Properties

Label 23.23.161...641.1
Degree $23$
Signature $[23, 0]$
Discriminant $1.615\times 10^{64}$
Root discriminant $618.96$
Ramified prime $829$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{23}$ (as 23T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^23 - x^22 - 396*x^21 + 517*x^20 + 58242*x^19 - 89048*x^18 - 4136665*x^17 + 6675371*x^16 + 155317993*x^15 - 248917597*x^14 - 3168505860*x^13 + 4803054368*x^12 + 34789513687*x^11 - 47690452504*x^10 - 193631555469*x^9 + 225956060874*x^8 + 483028561517*x^7 - 415966978205*x^6 - 465412635150*x^5 + 267147031000*x^4 + 115014666875*x^3 - 62643096875*x^2 - 1127109375*x + 2017578125)
 
gp: K = bnfinit(x^23 - x^22 - 396*x^21 + 517*x^20 + 58242*x^19 - 89048*x^18 - 4136665*x^17 + 6675371*x^16 + 155317993*x^15 - 248917597*x^14 - 3168505860*x^13 + 4803054368*x^12 + 34789513687*x^11 - 47690452504*x^10 - 193631555469*x^9 + 225956060874*x^8 + 483028561517*x^7 - 415966978205*x^6 - 465412635150*x^5 + 267147031000*x^4 + 115014666875*x^3 - 62643096875*x^2 - 1127109375*x + 2017578125, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2017578125, -1127109375, -62643096875, 115014666875, 267147031000, -465412635150, -415966978205, 483028561517, 225956060874, -193631555469, -47690452504, 34789513687, 4803054368, -3168505860, -248917597, 155317993, 6675371, -4136665, -89048, 58242, 517, -396, -1, 1]);
 

\(x^{23} - x^{22} - 396 x^{21} + 517 x^{20} + 58242 x^{19} - 89048 x^{18} - 4136665 x^{17} + 6675371 x^{16} + 155317993 x^{15} - 248917597 x^{14} - 3168505860 x^{13} + 4803054368 x^{12} + 34789513687 x^{11} - 47690452504 x^{10} - 193631555469 x^{9} + 225956060874 x^{8} + 483028561517 x^{7} - 415966978205 x^{6} - 465412635150 x^{5} + 267147031000 x^{4} + 115014666875 x^{3} - 62643096875 x^{2} - 1127109375 x + 2017578125\)  Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $23$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[23, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(161\!\cdots\!641\)\(\medspace = 829^{22}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $618.96$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $829$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $23$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(829\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{829}(1,·)$, $\chi_{829}(69,·)$, $\chi_{829}(649,·)$, $\chi_{829}(11,·)$, $\chi_{829}(206,·)$, $\chi_{829}(15,·)$, $\chi_{829}(144,·)$, $\chi_{829}(121,·)$, $\chi_{829}(603,·)$, $\chi_{829}(157,·)$, $\chi_{829}(608,·)$, $\chi_{829}(225,·)$, $\chi_{829}(507,·)$, $\chi_{829}(548,·)$, $\chi_{829}(165,·)$, $\chi_{829}(616,·)$, $\chi_{829}(817,·)$, $\chi_{829}(755,·)$, $\chi_{829}(502,·)$, $\chi_{829}(759,·)$, $\chi_{829}(56,·)$, $\chi_{829}(697,·)$, $\chi_{829}(59,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{25} a^{9} - \frac{2}{25} a^{8} - \frac{1}{25} a^{7} + \frac{2}{25} a^{6} - \frac{1}{25} a^{5} - \frac{8}{25} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} + \frac{8}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{6} + \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{7} + \frac{1}{25} a^{3}$, $\frac{1}{125} a^{12} + \frac{2}{125} a^{11} - \frac{1}{125} a^{10} + \frac{2}{125} a^{9} - \frac{1}{125} a^{8} - \frac{6}{125} a^{7} - \frac{9}{125} a^{6} + \frac{8}{125} a^{5} - \frac{4}{25} a^{4} - \frac{6}{125} a^{3} + \frac{11}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{13} - \frac{1}{625} a^{10} - \frac{39}{625} a^{8} + \frac{13}{625} a^{7} - \frac{29}{625} a^{6} + \frac{9}{625} a^{5} + \frac{269}{625} a^{4} + \frac{277}{625} a^{3} - \frac{9}{25} a^{2} - \frac{8}{25} a$, $\frac{1}{625} a^{14} - \frac{1}{625} a^{11} + \frac{11}{625} a^{9} + \frac{38}{625} a^{8} + \frac{46}{625} a^{7} - \frac{16}{625} a^{6} - \frac{31}{625} a^{5} - \frac{248}{625} a^{4} + \frac{3}{25} a^{3} - \frac{12}{25} a^{2} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{3125} a^{15} + \frac{1}{3125} a^{14} + \frac{9}