^{3}-\frac{29}{80}a^{2}-\frac{2}{5}a-\frac{2}{5}$, $\frac{1}{33280}a^{20}+\frac{1}{3328}a^{19}+\frac{1}{3328}a^{18}+\frac{3}{33280}a^{17}+\frac{27}{33280}a^{16}+\frac{3}{8320}a^{15}-\frac{1}{6656}a^{14}+\frac{73}{6656}a^{13}-\frac{77}{4160}a^{12}+\frac{165}{6656}a^{11}+\frac{2073}{33280}a^{10}+\frac{681}{8320}a^{9}+\frac{181}{4160}a^{8}-\frac{1243}{33280}a^{7}-\frac{125}{3328}a^{6}-\frac{379}{4160}a^{5}-\frac{539}{4160}a^{4}-\frac{179}{416}a^{3}+\frac{29}{130}a^{2}+\frac{17}{65}a-\frac{1}{5}$, $\frac{1}{1131520}a^{21}-\frac{3}{1131520}a^{20}-\frac{69}{282880}a^{19}-\frac{231}{1131520}a^{18}+\frac{15}{56576}a^{17}-\frac{599}{1131520}a^{16}+\frac{623}{226304}a^{15}-\frac{165}{113152}a^{14}-\frac{16437}{1131520}a^{13}-\frac{19819}{1131520}a^{12}+\frac{801}{282880}a^{11}-\frac{67853}{1131520}a^{10}-\frac{9413}{141440}a^{9}+\frac{729}{226304}a^{8}-\frac{9207}{226304}a^{7}+\frac{3511}{113152}a^{6}+\frac{12331}{141440}a^{5}+\frac{3581}{28288}a^{4}-\frac{3971}{14144}a^{3}+\frac{3529}{17680}a^{2}+\frac{15}{34}a+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{2263040}a^{22}-\frac{1}{2263040}a^{21}-\frac{1}{226304}a^{20}-\frac{11}{34816}a^{19}-\frac{47}{1131520}a^{18}+\frac{1701}{2263040}a^{17}-\frac{623}{452608}a^{16}-\frac{677}{282880}a^{15}+\frac{163}{133120}a^{14}+\frac{831}{452608}a^{13}+\frac{13369}{1131520}a^{12}+\frac{227}{174080}a^{11}-\frac{1457}{87040}a^{10}+\frac{136937}{2263040}a^{9}+\frac{80187}{2263040}a^{8}-\frac{4769}{113152}a^{7}-\frac{3937}{43520}a^{6}+\frac{12851}{282880}a^{5}+\frac{2071}{35360}a^{4}+\frac{5893}{14144}a^{3}-\frac{5}{16}a^{2}-\frac{409}{884}a+\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5888905318400}a^{23}-\frac{3361}{79579801600}a^{22}+\frac{175391}{452992716800}a^{21}-\frac{83656509}{5888905318400}a^{20}-\frac{28253707}{235556212736}a^{19}+\frac{1663711991}{5888905318400}a^{18}+\frac{441579711}{736113164800}a^{17}+\frac{3364323687}{5888905318400}a^{16}+\frac{15881553247}{5888905318400}a^{15}+\frac{5965315}{29444526592}a^{14}-\frac{104090684557}{5888905318400}a^{13}-\frac{60131789599}{5888905318400}a^{12}+\frac{100165439431}{5888905318400}a^{11}-\frac{17016933613}{452992716800}a^{10}-\frac{202683692863}{2944452659200}a^{9}+\frac{699687738749}{5888905318400}a^{8}-\frac{48250215379}{1472226329600}a^{7}+\frac{1043706611}{17320309760}a^{6}-\frac{159530451189}{736113164800}a^{5}+\frac{2209749501}{11501768200}a^{4}-\frac{4438848533}{184028291200}a^{3}-\frac{5859437349}{23003536400}a^{2}-\frac{67571327}{442375700}a+\frac{294901}{1000850}$, $\frac{1}{35\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!13}{70\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!51}{88\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!83}{70\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!25}a-\frac{16\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!00}$ 1, a, a^2, a^3, 1/2*a^4 - 1/2*a, 1/2*a^5 - 1/2*a^2, 1/4*a^6 - 1/4*a^5 + 1/4*a^3 - 1/4*a^2, 1/4*a^7 - 1/4*a^5 - 1/4*a^4 - 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/4*a^8 - 1/4*a^2, 1/4*a^9 - 1/4*a^3, 1/8*a^10 - 1/8*a^9 - 1/8*a^4 + 1/8*a^3, 1/16*a^11 - 1/16*a^10 - 1/8*a^8 - 1/8*a^7 - 3/16*a^5 - 1/16*a^4, 1/16*a^12 - 1/16*a^10 - 1/8*a^9 - 1/8*a^7 + 1/16*a^6 - 1/16*a^4 + 1/4*a^3, 1/16*a^13 - 1/16*a^10 - 1/8*a^9 - 1/16*a^7 - 1/4*a^5 + 1/16*a^4 + 1/8*a^3 - 1/4*a^2, 1/160*a^14 + 1/160*a^13 + 1/40*a^12 - 3/160*a^11 + 1/160*a^10 + 3/40*a^9 + 7/160*a^8 - 17/160*a^7 - 1/8*a^6 + 19/160*a^5 + 7/160*a^4 + 1/40*a^3 + 1/4*a^2 - 1/20*a + 2/5, 1/160*a^15 + 3/160*a^13 + 3/160*a^12 + 1/40*a^11 + 1/160*a^10 + 3/32*a^9 + 1/10*a^8 + 17/160*a^7 + 9/160*a^6 - 3/40*a^5 + 27/160*a^4 - 1/40*a^3 + 9/20*a^2 + 9/20*a - 2/5, 1/320*a^16 - 1/320*a^14 - 1/320*a^13 + 1/40*a^12 - 7/320*a^11 + 11/320*a^10 - 1/10*a^9 + 29/320*a^8 - 3/320*a^7 + 1/40*a^6 - 69/320*a^5 + 3/20*a^4 - 9/20*a^3 + 19/40*a^2 + 2/5*a + 1/5, 1/320*a^17 - 1/320*a^15 - 1/320*a^14 + 1/40*a^13 - 7/320*a^12 - 9/320*a^11 - 3/80*a^10 + 29/320*a^9 + 37/320*a^8 - 1/10*a^7 + 11/320*a^6 - 13/80*a^5 - 11/80*a^4 - 11/40*a^3 - 1/10*a^2 - 3/10*a, 1/1280*a^18 + 1/1280*a^17 + 1/1280*a^16 + 1/640*a^15 + 1/1280*a^14 + 27/1280*a^13 - 3/160*a^12 + 13/1280*a^11 - 21/1280*a^10 + 67/640*a^9 + 139/1280*a^8 + 9/1280*a^7 - 9/1280*a^6 - 89/640*a^5 + 23/160*a^4 - 1/32*a^3 - 31/80*a^2 + 1/4*a + 1/5, 1/1280*a^19 + 1/1280*a^16 - 1/1280*a^15 + 1/640*a^14 + 1/256*a^13 + 21/1280*a^12 + 19/640*a^11 - 29/1280*a^10 + 37/1280*a^9 + 11/640*a^8 + 15/128*a^7 + 71/1280*a^6 - 47/640*a^5 + 31/160*a^4 + 31/160*a^3 - 29/80*a^2 - 2/5*a - 2/5, 1/33280*a^20 + 1/3328*a^19 + 1/3328*a^18 + 3/33280*a^17 + 27/33280*a^16 + 3/8320*a^15 - 1/6656*a^14 + 73/6656*a^13 - 77/4160*a^12 + 165/6656*a^11 + 2073/33280*a^10 + 681/8320*a^9 + 181/4160*a^8 - 1243/33280*a^7 - 125/3328*a^6 - 379/4160*a^5 - 539/4160*a^4 - 179/416*a^3 + 29/130*a^2 + 17/65*a - 1/5, 1/1131520*a^21 - 3/1131520*a^20 - 69/282880*a^19 - 231/1131520*a^18 + 15/56576*a^17 - 599/1131520*a^16 + 623/226304*a^15 - 165/113152*a^14 - 16437/1131520*a^13 - 19819/1131520*a^12 + 801/282880*a^11 - 67853/1131520*a^10 - 9413/141440*a^9 + 729/226304*a^8 - 9207/226304*a^7 + 3511/113152*a^6 + 12331/141440*a^5 + 3581/28288*a^4 - 3971/14144*a^3 + 3529/17680*a^2 + 15/34*a + 2/5, 1/2263040*a^22 - 1/2263040*a^21 - 1/226304*a^20 - 11/34816*a^19 - 47/1131520*a^18 + 1701/2263040*a^17 - 623/452608*a^16 - 677/282880*a^15 + 163/133120*a^14 + 831/452608*a^13 + 13369/1131520*a^12 + 227/174080*a^11 - 1457/87040*a^10 + 136937/2263040*a^9 + 80187/2263040*a^8 - 4769/113152*a^7 - 3937/43520*a^6 + 12851/282880*a^5 + 2071/35360*a^4 + 5893/14144*a^3 - 5/16*a^2 - 409/884*a + 1/5, 1/5888905318400*a^23 - 3361/79579801600*a^22 + 175391/452992716800*a^21 - 83656509/5888905318400*a^20 - 28253707/235556212736*a^19 + 1663711991/5888905318400*a^18 + 441579711/736113164800*a^17 + 3364323687/5888905318400*a^16 + 15881553247/5888905318400*a^15 + 5965315/29444526592*a^14 - 104090684557/5888905318400*a^13 - 60131789599/5888905318400*a^12 + 100165439431/5888905318400*a^11 - 17016933613/452992716800*a^10 - 202683692863/2944452659200*a^9 + 699687738749/5888905318400*a^8 - 48250215379/1472226329600*a^7 + 1043706611/17320309760*a^6 - 159530451189/736113164800*a^5 + 2209749501/11501768200*a^4 - 4438848533/184028291200*a^3 - 5859437349/23003536400*a^2 - 67571327/442375700*a + 294901/1000850, 1/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^24 - 13373934906629598928991686853714994179338253/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800*a^23 + 58738350182265315318454092990042132103159431766261/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^22 + 15859406045756503774360437239338421085442960065013/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520*a^21 - 