Normalized defining polynomial
\( x^{23} - x^{22} - 396 x^{21} + 517 x^{20} + 58242 x^{19} - 89048 x^{18} - 4136665 x^{17} + 6675371 x^{16} + 155317993 x^{15} - 248917597 x^{14} - 3168505860 x^{13} + 4803054368 x^{12} + 34789513687 x^{11} - 47690452504 x^{10} - 193631555469 x^{9} + 225956060874 x^{8} + 483028561517 x^{7} - 415966978205 x^{6} - 465412635150 x^{5} + 267147031000 x^{4} + 115014666875 x^{3} - 62643096875 x^{2} - 1127109375 x + 2017578125 \)
Invariants
| Degree: | $23$ | magma: Degree(K);
sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
| |
| Signature: | $[23, 0]$ | magma: Signature(K);
sage: K.signature()
gp: K.sign
| |
| Discriminant: | \(16151009482177927765006229664562804196212236775629575713829087641=829^{22}\) | magma: Discriminant(Integers(K));
sage: K.disc()
gp: K.disc
| |
| Root discriminant: | $618.96$ | magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
| |
| Ramified primes: | $829$ | magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(829\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{829}(1,·)$, $\chi_{829}(69,·)$, $\chi_{829}(649,·)$, $\chi_{829}(11,·)$, $\chi_{829}(206,·)$, $\chi_{829}(15,·)$, $\chi_{829}(144,·)$, $\chi_{829}(121,·)$, $\chi_{829}(603,·)$, $\chi_{829}(157,·)$, $\chi_{829}(608,·)$, $\chi_{829}(225,·)$, $\chi_{829}(507,·)$, $\chi_{829}(548,·)$, $\chi_{829}(165,·)$, $\chi_{829}(616,·)$, $\chi_{829}(817,·)$, $\chi_{829}(755,·)$, $\chi_{829}(502,·)$, $\chi_{829}(759,·)$, $\chi_{829}(56,·)$, $\chi_{829}(697,·)$, $\chi_{829}(59,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{25} a^{9} - \frac{2}{25} a^{8} - \frac{1}{25} a^{7} + \frac{2}{25} a^{6} - \frac{1}{25} a^{5} - \frac{8}{25} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} + \frac{8}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{6} + \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{7} + \frac{1}{25} a^{3}$, $\frac{1}{125} a^{12} + \frac{2}{125} a^{11} - \frac{1}{125} a^{10} + \frac{2}{125} a^{9} - \frac{1}{125} a^{8} - \frac{6}{125} a^{7} - \frac{9}{125} a^{6} + \frac{8}{125} a^{5} - \frac{4}{25} a^{4} - \frac{6}{125} a^{3} + \frac{11}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{13} - \frac{1}{625} a^{10} - \frac{39}{625} a^{8} + \frac{13}{625} a^{7} - \frac{29}{625} a^{6} + \frac{9}{625} a^{5} + \frac{269}{625} a^{4} + \frac{277}{625} a^{3} - \frac{9}{25} a^{2} - \frac{8}{25} a$, $\frac{1}{625} a^{14} - \frac{1}{625} a^{11} + \frac{11}{625} a^{9} + \frac{38}{625} a^{8} + \frac{46}{625} a^{7} - \frac{16}{625} a^{6} - \frac{31}{625} a^{5} - \frac{248}{625} a^{4} + \frac{3}{25} a^{3} - \frac{12}{25} a^{2} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{3125} a^{15} + \frac{1}{3125} a^{14} + \frac{9}{3125} a^{12} + \frac{44}{3125} a^{11} - \frac{24}{3125} a^{10} - \frac{31}{3125} a^{9} - \frac{226}{3125} a^{8} + \frac{29}{625} a^{7} - \frac{37}{3125} a^{6} - \frac{224}{3125} a^{5} - \frac{323}{3125} a^{4} + \frac{253}{625} a^{3} - \frac{13}{125} a^{2} - \frac{12}{25} a$, $\frac{1}{134375} a^{16} + \frac{4}{26875} a^{15} - \frac{96}{134375} a^{14} - \frac{51}{134375} a^{13} - \frac{32}{26875} a^{12} - \frac{198}{134375} a^{11} - \frac{552}{134375} a^{10} + \frac{184}{26875} a^{9} - \frac{179}{134375} a^{8} - \frac{5352}{134375} a^{7} + \frac{12028}{134375} a^{6} + \frac{12321}{134375} a^{5} - \frac{18742}{134375} a^{4} - \frac{4557}{26875} a^{3} + \frac{818}{5375} a^{2} - \frac{407}{1075} a + \frac{9}{43}$, $\frac{1}{671875} a^{17} - \frac{1}{671875} a^{16} + \frac{1}{15625} a^{15} - \frac{486}{671875} a^{14} + \frac{51}{671875} a^{13} + \frac{1743}{671875} a^{12} - \frac{3188}{671875} a^{11} + \frac{11781}{671875} a^{10} - \frac{2213}{671875} a^{9} + \frac{12683}{671875} a^{8} + \frac{11382}{134375} a^{7} - \frac{1322}{26875} a^{6} + \frac{7521}{671875} a^{5} - \frac{37374}{134375} a^{4} + \frac{12097}{26875} a^{3} + \frac{1971}{5375} a^{2} + \frac{12}{25} a - \frac{12}{43}$, $\frac{1}{671875} a^{18} + \frac{2}{671875} a^{16} + \frac{47}{671875} a^{15} + \frac{79}{134375} a^{14} - \frac{466}{671875} a^{13} + \frac{88}{134375} a^{12} - \frac{8427}{671875} a^{11} - \frac{134}{15625} a^{10} - \frac{2299}{134375} a^{9} - \frac{59987}{671875} a^{8} - \frac{5517}{134375} a^{7} - \frac{27629}{671875} a^{6} - \frac{54924}{671875} a^{5} - \frac{25097}{134375} a^{4} + \frac{358}{26875} a^{3} - \frac{1047}{5375} a^{2} + \frac{247}{1075} a + \frac{2}{43}$, $\frac{1}{671875} a^{19} - \frac{1}{671875} a^{16} - \frac{46}{671875} a^{15} - \frac{499}{671875} a^{14} - \frac{337}{671875} a^{13} + \frac{44}{15625} a^{12} - \frac{8406}{671875} a^{11} + \frac{7163}{671875} a^{10} - \frac{4381}{671875} a^{9} - \frac{13471}{671875} a^{8} - \frac{65199}{671875} a^{7} + \frac{39511}{671875} a^{6} + \frac{22368}{671875} a^{5} - \frac{66669}{134375} a^{4} + \frac{1964}{5375} a^{3} - \frac{1599}{5375} a^{2} - \frac{438}{1075} a + \frac{20}{43}$, $\frac{1}{16796875} a^{20} + \frac{3}{16796875} a^{19} + \frac{7}{16796875} a^{18} + \frac{3}{16796875} a^{17} - \frac{4}{16796875} a^{16} + \frac{779}{16796875} a^{15} + \frac{8742}{16796875} a^{14} + \frac{13238}{16796875} a^{13} - \frac{44718}{16796875} a^{12} + \frac{233084}{16796875} a^{11} + \frac{3718}{16796875} a^{10} - \frac{45246}{16796875} a^{9} - \frac{930619}{16796875} a^{8} - \frac{30436}{16796875} a^{7} + \frac{146623}{16796875} a^{6} + \frac{61964}{671875} a^{5} - \frac{125179}{671875} a^{4} + \frac{12377}{26875} a^{3} - \frac{4252}{26875} a^{2} - \frac{313}{1075} a + \frac{7}{43}$, $\frac{1}{6432447265625} a^{21} + \frac{153236}{6432447265625} a^{20} + \frac{307181}{6432447265625} a^{19} + \frac{716484}{6432447265625} a^{18} - \frac{99176}{1286489453125} a^{17} - \frac{410421}{149591796875} a^{16} - \frac{123894376}{6432447265625} a^{15} + \frac{3856253424}{6432447265625} a^{14} + \frac{807696736}{6432447265625} a^{13} + \frac{1986076528}{1286489453125} a^{12} - \frac{7123393182}{1286489453125} a^{11} - \frac{5345734177}{6432447265625} a^{10} + \frac{83767239313}{6432447265625} a^{9} - \frac{365558157188}{6432447265625} a^{8} + \frac{30927430752}{1286489453125} a^{7} - \frac{478635406666}{6432447265625} a^{6} + \frac{12054296706}{257297890625} a^{5} + \frac{81864387328}{257297890625} a^{4} - \frac{3725646161}{10291915625} a^{3} - \frac{251517}{596875} a^{2} - \frac{160664207}{411676625} a - \frac{8184772}{16467065}$, $\frac{1}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{22} + \frac{8681806548120908015238742079872523708019558950904538841203760891}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{21} + \frac{12293703287603162963491876094988330524005236901028304565250160163889606}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{20} + \frac{514684890832815757493710498335066851300287096340936166169229866403227824}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{19} + \frac{8490453050571609153628755490721698994694483415765328885182470341880686}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{18} - \frac{217862734422892026488950043380801338795309274440647571748867702674295968}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{17} + \frac{154778483986089752923602017836183544871026403039155993091392072096368