{3125} a^{12} + \frac{44}{3125} a^{11} - \frac{24}{3125} a^{10} - \frac{31}{3125} a^{9} - \frac{226}{3125} a^{8} + \frac{29}{625} a^{7} - \frac{37}{3125} a^{6} - \frac{224}{3125} a^{5} - \frac{323}{3125} a^{4} + \frac{253}{625} a^{3} - \frac{13}{125} a^{2} - \frac{12}{25} a$, $\frac{1}{134375} a^{16} + \frac{4}{26875} a^{15} - \frac{96}{134375} a^{14} - \frac{51}{134375} a^{13} - \frac{32}{26875} a^{12} - \frac{198}{134375} a^{11} - \frac{552}{134375} a^{10} + \frac{184}{26875} a^{9} - \frac{179}{134375} a^{8} - \frac{5352}{134375} a^{7} + \frac{12028}{134375} a^{6} + \frac{12321}{134375} a^{5} - \frac{18742}{134375} a^{4} - \frac{4557}{26875} a^{3} + \frac{818}{5375} a^{2} - \frac{407}{1075} a + \frac{9}{43}$, $\frac{1}{671875} a^{17} - \frac{1}{671875} a^{16} + \frac{1}{15625} a^{15} - \frac{486}{671875} a^{14} + \frac{51}{671875} a^{13} + \frac{1743}{671875} a^{12} - \frac{3188}{671875} a^{11} + \frac{11781}{671875} a^{10} - \frac{2213}{671875} a^{9} + \frac{12683}{671875} a^{8} + \frac{11382}{134375} a^{7} - \frac{1322}{26875} a^{6} + \frac{7521}{671875} a^{5} - \frac{37374}{134375} a^{4} + \frac{12097}{26875} a^{3} + \frac{1971}{5375} a^{2} + \frac{12}{25} a - \frac{12}{43}$, $\frac{1}{671875} a^{18} + \frac{2}{671875} a^{16} + \frac{47}{671875} a^{15} + \frac{79}{134375} a^{14} - \frac{466}{671875} a^{13} + \frac{88}{134375} a^{12} - \frac{8427}{671875} a^{11} - \frac{134}{15625} a^{10} - \frac{2299}{134375} a^{9} - \frac{59987}{671875} a^{8} - \frac{5517}{134375} a^{7} - \frac{27629}{671875} a^{6} - \frac{54924}{671875} a^{5} - \frac{25097}{134375} a^{4} + \frac{358}{26875} a^{3} - \frac{1047}{5375} a^{2} + \frac{247}{1075} a + \frac{2}{43}$, $\frac{1}{671875} a^{19} - \frac{1}{671875} a^{16} - \frac{46}{671875} a^{15} - \frac{499}{671875} a^{14} - \frac{337}{671875} a^{13} + \frac{44}{15625} a^{12} - \frac{8406}{671875} a^{11} + \frac{7163}{671875} a^{10} - \frac{4381}{671875} a^{9} - \frac{13471}{671875} a^{8} - \frac{65199}{671875} a^{7} + \frac{39511}{671875} a^{6} + \frac{22368}{671875} a^{5} - \frac{66669}{134375} a^{4} + \frac{1964}{5375} a^{3} - \frac{1599}{5375} a^{2} - \frac{438}{1075} a + \frac{20}{43}$, $\frac{1}{16796875} a^{20} + \frac{3}{16796875} a^{19} + \frac{7}{16796875} a^{18} + \frac{3}{16796875} a^{17} - \frac{4}{16796875} a^{16} + \frac{779}{16796875} a^{15} + \frac{8742}{16796875} a^{14} + \frac{13238}{16796875} a^{13} - \frac{44718}{16796875} a^{12} + \frac{233084}{16796875} a^{11} + \frac{3718}{16796875} a^{10} - \frac{45246}{16796875} a^{9} - \frac{930619}{16796875} a^{8} - \frac{30436}{16796875} a^{7} + \frac{146623}{16796875} a^{6} + \frac{61964}{671875} a^{5} - \frac{125179}{671875} a^{4} + \frac{12377}{26875} a^{3} - \frac{4252}{26875} a^{2} - \frac{313}{1075} a + \frac{7}{43}$, $\frac{1}{6432447265625} a^{21} + \frac{153236}{6432447265625} a^{20} + \frac{307181}{6432447265625} a^{19} + \frac{716484}{6432447265625} a^{18} - \frac{99176}{1286489453125} a^{17} - \frac{410421}{149591796875} a^{16} - \frac{123894376}{6432447265625} a^{15} + \frac{3856253424}{6432447265625} a^{14} + \frac{807696736}{6432447265625} a^{13} + \frac{1986076528}{1286489453125} a^{12} - \frac{7123393182}{1286489453125} a^{11} - \frac{5345734177}{6432447265625} a^{10} + \frac{83767239313}{6432447265625} a^{9} - \frac{365558157188}{6432447265625} a^{8} + \frac{30927430752}{1286489453125} a^{7} - \frac{478635406666}{6432447265625} a^{6} + \frac{12054296706}{257297890625} a^{5} + \frac{81864387328}{257297890625} a^{4} - \frac{3725646161}{10291915625} a^{3} - \frac{251517}{596875} a^{2} - \frac{160664207}{411676625} a - \frac{8184772}{16467065}$, $\frac{1}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{22} + \frac{8681806548120908015238742079872523708019558950904538841203760891}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{21} + \frac{12293703287603162963491876094988330524005236901028304565250160163889606}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{20} + \frac{514684890832815757493710498335066851300287096340936166169229866403227824}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{19} + \frac{8490453050571609153628755490721698994694483415765328885182470341880686}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{18} - \frac{217862734422892026488950043380801338795309274440647571748867702674295968}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{17} + \frac{154778483986089752923602017836183544871026403039155993091392072096368154}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{16} - \frac{70193855014010725328789516189661381370131827246562416828448160529755315726}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{15} - \frac{575126206770508354170474731120006152829851205274134337199363018854328302054}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{14} + \frac{105111492047953641159754882368699374733865494591168160576698858989023762416}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{13} - \frac{262668417529150312155363936937756037491777858487887437412504232658701891534}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{12} - \frac{6508913204043295633043238001193225043979479460663922360783866821779930322872}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{11} - \frac{9408765889938057113340394194704674903016514706493043784231424748147518419912}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{10} + \frac{15175736224009326872259580451185990878869342385020053403370396868781901762832}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{9} + \frac{3975293146453936557733899187690035814764801615550310951731413812993577659538}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{8} + \frac{59689926131995082834261778977205477258144427324826981293113843439432977038464}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{7} + \frac{622150100813499003073944299380321006970479412535711148170197166750572607996}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{6} - \frac{1788579753350625708411199998966558138943544044286293366455141301362162505197}{34097578670551015855205196452534156564581748275833752525111349198004247421875} a^{5} - \frac{2855673309530217123749750586519257890362357916939112678591495358678476904933}{6819515734110203171041039290506831312916349655166750505022269839600849484375} a^{4} + \frac{176365485763864596096392509328686528380834534685261777788534863392659458479}{1363903146822040634208207858101366262583269931033350101004453967920169896875} a^{3} + \frac{82726184642556686266830289180798770996140411455534716484241350125030078896}{272780629364408126841641571620273252516653986206670020200890793584033979375} a^{2} - \frac{3423304651021744273645043814456189213763461369614750724157813376620916632}{10911225174576325073665662864810930100666159448266800808035631743361359175} a + \frac{101485722476252657070628631140743516694375031718540542473140231853576}{422506299112345598205833992829077641845737055111976797987826979413799}$  Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $22$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)  Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 1001378635833781400000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{23}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1001378635833781400000000000 \cdot 1}{2\sqrt{16151009482177927765006229664562804196212236775629575713829087641}}\approx 33.0490051028935$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{23}$ (as 23T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 23
The 23 conjugacy class representatives for $C_{23}$
Character table for $C_{23}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $23$ $23$ ${\href{/LocalNumberField/5.1.0.1}{1} }^{23}$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ $23$ ${\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{23}$ $23$ $23$ $23$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
829Data not computed