412544828916601303625344640264706943194348801626847/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^20 - 121383436949170206700131954596484682279756167976520639/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^19 - 14111035880437268559111406694786699015131614398701751/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400*a^18 - 17814740491789201881153335235569085334863371874129643/27111951017007698851895295377843183516809054868904755200*a^17 - 216173588425436127009684322844386465985083760900549087/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^16 + 46838012093131429540132691919904460068353116514816271/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600*a^15 + 146352821325732189438973931062147404335339365164137993/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^14 + 1268555122076849164646288813153137821541783914576011283/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520*a^13 + 10409217555196610735366874252376706928565392551348778179/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^12 - 9615362481485718923736549999916653710564567602956002091/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600*a^11 - 76694500680016180512688836797339223987137707990660737/4762910313798649798305930269080559266466455585077862400*a^10 - 196846866240691621966191702012989510311919925657300063/1580517323861435359079097936824938949410393333164851200*a^9 - 2201682425836955832734840097700310816125463062201875367/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800*a^8 + 10061008632037122503042419507656296298553217720477016963/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400*a^7 - 159355251545272496984580431971413302750839998546920147/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600*a^6 + 5378118884662697887577272828609097618560652367374807461/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600*a^5 - 9249212198722519052683320553313179744430017574164847/129579177654816207748028985261750509455337394594030080*a^4 - 1827327200048218699720733313856323413280645562587329163/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400*a^3 + 229033112183865814445041783880299448843702132165397567/688389381291211103661403984203049581481479908780784800*a^2 - 822283980695115954298499172904314639114284234122984/1654782166565411306878374962026561493945865165338425*a - 16649086205137713394940185664684580501549901211/55361937975273251541167268993285820424582101700

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$, $5$

Class group and class number

$C_{5}$, which has order $5$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$12$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{75\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!40}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!37}{54\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!19}{54\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!40}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!89}{80\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!75}a+\frac{10\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!00}$, $\frac{39\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!40}a^{24}-\frac{69\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!49}{54\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!33}{54\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!97}{41\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!91}{54\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!60}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!89}{62\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!75}a+\frac{68\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!00}$, $\frac{88\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!60}a^{23}-\frac{93\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!93}{70\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!73}{70\!\cdots\!20}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!29}{70\!\cdots\!52}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!89}{88\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!73}{86\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!50}a+\frac{14\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!00}$, $\frac{27\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{69\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!51}{70\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!80}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!61}{88\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!43}{88\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!50}a+\frac{33\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!00}$, $\frac{21\!\cdots\!87}{70\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{62\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!43}{70\!\cdots\!52}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{52\!\cdots\!97}{88\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!47}{79\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!83}{88\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!23}{99\!\cdots\!60}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!00}a+\frac{16\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!50}$, $\frac{90\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{69\!\cdots\!81}{70\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!13}{88\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!69}{70\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{74\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!72}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!21}{55\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!00}a+\frac{29\!\cdots\!17}{29\!\cdots\!00}$, $\frac{20\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{78\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!76}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!80}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!99}{68\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!25}a+\frac{11\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!40}$, $\frac{46\!\cdots\!87}{70\!\cdots\!20}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!00}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{66\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!59}{70\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!73}{88\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!80}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!09}{55\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{97\!\cdots\!83}{66\!\cdots\!00}a+\frac{68\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!00}$, $\frac{31\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{88\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!47}{88\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!77}{33\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!49}{88\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!01}{66\!