Normalized defining polynomial
\( x^{23} - x^{22} - 330 x^{21} + 491 x^{20} + 46010 x^{19} - 87998 x^{18} - 3534734 x^{17} + 8097381 x^{16} + 163274386 x^{15} - 432276476 x^{14} + \cdots - 220900980203 \)
Invariants
Degree: | $23$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[23, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(294114910567428962511991419268717959339196150815159804184604281\) \(\medspace = 691^{22}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(520.02\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $691^{22/23}\approx 520.0229134378386$ | ||
Ramified primes: | \(691\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $23$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(691\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{691}(1,·)$, $\chi_{691}(195,·)$, $\chi_{691}(583,·)$, $\chi_{691}(329,·)$, $\chi_{691}(333,·)$, $\chi_{691}(399,·)$, $\chi_{691}(528,·)$, $\chi_{691}(659,·)$, $\chi_{691}(20,·)$, $\chi_{691}(608,·)$, $\chi_{691}(271,·)$, $\chi_{691}(604,·)$, $\chi_{691}(413,·)$, $\chi_{691}(670,·)$, $\chi_{691}(672,·)$, $\chi_{691}(400,·)$, $\chi_{691}(361,·)$, $\chi_{691}(51,·)$, $\chi_{691}(310,·)$, $\chi_{691}(311,·)$, $\chi_{691}(441,·)$, $\chi_{691}(379,·)$, $\chi_{691}(445,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{197}a^{20}-\frac{39}{197}a^{19}-\frac{95}{197}a^{18}+\frac{25}{197}a^{17}-\frac{29}{197}a^{16}-\frac{59}{197}a^{15}+\frac{35}{197}a^{14}+\frac{72}{197}a^{13}+\frac{98}{197}a^{12}-\frac{7}{197}a^{11}-\frac{7}{197}a^{10}-\frac{68}{197}a^{9}+\frac{69}{197}a^{8}-\frac{64}{197}a^{7}+\frac{43}{197}a^{6}-\frac{64}{197}a^{5}-\frac{80}{197}a^{4}-\frac{33}{197}a^{3}-\frac{11}{197}a^{2}+\frac{47}{197}a-\frac{96}{197}$, $\frac{1}{1981229}a^{21}-\frac{409}{1981229}a^{20}-\frac{244326}{1981229}a^{19}-\frac{47171}{1981229}a^{18}+\frac{575023}{1981229}a^{17}-\frac{340580}{1981229}a^{16}-\frac{125097}{1981229}a^{15}+\frac{35584}{1981229}a^{14}+\frac{57380}{1981229}a^{13}+\frac{132562}{1981229}a^{12}+\frac{292370}{1981229}a^{11}+\frac{344908}{1981229}a^{10}-\frac{437130}{1981229}a^{9}-\frac{976907}{1981229}a^{8}+\frac{496720}{1981229}a^{7}-\frac{785062}{1981229}a^{6}+\frac{336436}{1981229}a^{5}+\frac{581758}{1981229}a^{4}-\frac{27201}{1981229}a^{3}-\frac{205885}{1981229}a^{2}-\frac{700879}{1981229}a+\frac{3489}{17533}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!37}a-\frac{58\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!49}$
Monogenic: | No | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $22$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{44\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a+\frac{59\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{13\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{72\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a-\frac{70\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{11\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a+\frac{19\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{29\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a+\frac{43\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{16\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a+\frac{15\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{31\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!37}a+\frac{66\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{18\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{65\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a+\frac{29\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{33\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{91\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!37}a+\frac{91\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{48\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{43\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a+\frac{57\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{36\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a-\frac{60\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{32\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!37}a+\frac{53\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{29\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a+\frac{50\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{67\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a+\frac{11\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{40\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a+\frac{46\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{47\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!22}{68\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a+\frac{20\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{17\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{90\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!33}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a+\frac{77\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{19\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a+\frac{22\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{30\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{93\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a+\frac{49\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{20\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{86\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{80\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a+\frac{52\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{63\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!33}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a+\frac{17\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{44\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a-\frac{64\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{19\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{92\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{69\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a+\frac{17\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!49}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 921008224906832800000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{23}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 921008224906832800000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{294114910567428962511991419268717959339196150815159804184604281}}\cr\approx \mathstrut & 0.225250047948446 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 23 |
The 23 conjugacy class representatives for $C_{23}$ |
Character table for $C_{23}$ is not computed |
Intermediate fields
The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(691\) | Deg $23$ | $23$ | $1$ | $22$ |