Properties

Label 23.23.294...281.1
Degree $23$
Signature $[23, 0]$
Discriminant $2.941\times 10^{62}$
Root discriminant \(520.02\)
Ramified prime $691$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{23}$ (as 23T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^23 - x^22 - 330*x^21 + 491*x^20 + 46010*x^19 - 87998*x^18 - 3534734*x^17 + 8097381*x^16 + 163274386*x^15 - 432276476*x^14 - 4617725871*x^13 + 13958868541*x^12 + 76934101895*x^11 - 269759119969*x^10 - 654647210801*x^9 + 2901393808025*x^8 + 1396549312920*x^7 - 14112769866979*x^6 + 10842020004862*x^5 + 12214116095559*x^4 - 17293268074281*x^3 + 3381350907752*x^2 + 1669609496979*x - 220900980203)
 
gp: K = bnfinit(y^23 - y^22 - 330*y^21 + 491*y^20 + 46010*y^19 - 87998*y^18 - 3534734*y^17 + 8097381*y^16 + 163274386*y^15 - 432276476*y^14 - 4617725871*y^13 + 13958868541*y^12 + 76934101895*y^11 - 269759119969*y^10 - 654647210801*y^9 + 2901393808025*y^8 + 1396549312920*y^7 - 14112769866979*y^6 + 10842020004862*y^5 + 12214116095559*y^4 - 17293268074281*y^3 + 3381350907752*y^2 + 1669609496979*y - 220900980203, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^23 - x^22 - 330*x^21 + 491*x^20 + 46010*x^19 - 87998*x^18 - 3534734*x^17 + 8097381*x^16 + 163274386*x^15 - 432276476*x^14 - 4617725871*x^13 + 13958868541*x^12 + 76934101895*x^11 - 269759119969*x^10 - 654647210801*x^9 + 2901393808025*x^8 + 1396549312920*x^7 - 14112769866979*x^6 + 10842020004862*x^5 + 12214116095559*x^4 - 17293268074281*x^3 + 3381350907752*x^2 + 1669609496979*x - 220900980203);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^23 - x^22 - 330*x^21 + 491*x^20 + 46010*x^19 - 87998*x^18 - 3534734*x^17 + 8097381*x^16 + 163274386*x^15 - 432276476*x^14 - 4617725871*x^13 + 13958868541*x^12 + 76934101895*x^11 - 269759119969*x^10 - 654647210801*x^9 + 2901393808025*x^8 + 1396549312920*x^7 - 14112769866979*x^6 + 10842020004862*x^5 + 12214116095559*x^4 - 17293268074281*x^3 + 3381350907752*x^2 + 1669609496979*x - 220900980203)
 