\cdots\!70}a+\frac{93\!\cdots\!13}{74\!\cdots\!25}$, $\frac{17\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{42\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{51\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!61}{70\!\cdots\!52}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!33}{88\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!80}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!49}{79\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!21}{88\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!93}{68\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!13}{66\!\cdots\!00}a+\frac{14\!\cdots\!19}{29\!\cdots\!97}$, $\frac{19\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{68\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!00}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!60}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{80\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!09}{88\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!67}{79\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!93}{88\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!25}a+\frac{62\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!50}$, $\frac{22\!\cdots\!59}{70\!\cdots\!20}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!51}{70\!\cdots\!52}a^{23}-\frac{75\!\cdots\!37}{70\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!07}{70\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!13}{70\!\cdots\!20}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!04}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!04}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!88}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!47}{70\!\cdots\!20}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!67}{70\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!81}{70\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!23}{70\!\cdots\!20}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!97}{70\!\cdots\!52}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!15}{70\!\cdots\!52}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!80}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!27}{88\!\cdots\!44}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!20}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!36}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!85}a+\frac{84\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!40}$ 75541252103800626200349039721200455163945163/109149213707501927021688245823379280613579173642240a^24 - 1379610583435656800003375846361279295051935251/272873034268754817554220614558448201533947934105600a^23 - 574014776263111093620149124998019514297731837/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^22 + 141757952733562601024219628236611188344844437599/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^21 - 986654171941620895991736299801172236608606585497/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^20 + 777913259682523924524045556887502991578962035387/109149213707501927021688245823379280613579173642240a^19 - 2627798412106605771141184988789853406588955920693/136436517134377408777110307279224100766973967052800a^18 + 17997323134336149290864492050263336777077389467719/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^17 - 1012414022439630166375924611907759081167320791613/41980466810577664239110863778222800235991989862400a^16 - 131278168179220667358217376065441714309088255069/2131820580224647012142348551237876574483968235200a^15 + 24727969258915658943736121162375702118859743043011/109149213707501927021688245823379280613579173642240a^14 - 162401719553530870762711633900738532876268613637511/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^13 + 123171340816113943127414936184122533121981725091893/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^12 + 632306806115755450200187934671680232760354459781683/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^11 + 28358195239427474518811911898115367720904172035669/272873034268754817554220614558448201533947934105600a^10 + 10710033578298270910989283084545585181546652092919/2447291787163720336809153493797741717793255014400a^9 + 3223179691501616735084446268079405723928521829078151/272873034268754817554220614558448201533947934105600a^8 + 125296568861159026568168820934179802405159552699989/8025677478492788751594723957601417692174939238400a^7 + 239350019551935943495274671929342110252762895265067/6821825856718870438855515363961205038348698352640a^6 + 1586176536253839941844670622090662467533143018774299/34109129283594352194277576819806025191743491763200a^5 + 510786780211772825020081498903787819693921476832323/17054564641797176097138788409903012595871745881600a^4 + 258662053886558947204291407791343275197127052413563/8527282320898588048569394204951506297935872940800a^3 + 21878548474785749696374283762642801083557836761429/1065910290112323506071174275618938287241984117600a^2 + 54422860263985510714197648150888047734689290154/2562284351231546889594168931776293959716307975a + 1059498118421680239031727354822031335583703079/46376187352607183522066406005000795650973900, 39850974556784902866210560196546836860302791/109149213707501927021688245823379280613579173642240a^24 - 698138367704783065224006530223312711848538297/272873034268754817554220614558448201533947934105600a^23 - 779026169770158832456433819606006180818480049/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^22 + 75066283212098737995278951506234643776061979223/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^21 - 498679467992186100343643360095843915495616160329/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^20 + 376263404279233516058619548898124432513024393387/109149213707501927021688245823379280613579173642240a^19 - 299998191217872155409235053537496622373880344769/34109129283594352194277576819806025191743491763200a^18 + 7219403165627207307764110069890040812246801780603/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^17 - 2101878538159613133973301701486186364651804722433/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^16 - 164966104324975902662079473006553651386936235171/3687473436064254291273251548087137858566863974400a^15 + 2684710668130940338086578936616272933514324776939/21829842741500385404337649164675856122715834728448a^14 - 70622641631121252991880634460197566995495179171047/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^13 + 2190929670333930604283185202749586538787667582297/41980466810577664239110863778222800235991989862400a^12 + 