154}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{16} - \frac{70193855014010725328789516189661381370131827246562416828448160529755315726}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{15} - \frac{575126206770508354170474731120006152829851205274134337199363018854328302054}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{14} + \frac{105111492047953641159754882368699374733865494591168160576698858989023762416}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{13} - \frac{262668417529150312155363936937756037491777858487887437412504232658701891534}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{12} - \frac{6508913204043295633043238001193225043979479460663922360783866821779930322872}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{11} - \frac{9408765889938057113340394194704674903016514706493043784231424748147518419912}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{10} + \frac{15175736224009326872259580451185990878869342385020053403370396868781901762832}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{9} + \frac{3975293146453936557733899187690035814764801615550310951731413812993577659538}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{8} + \frac{59689926131995082834261778977205477258144427324826981293113843439432977038464}{852439466763775396380129911313353914114543706895843813127783729950106185546875} a^{7} + \frac{622150100813499003073944299380321006970479412535711148170197166750572607996}{170487893352755079276025982262670782822908741379168762625556745990021237109375} a^{6} - \frac{1788579753350625708411199998966558138943544044286293366455141301362162505197}{34097578670551015855205196452534156564581748275833752525111349198004247421875} a^{5} - \frac{2855673309530217123749750586519257890362357916939112678591495358678476904933}{6819515734110203171041039290506831312916349655166750505022269839600849484375} a^{4} + \frac{176365485763864596096392509328686528380834534685261777788534863392659458479}{1363903146822040634208207858101366262583269931033350101004453967920169896875} a^{3} + \frac{82726184642556686266830289180798770996140411455534716484241350125030078896}{272780629364408126841641571620273252516653986206670020200890793584033979375} a^{2} - \frac{3423304651021744273645043814456189213763461369614750724157813376620916632}{10911225174576325073665662864810930100666159448266800808035631743361359175} a + \frac{101485722476252657070628631140743516694375031718540542473140231853576}{422506299112345598205833992829077641845737055111976797987826979413799}$
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
| Rank: | $22$ | magma: UnitRank(K);
sage: UK.rank()
gp: K.fu
| |
| Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
| |
| Fundamental units: | Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH) | magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
| |
| Regulator: | \( 1001378635833781400000000000 \) (assuming GRH) | magma: Regulator(K);
sage: K.regulator()
gp: K.reg
|
Galois group
| A cyclic group of order 23 |
| The 23 conjugacy class representatives for $C_{23}$ |
| Character table for $C_{23}$ is not computed |
Intermediate fields
| The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
Frobenius cycle types
| $p$ | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $23$ | $23$ | ${\href{/LocalNumberField/5.1.0.1}{1} }^{23}$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | $23$ | ${\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{23}$ | $23$ | $23$ | $23$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 829 | Data not computed | ||||||