\( x^{23} - x^{22} - 330 x^{21} + 491 x^{20} + 46010 x^{19} - 87998 x^{18} - 3534734 x^{17} + 8097381 x^{16} + 163274386 x^{15} - 432276476 x^{14} + \cdots - 220900980203 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $23$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[23, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(294114910567428962511991419268717959339196150815159804184604281\) \(\medspace = 691^{22}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(520.02\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $691^{22/23}\approx 520.0229134378386$
Ramified primes:   \(691\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $23$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(691\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{691}(1,·)$, $\chi_{691}(195,·)$, $\chi_{691}(583,·)$, $\chi_{691}(329,·)$, $\chi_{691}(333,·)$, $\chi_{691}(399,·)$, $\chi_{691}(528,·)$, $\chi_{691}(659,·)$, $\chi_{691}(20,·)$, $\chi_{691}(608,·)$, $\chi_{691}(271,·)$, $\chi_{691}(604,·)$, $\chi_{691}(413,·)$, $\chi_{691}(670,·)$, $\chi_{691}(672,·)$, $\chi_{691}(400,·)$, $\chi_{691}(361,·)$, $\chi_{691}(51,·)$, $\chi_{691}(310,·)$, $\chi_{691}(311,·)$, $\chi_{691}(441,·)$, $\chi_{691}(379,·)$, $\chi_{691}(445,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{197}a^{20}-\frac{39}{197}a^{19}-\frac{95}{197}a^{18}+\frac{25}{197}a^{17}-\frac{29}{197}a^{16}-\frac{59}{197}a^{15}+\frac{35}{197}a^{14}+\frac{72}{197}a^{13}+\frac{98}{197}a^{12}-\frac{7}{197}a^{11}-\frac{7}{197}a^{10}-\frac{68}{197}a^{9}+\frac{69}{197}a^{8}-\frac{64}{197}a^{7}+\frac{43}{197}a^{6}-\frac{64}{197}a^{5}-\frac{80}{197}a^{4}-\frac{33}{197}a^{3}-\frac{11}{197}a^{2}+\frac{47}{197}a-\frac{96}{197}$, $\frac{1}{1981229}a^{21}-\frac{409}{1981229}a^{20}-\frac{244326}{1981229}a^{19}-\frac{47171}{1981229}a^{18}+\frac{575023}{1981229}a^{17}-\frac{340580}{1981229}a^{16}-\frac{125097}{1981229}a^{15}+\frac{35584}{1981229}a^{14}+\frac{57380}{1981229}a^{13}+\frac{132562}{1981229}a^{12}+\frac{292370}{1981229}a^{11}+\frac{344908}{1981229}a^{10}-\frac{437130}{1981229}a^{9}-\frac{976907}{1981229}a^{8}+\frac{496720}{1981229}a^{7}-\frac{785062}{1981229}a^{6}+\frac{336436}{1981229}a^{5}+\frac{581758}{1981229}a^{4}-\frac{27201}{1981229}a^{3}-\frac{205885}{1981229}a^{2}-\frac{700879}{1981229}a+\frac{3489}{17533}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!37}a-\frac{58\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!49}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  No
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $22$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{44\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a+\frac{59\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{13\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{72\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a-\frac{70\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{11\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a+\frac{19\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{29\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a+\frac{43\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{16\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a+\frac{15\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{31\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!37}a+\frac{66\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{18\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{65\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a+\frac{29\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{33\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{91\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!37}a+\frac{91\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{48\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{43\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a+\frac{57\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{36\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a-\frac{60\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{32\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!37}a+\frac{53\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{29\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a+\frac{50\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{67\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a+\frac{11\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{40\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a+\frac{46\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{47\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!22}{68\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a+\frac{20\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{17\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{90\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!33}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a+\frac{77\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{19\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a+\frac{22\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{30\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{93\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a+\frac{49\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{20\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{86\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{80\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a+\frac{52\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{63\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!33}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a+\frac{17\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{44\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!37}a-\frac{64\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!49}$, $\frac{19\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{92\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{69\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!37}a+\frac{17\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!49}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 921008224906832800000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{23}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 921008224906832800000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{294114910567428962511991419268717959339196150815159804184604281}}\cr\approx \mathstrut & 0.225250047948446 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^23 - x^22 - 330*x^21 + 491*x^20 + 46010*x^19 - 87998*x^18 - 3534734*x^17 + 8097381*x^16 + 163274386*x^15 - 432276476*x^14 - 4617725871*x^13 + 13958868541*x^12 + 76934101895*x^11 - 269759119969*x^10 - 654647210801*x^9 + 2901393808025*x^8 + 1396549312920*x^7 - 14112769866979*x^6 + 10842020004862*x^5 + 12214116095559*x^4 - 17293268074281*x^3 + 3381350907752*x^2 + 1669609496979*x - 220900980203)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^23 - x^22 - 330*x^21 + 491*x^20 + 46010*x^19 - 87998*x^18 - 3534734*x^17 + 8097381*x^16 + 163274386*x^15 - 432276476*x^14 - 4617725871*x^13 + 13958868541*x^12 + 76934101895*x^11 - 269759119969*x^10 - 654647210801*x^9 + 2901393808025*x^8 + 1396549312920*x^7 - 14112769866979*x^6 + 10842020004862*x^5 + 12214116095559*x^4 - 17293268074281*x^3 + 3381350907752*x^2 + 1669609496979*x - 220900980203, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^23 - x^22 - 330*x^21 + 491*x^20 + 46010*x^19 - 87998*x^18 - 3534734*x^17 + 8097381*x^16 + 163274386*x^15 - 432276476*x^14 - 4617725871*x^13 + 13958868541*x^12 + 76934101895*x^11 - 269759119969*x^10 - 654647210801*x^9 + 2901393808025*x^8 + 1396549312920*x^7 - 14112769866979*x^6 + 10842020004862*x^5 + 12214116095559*x^4 - 17293268074281*x^3 + 3381350907752*x^2 + 1669609496979*x - 220900980203);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^23 - x^22 - 330*x^21 + 491*x^20 + 46010*x^19 - 87998*x^18 - 3534734*x^17 + 8097381*x^16 + 163274386*x^15 - 432276476*x^14 - 4617725871*x^13 + 13958868541*x^12 + 76934101895*x^11 - 269759119969*x^10 - 654647210801*x^9 + 2901393808025*x^8 + 1396549312920*x^7 - 14112769866979*x^6 + 10842020004862*x^5 + 12214116095559*x^4 - 17293268074281*x^3 + 3381350907752*x^2 + 1669609496979*x - 220900980203);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{23}$ (as 23T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 23
The 23 conjugacy class representatives for $C_{23}$
Character table for $C_{23}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.
sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(691\) Copy content Toggle raw display Deg $23$$23$$1$$22$