389405758857884125350605032979063978581347600024891/545746068537509635108441229116896403067895868211200a^11 + 33197823545591095976064622357808801179361159851443/272873034268754817554220614558448201533947934105600a^10 + 5713763559315600189443346658000306332655580285283/2447291787163720336809153493797741717793255014400a^9 + 1893031732170418951925535095070327964488856639520277/272873034268754817554220614558448201533947934105600a^8 + 1300502750049089473026034349580403667839949256248281/136436517134377408777110307279224100766973967052800a^7 + 34795420547547562134325844826774970750620819836399/1705456464179717609713878840990301259587174588160a^6 + 994171207019385195568106142783029286730054611071493/34109129283594352194277576819806025191743491763200a^5 + 26550106567985589725641617588622689679804236285367/1311889587830552007472214493069462507374749683200a^4 + 341815322491136764935000603424734728905894316881/17728237673385837938813709365803547396956076800a^3 + 829345952513727388796081954186294037868917960189/62700605300724912121833780918761075720116712800a^2 + 28985708333307289552759394192052543305045594388/2562284351231546889594168931776293959716307975a + 689445651974700007023485891623801724370829713/46376187352607183522066406005000795650973900, 8885334422164580292255217586270896294579106796891/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^24 + 7615304962195966423846462928197364741715012369799/35245536322110008507463883991196138571851771329576181760a^23 - 938968023638520850692907012823445477598318589250633/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^22 + 1910358153265181813508070542502546632125137785092503/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^21 + 32450964667454588253080638361245401189995844681756439/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^20 - 232613911184256577481583232585896013172083843085276169/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^19 + 94322628196605366391786321805609361304092807746940099/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^18 - 1417484436777075347330348159447418548965923170616341101/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^17 + 8120657886216776424440141062218026515737632334835103/5422390203401539770379059075568636703361810973780951040a^16 + 28414509776646113997119513908590374743642661498072751/2381455156899324899152965134540279633233227792538931200a^15 - 13598369572151927078588851998259188360570236937173807637/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^14 + 13772398558932801487870793103881659462509863594488882953/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^13 + 5745122356683971450453017266994808508656437302929542593/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^12 - 5446217806646852322144021556174752792429005666847514673/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^11 + 79056503403304835680432524986188636693850110757022090639/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^10 + 370820434662408764426220524215802660340359368652678959/316103464772287071815819587364987789882078666632970240a^9 + 12309066439198140427615908212511510942039925876760052929/7049107264422001701492776798239227714370354265915236352a^8 + 522482433644719655519264389580903448483644320422022484789/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^7 + 1025317534505690735338819971068703213439568398598716773/86048672661401387957675498025381197685184988597598100a^6 + 290670066321507013405761102180995693980393556795627205449/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600a^5 + 137245569605676082242421336275751618421787219733482042671/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^4 + 1670878114366005422416134520705214640833901708611736709/148840947306207806197060320908767477077076737033683200a^3 + 1373878403770378806919511492199897010011048822863054421/137677876258242220732280796840609916296295981756156960a^2 + 31467467410541866712823591596874214035548960816808433/3309564333130822613756749924053122987891730330676850a + 142139676385741053730254069712701104668020844705537/29950808444622829083771492525367628849698917019700, 2769331723691273119240417268753897845901455392276109/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^24 - 696098720097276805886642992085660091874885337210483/13555975508503849425947647688921591758404527434452377600a^23 - 4447106760529087230728147466086983669576807394140451/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^22 + 1052621875796418993994601696128499208251220660900882553/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^21 - 6417565782266227583637199107424278264317373027871066807/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^20 + 22015050855051150256015938038217260209753984635857696329/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^19 - 9620485663535772830031402584871455725191241580187973/68838938129121110366140398420304958148147990878078480a^18 + 51988343302049311681725791746317885781831569241711462597/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^17 + 53090644627175745742131373859002921887044231056057675409/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^16 - 94849016702213327514601358336877759047890536943677877861/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^15 + 53791200327403311344365078570750397578814980723539975809/27111951017007698851895295377843183516809054868904755200a^14 - 222677119053935223356744100811501540820021793047394479977/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^13 - 486414514564757930373359870512278717045924174153892994053/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^12 + 5206077491245699120412819403560111953600920241468831925157/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^11 + 2490901205781978496534305232914792450025908878003557581077/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^10 + 58314292346031750374918278044768777005692214405767716061/1580517323861435359079097936824938949410393333164851200a^9 + 27645752242050190332635959473572334111477396548634596066219/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^8 + 23386750579841376262437933513021934022130505057903310724643/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^7 + 4143250565359063911689153529011549780290439541676633547281/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^6 + 14006905864360358980012020329791535056781195172057392063307/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600a^5 + 5195758870378242793192995983083993262542942582815873483281/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^4 + 11924294383350875541959639606602049107574853722454558099/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^3 + 153082198531848874824141198044473594598396665865831017101/688389381291211103661403984203049581481479908780784800a^2 + 1343724689303223583925772016803479365378684025824482069/3309564333130822613756749924053122987891730330676850a + 3304811216471118703157888249619665995376843098825139/29950808444622829083771492525367628849698917019700, 218487018288600373575983360256705158143118119763287/7049107264422001701492776798239227714370354265915236352a^24 - 19807085194585527414630784604120655533915393423730463/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^23 - 626772227038752152977922518411989267193240712559453/10366334212385296619842318820940040756426991567522406400a^22 + 2051702450693962007451234698745760316862225141327420727/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^21 - 382763858228377349090227394711946121677552135462825093/4762910313798649798305930269080559266466455585077862400a^20 + 651812679454789695270440460890975558281093627622908131/2073266842477059323968463764188008151285398313504481280a^19 - 37070991334427363845493482577572252411644103236534046039/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^18 + 248851235284403273990067362254602783921612355567248298887/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^17 - 165885921170529826495191864636755394643253209270862090097/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^16 - 65048079543080822252441906505741798656911302685933180059/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600a^15 + 72043213065315681326834047645664720206936210691101877943/7049107264422001701492776798239227714370354265915236352a^14 - 2284638185842419836568172178148207915936932429412726662463/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^13 + 1627730534008298827395913637644117916897647857223381792469/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^12 + 9361509376702070539204570483696630723882495647802162023179/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^11 + 526658080301745794228391175849159521319339427189411951497/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^10 + 155148208250021229365850157240351525243990653579632527447/790258661930717679539548968412469474705196666582425600a^9 + 47431778608297120602809028812162360383303467047522771309583/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^8 + 31730466318816178527545497373657135716938333304365454807069/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^7 + 15925171775887851606590008558891092957797583584200640823/9967629050370477519079152712442346881179799584156160a^6 + 23650674479952436998105940470081303404280936017459034574227/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^5 + 7815533374130240086053571210755745074293104639101272846019/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^4 + 3907181519175497219451826232050242352091994956942854460939/2753557525164844414645615936812198325925919635123139200a^3 + 329297315569199959600587690267511241800514017482688314777/344194690645605551830701992101524790740739954390392400a^2 + 6458574876115878772413327059753865827722324150574273671/6619128666261645227513499848106245975783460661353700a + 16556689790826008220941244087569286336948156346308507/14975404222311414541885746262683814424849458509850, 908114427522363139872643327268864695931314834587893/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^24 - 3510999448545059425985921008891914017750871700456829/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^23 + 821954556095733999834502195869205913914287887159513/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^22 + 69393307245722655393594760884952548383676683963297681/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^21 - 2523654097567269149211626316503727689356330484683961411/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^20 + 10125451766955277672889949731764944576635790772310353453/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^19 - 6814858451758300217748258529705490243877818376681134313/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^18 + 45129918569884523672513687764729318051083694993775554133/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^17 - 23343773547178516065284250632332899288409540104881326291/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^16 - 15071292624589708788110863308867880102069883583105406949/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^15 + 387491886736732057902627854026833983966676461788989618989/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^14 - 93186205966841689750520222465934109886817514017411982969/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^13 + 130574571060288361523126166624591252779789991617350143447/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^12 + 1979704867066020513149854694826517192762716315193846141217/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^11 - 484127068394089599383547617994479909737196577667316200917/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^10 + 20208763430516340247567385454268462846048972067286929621/1580517323861435359079097936824938949410393333164851200a^9 + 7454426814477171108020688846406839865117120813400808961809/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^8 + 147665518884451650747168728026371461576471078741905622187/5183167106192648309921159410470020378213495783761203200a^7 + 144574065979241554154817501715748686485944749261874558753/1694496938562981178243455961115198969800565929306547200a^6 + 2722204293552381297116516327256025367668464066605168212653/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600a^5 - 2054115300382000813476739173252457441739743274388067515/440569204026375106343298549889951732148147141619702272a^4 + 176371475697737805476884584121382543086569763473552898121/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^3 + 1749505840743733271767783205452482007517324841933099883/18605118413275975774632540113595934634634592129210400a^2 + 5355396536457253340788766562356417056091684348000391/389360509780096778089029402829779175046085921256100a + 292992394692534298440057599718454311863762828615017/29950808444622829083771492525367628849698917019700, 204100084447731831499492213862480828742900759738893/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^24 - 789375940295261071792449276718753379071309597171071/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^23 + 432608443011458283421121938194776005776020504679889/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^22 + 75830921717082979678313441414131843299245334016785593/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^21 - 3054170903771664990176268964129416585569911068421263/1905164125519459919322372107632223706586582234031144960a^20 + 2369218813067449192104082837797436846379256716297840473/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^19 - 215964380939031425006748511516738310992332041422265723/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^18 + 13654875946539886989813567594250846524055811432826751781/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^17 - 15864962059236209778109594665673297131717704268074393199/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^16 - 56497508197966208936989252653091174965407079714046221/3524553632211000850746388399119613857185177132957618176a^15 + 63847952227613141084310055458153162193841095176291420749/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^14 - 124074861128614746911698759788144950940908405708072324937/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^13 + 168729323466388906952504231632711942101503820118750621883/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^12 + 169265656569367262212414377590511823503155035610949624853/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^11 + 38556490536048607735000662063843251799121440322197716821/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^10 + 5796949616452954425606117244250199923386214281060737949/1580517323861435359079097936824938949410393333164851200a^9 + 102883135050682142466866431609874143981576646046168780167/13555975508503849425947647688921591758404527434452377600a^8 + 209135904686363962830094297090140798724560713762335206411/17622768161055004253731941995598069285925885664788090880a^7 + 129336932421322075832270513372340544577068693960687086281/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^6 + 656178273103179592841934379401126233695727533438700229611/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600a^5 + 165311654749126996742927725875586586249426917869519433861/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^4 + 80336297030779408117302758091236210808341760883895054767/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^3 + 7637730854408597494161709698542653559241669128299434499/688389381291211103661403984203049581481479908780784800a^2 + 22971424081267691782113398565277122553977313811415066/1654782166565411306878374962026561493945865165338425a + 115924565250114864990299022298743655690258312915871/5990161688924565816754298505073525769939783403940, 467455411419354247433959700285535631862368101909687/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^24 - 9235614309539991553349463951684595966943738752759813/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^23 + 6672542436974220412700334316028742897505131634437839/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^22 + 882952681821515688326180516900465157570700421649845167/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^21 - 6656030840985868131407744044873287681516545909719721041/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^20 + 5539384700243579775713787297719517141996263807194661059/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^19 - 749740134781003839917242536700773378937558550361596289/3388993877125962356486911922230397939601131858613094400a^18 + 141159384628890822378789786047701435862952635781521097547/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^17 - 118448885065361146783491839257797083347584066690125087497/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^16 - 53832675253763390595402054620425729820121368837780568573/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^15 + 4922905547124048767817791075857699234032598171012564347/1905164125519459919322372107632223706586582234031144960a^14 - 1259994400098034973624674780147651639688216610537675968463/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^13 + 675280193666851083152314962264687720344807347669132409869/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^12 + 4394595847983586683667526719435255779646796171786079009219/352455363221100085074638839911961385718517713295761817600a^11 - 792134806337938861707025497525958870401876201715978086713/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^10 + 4333509863447717213194779648277901562302957087888720879/121578255681648873775315225909610688416184102551142400a^9 + 18597655507439878205948202272852509145874943296875159663393/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^8 + 40766616911594582817011819056840816993991208915386573089/398705162014819100763166108497693875247191983366246400a^7 + 289729517957534297146475169252553116387517620440516628227/1101423010065937765858246374724879330370367854049255680a^6 + 652090582509700207249481336943303584920313272602197799309/1694496938562981178243455961115198969800565929306547200a^5 + 2728766965853765163194013096789388412224012549849532891559/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^4 + 1491567381751636452444347603107983621725780927963695975609/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^3 + 112182675793794327134920724877217243542041302351006072707/688389381291211103661403984203049581481479908780784800a^2 + 975166363861037323835190195736548247565795667194965883/6619128666261645227513499848106245975783460661353700a + 6842200248407840890622778176204253099231689623929937/29950808444622829083771492525367628849698917019700, 3143266644055293009295960402165730497718190317575997/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^24 - 88801089526248280829544152251999604179265093446601219/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^23 - 849828829824165207727562190797492884376237166897069/847248469281490589121727980557599484900282964653273600a^22 + 4738910082187661251973005287925246027940453589377747087/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^21 - 31730748201125938237564185174934573997915401755061770267/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^20 + 120492369938591793536494636008116364348924452723793204383/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^19 - 309634423875705576009109683044809557685064243797156642763/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^18 + 9451994730293789596640282176930971600236971966385974347/881138408052750212686597099779903464296294283239404544a^17 - 156849249918511907603679956392649900998666927451391905633/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^16 - 1540874755093059883253110537167066584621883884808592463139/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^15 + 58698983956845654497166627411358286167273262605968383731/595363789224831224788241283635069908308306948134732800a^14 - 4733450975685069387608852402807201316949332435528886459493/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^13 + 2077526643037838383351463199727993686927463625155484710451/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^12 + 1885308836422440240732030390041399522536091251899971020777/3388993877125962356486911922230397939601131858613094400a^11 + 556196917438461130335221035502605293028305008758086076549/8811384080527502126865970997799034642962942832394045440a^10 + 22433382781765470368001424883176243168298616567446014783/12347791592667463742805452631444835542268697915350400a^9 + 235562487330943019513138683804036745130453446399830586727389/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^8 + 157343225549317169279666112893726982002646035974117436431621/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600a^7 + 21432964121164002904861283782687279904698306558313078541917/1376778762582422207322807968406099162962959817561569600a^6 + 24328576823244694989847271392115599505516474438108286066621/1101423010065937765858246374724879330370367854049255680a^5 + 40318534997063169371301453540240385609567007631829291392863/2753557525164844414645615936812198325925919635123139200a^4 + 1991864306156453079413270412456535670545544672747682663977/137677876258242220732280796840609916296295981756156960a^3 + 139862020679087624919349459226674964547885712935087388657/13238257332523290455026999696212491951566921322707400a^2 + 5727300694884654887885520806958710971779587609560841501/661912866626164522751349984810624597578346066135370a + 93284080753265650085331971852343810345705983439729913/7487702111155707270942873131341907212424729254925, 17968472580655493985839146794915823204321746865106861/13555975508503849425947647688921591758404527434452377600a^24 - 425329579587795564596669353046432601543826015313074883/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^23 - 388989063922398218177958570212837504261730747083245371/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^22 + 518654021011456465134372815775770397001184548354097727/1042767346807988417380588283763199366031117494957875200a^21 - 24336910743795342120982838113213548646979677887244935261/7049107264422001701492776798239227714370354265915236352a^20 + 2393636055394641830237206767627406822533324156584388696563/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^19 - 3225588338440496020682570642322947668167272959358617778033/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^18 + 10970334177060315507819073798163185662501411855277236913981/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^17 - 7733346906891362107519424515745194994004604808620156483249/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^16 - 2165569569407707592265636870694421333577632797466929398939/17622768161055004253731941995598069285925885664788090880a^15 + 77891569301738945274790157946719735654183551699508906136269/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^14 - 102158419517018815693238183975771127484786852963369580732867/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^13 + 76854027901529459127654447232881773589832336183443545096353/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^12 + 396442913935095626902669474947418765289291101763345193810923/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^11 + 68961697534359273029859405546847835701295477250972200047/423624234640745294560863990278799742450141482326636800a^10 + 6754857358602907052059596172482981279423896185917845076249/790258661930717679539548968412469474705196666582425600a^9 + 59174258308619532502775405239294554380103026664121237391689/2591583553096324154960579705235010189106747891880601600a^8 + 267317981281117735068586863024898908424317847966379786824821/8811384080527502126865970997799034642962942832394045440a^7 + 1514457196089684053847917068053620278225603414857507484018553/22028460201318755317164927494497586607407357080985113600a^6 + 251577322736189029825165861299387367870823662980428084528489/2753557525164844414645615936812198325925919635123139200a^5 + 331584073105823791389306003059239640723506937625708190869681/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^4 + 43060386654580114832162436671921059644454450329495691196793/688389381291211103661403984203049581481479908780784800a^3 + 3480828825459527566311290471018660737260823660398595719641/86048672661401387957675498025381197685184988597598100a^2 + 270295207479244469116542330955678848873113299463876501713/6619128666261645227513499848106245975783460661353700a + 14434099345805555533540900052082756599916751005327019/299508084446228290837714925253676288496989170197, 1910421201829840666779384522254999921903925784138662303/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^24 - 6899954887585656515528894586380965133873976186791959423/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^23 - 827988578656584779632439535800817175177806739910554261/35245536322110008507463883991196138571851771329576181760a^22 + 717730927645862031940646892845911853874287092443663629691/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^21 - 4934032644358547708843871066441847781490515649648839085929/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^20 + 19232404369537536108311396475154847486448464640107347199603/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^19 - 2560560004592964219229047723000050910809022339531709582623/8811384080527502126865970997799034642962942832394045440a^18 + 84860127708862218226762087019263623972131998664825872845899/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^17 - 52538389131367060512226622067494250373658916590795838589317/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^16 - 6020334354331314098349172768648699727050202728780454465219/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^15 + 643467392363361461561488699141967767450237648906293205300139/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^14 - 804339004113612699915613565184241606836285998605272056446539/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^13 + 544138678809300674851196783565710347462945682536211477582949/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^12 + 3372837445007245898473654075612998115801455106416597864915319/176227681610550042537319419955980692859258856647880908800a^11 + 142633554580646925766199098142484961019308733831798198857209/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^10 + 55056711311477192522140713309935672465811060894476094641267/790258661930717679539548968412469474705196666582425600a^9 + 16846403213778191327890062687754851075202954660582508807477193/88113840805275021268659709977990346429629428323940454400a^8 + 11208438340440396928599850261529093352920288804864485221765071/44056920402637510634329854988995173214814714161970227200a^7 + 6280345151055451656461455741142452382539569812856681103606959/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^6 + 8504765914696814191336163916099642842043448250897971290620589/11014230100659377658582463747248793303703678540492556800a^5 + 2807180731189146242103491728189879482168698683520287878085337/5507115050329688829291231873624396651851839270246278400a^4 + 1437360223402790979027345429868884593420852165500372039528843/2753557525164844414645615936812198325925919635123139200a^3 + 120481970581535612461684996805547887028412009667639359642617/344194690645605551830701992101524790740739954390392400a^2 + 550517845015812343509907031338651905269847995807814782618/1654782166565411306878374962026561493945865165338425a + 6224391069482364891505277225471974737868205761523986593/14975404222311414541885746262683814424849458509850, 2221299616513439628698567315132874352313102175457359/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^24 - 1571792143080608716962716200150469212536084802191251/7049107264422001701492776798239227714370354265915236352a^23 - 7520228947865671726407342404759492043450296999965437/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^22 + 836723228925220805830378573429991828735825976231314407/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^21 - 5616886347972671268360878643202991663798970068329439113/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^20 + 1645496551954222344724799390261757855037871630437541643/5422390203401539770379059075568636703361810973780951040a^19 - 2760141673631649614082574014927742844257623714852847203/3524553632211000850746388399119613857185177132957618176a^18 + 17022643734197226939568914639737500450596542325663406923/14098214528844003402985553596478455428740708531830472704a^17 - 6269001077551354711772962767083471152988860043276431853/14098214528844003402985553596478455428740708531830472704a^16 - 6680524585163454296838193053664052669283424301565926939/1762276816105500425373194199559806928592588566478809088a^15 + 767007322649616233996849967416637836441108842834838536847/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^14 - 854022830588683568828083533904700687308534296232305610767/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^13 + 412688767098649707159105645333266399251028592178738114981/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^12 + 4267626098609486777067035810523090836360419699985625794523/70491072644220017014927767982392277143703542659152363520a^11 + 49041647397459505610563466775041057719527111979324731797/7049107264422001701492776798239227714370354265915236352a^10 + 63958966035191816119041521751428021268744076799897024679/316103464772287071815819587364987789882078666632970240a^9 + 4135200039982245461868422738828612099433884215075828280115/7049107264422001701492776798239227714370354265915236352a^8 + 13902559262045444464058723569034294774592315478563303088501/17622768161055004253731941995598069285925885664788090880a^7 + 1521633365074717072850505574281306715551705290059199645127/881138408052750212686597099779903464296294283239404544a^6 + 10710854242501622528765149967351240416788471693317207662131/4405692040263751063432985498899517321481471416197022720a^5 + 3608369423447569570516799974291991605090917480873013162067/2202846020131875531716492749449758660740735708098511360a^4 + 361164388520913435527692285444175184763432203926371109991/220284602013187553171649274944975866074073570809851136a^3 + 157516704514775993481316721838484012738614335687147093209/137677876258242220732280796840609916296295981756156960a^2 + 319099672279727423578548727433402182855899715624426844/330956433313082261375674992405312298789173033067685a + 8411884291335176248802669319926748124307412449130499/5990161688924565816754298505073525769939783403940 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 3887937729197100.0 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{12}\cdot 3887937729197100.0 \cdot 5}{2\cdot\sqrt{12594008714591324159904490763426952893783035367521}}\cr\approx \mathstrut & 20.7379455745518 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^25 - 6*x^24 - 11*x^23 + 373*x^22 - 2123*x^21 + 6909*x^20 - 14504*x^19 + 11689*x^18 + 26637*x^17 - 134028*x^16 + 212769*x^15 - 8645*x^14 - 228977*x^13 + 2110377*x^12 + 2314970*x^11 + 6611519*x^10 + 25497478*x^9 + 45079364*x^8 + 81358720*x^7 + 135641936*x^6 + 134356064*x^5 + 105811904*x^4 + 91282176*x^3 + 70338560*x^2 + 75878400*x + 47071232);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$D_{25}$ (as 25T4):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 50

The 14 conjugacy class representatives for $D_{25}$

Character table for $D_{25}$

Intermediate fields

5.1.51529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.2.0.1}{2} }^{12}{,}\,{\href{/padicField/2.1.0.1}{1} }$	$25$	${\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{12}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }$	$25$	R	${\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{12}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{12}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$	$25$	$25$	$25$	${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{12}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{12}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{12}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }$	$25$	$25$	$25$	${\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{5}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$11$ 11		Deg $25$	$5$	$5$	$20$
$227$ 227	$\Q_{227}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$

Artin representations

	Label	Dimension	Conductor	Artin stem field	$G$	Ind	$\chi(c)$
*	1.1.1t1.a.a	$1$	$1$	$\Q$	$C_1$	$1$	$1$
	1.227.2t1.a.a	$1$	$ 227 $	$\Q(\sqrt{-227}) $	$C_2$ (as 2T1)	$1$	$-1$
*	2.227.5t2.a.b	$2$	$ 227 $	5.1.51529.1	$D_{5}$ (as 5T2)	$1$	$0$
*	2.227.5t2.a.a	$2$	$ 227 $	5.1.51529.1	$D_{5}$ (as 5T2)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.f	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.d	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.h	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.c	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.i	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.g	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.a	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.j	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.e	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$
*	2.27467.25t4.a.b	$2$	$ 11^{2} \cdot 227 $	25.1.12594008714591324159904490763426952893783035367521.1	$D_{25}$ (as 25T4)	$1$	$0$

Data is given for all irreducible representations of the Galois group for the Galois closure of this field. Those marked with * are summands in the permutation representation coming from this field. Representations which appear with multiplicity greater than one are indicated by exponents on the *.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more