LMFDB - Number field 22.6.80119853675928619057152000000000000000000000000000.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881)

gp: K = bnfinit(y^22 - 7*y^21 - 14*y^20 + 265*y^19 - 520*y^18 - 14689*y^17 + 11653*y^16 - 22154*y^15 - 1607845*y^14 + 4298285*y^13 - 18440204*y^12 - 22310537*y^11 + 285023156*y^10 - 1085639155*y^9 + 3962459515*y^8 - 7396721954*y^7 + 11379240893*y^6 - 15698920969*y^5 + 12781094360*y^4 - 10215692655*y^3 + 7469116746*y^2 - 3243825927*y + 549451881, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881)

$ x^{22} - 7 x^{21} - 14 x^{20} + 265 x^{19} - 520 x^{18} - 14689 x^{17} + 11653 x^{16} - 22154 x^{15} + \cdots + 549451881 $ x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$22$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[6, 8]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$80119853675928619057152000000000000000000000000000$ 80119853675928619057152000000000000000000000000000 $\medspace = 2^{48}\cdot 3^{16}\cdot 5^{27}\cdot 31^{6}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$185.50$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	not computed
Ramified primes:	$2$, $3$, $5$, $31$ 2, 3, 5, 31	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q(\sqrt{5}) $
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$1$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}a^{8}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{8}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{4}a-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{8}a^{9}+\frac{1}{8}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{8}a-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{40}a^{10}-\frac{1}{8}a^{6}+\frac{1}{5}a^{5}-\frac{3}{8}a^{2}+\frac{3}{20}$, $\frac{1}{40}a^{11}-\frac{1}{8}a^{7}-\frac{1}{20}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{3}{8}a^{3}-\frac{1}{10}a+\frac{1}{4}$, $\frac{1}{80}a^{12}-\frac{1}{80}a^{10}+\frac{1}{10}a^{7}-\frac{1}{16}a^{6}+\frac{3}{20}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}+\frac{11}{80}a^{2}+\frac{1}{4}a-\frac{1}{80}$, $\frac{1}{400}a^{13}+\frac{1}{200}a^{12}+\frac{3}{400}a^{11}+\frac{1}{100}a^{10}+\frac{1}{20}a^{9}-\frac{11}{200}a^{8}-\frac{49}{400}a^{7}-\frac{9}{100}a^{6}+\frac{23}{100}a^{5}-\frac{7}{40}a^{4}-\frac{149}{400}a^{3}+\frac{33}{100}a^{2}-\frac{177}{400}a-\frac{11}{25}$, $\frac{1}{800}a^{14}-\frac{1}{800}a^{13}+\frac{1}{400}a^{12}+\frac{1}{160}a^{11}+\frac{3}{800}a^{10}+\frac{9}{400}a^{9}+\frac{17}{800}a^{8}+\frac{1}{800}a^{7}+\frac{11}{160}a^{6}-\frac{43}{400}a^{5}+\frac{61}{800}a^{4}+\frac{29}{800}a^{3}-\frac{9}{400}a^{2}+\frac{3}{160}a-\frac{377}{800}$, $\frac{1}{800}a^{15}-\frac{1}{800}a^{13}+\frac{3}{800}a^{12}+\frac{1}{400}a^{11}-\frac{7}{800}a^{10}-\frac{1}{160}a^{9}-\frac{19}{400}a^{8}-\frac{23}{400}a^{7}-\frac{59}{800}a^{6}-\frac{169}{800}a^{5}+\frac{13}{80}a^{4}-\frac{291}{800}a^{3}+\frac{33}{800}a^{2}+\frac{49}{100}a-\frac{9}{160}$, $\frac{1}{1600}a^{16}-\frac{1}{160}a^{12}-\frac{1}{200}a^{11}+\frac{1}{40}a^{9}+\frac{3}{320}a^{8}-\frac{1}{40}a^{7}-\frac{3}{25}a^{6}+\frac{1}{40}a^{5}-\frac{9}{160}a^{4}+\frac{19}{40}a^{3}+\frac{3}{8}a^{2}-\frac{47}{200}a-\frac{3}{320}$, $\frac{1}{1600}a^{17}-\frac{1}{800}a^{13}+\frac{1}{200}a^{12}-\frac{1}{100}a^{11}-\frac{1}{200}a^{10}-\frac{1}{64}a^{9}-\frac{1}{100}a^{8}+\frac{1}{100}a^{7}-\frac{21}{200}a^{6}-\frac{97}{800}a^{5}+\frac{1}{200}a^{3}-\frac{3}{40}a^{2}-\frac{671}{1600}a-\frac{61}{200}$, $\frac{1}{99200}a^{18}+\frac{3}{99200}a^{17}+\frac{1}{3968}a^{16}+\frac{11}{49600}a^{14}-\frac{59}{49600}a^{13}-\frac{13}{49600}a^{12}-\frac{23}{12400}a^{11}+\frac{159}{99200}a^{10}+\frac{5421}{99200}a^{9}+\frac{73}{3200}a^{8}+\frac{1211}{12400}a^{7}-\frac{1501}{49600}a^{6}+\frac{41}{49600}a^{5}-\frac{2529}{49600}a^{4}+\frac{1619}{6200}a^{3}-\frac{1231}{3968}a^{2}-\frac{15109}{99200}a+\frac{38729}{99200}$, $\frac{1}{99200}a^{19}+\frac{1}{6200}a^{17}-\frac{13}{99200}a^{16}+\frac{11}{49600}a^{15}-\frac{3}{4960}a^{14}-\frac{11}{24800}a^{13}+\frac{133}{49600}a^{12}+\frac{91}{99200}a^{11}+\frac{151}{24800}a^{10}-\frac{231}{12400}a^{9}-\frac{1007}{99200}a^{8}-\frac{247}{1984}a^{7}-\frac{1417}{24800}a^{6}+\frac{162}{775}a^{5}+\frac{11611}{49600}a^{4}+\frac{3981}{99200}a^{3}+\frac{1943}{6200}a^{2}-\frac{51}{992}a-\frac{24737}{99200}$, $\frac{1}{1190400}a^{20}+\frac{1}{595200}a^{19}-\frac{1}{238080}a^{18}-\frac{23}{119040}a^{17}+\frac{43}{238080}a^{16}-\frac{97}{297600}a^{15}+\frac{49}{119040}a^{14}+\frac{13}{297600}a^{13}-\frac{7387}{1190400}a^{12}+\frac{37}{19200}a^{11}+\frac{733}{1190400}a^{10}-\frac{1123}{19200}a^{9}-\frac{15139}{1190400}a^{8}-\frac{24199}{297600}a^{7}+\frac{881}{595200}a^{6}+\frac{62491}{297600}a^{5}-\frac{1831}{38400}a^{4}+\frac{61501}{595200}a^{3}+\frac{42803}{1190400}a^{2}+\frac{65979}{198400}a-\frac{1289}{79360}$, $\frac{1}{38\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!12}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!96}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!48}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!73}{97\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!80}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!77}{54\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!00}a-\frac{34\!\cdots\!27}{69\!\cdots\!00}$ 1, a, a^2, a^3, 1/2*a^4 - 1/2*a^2 - 1/2, 1/2*a^5 - 1/2*a^3 - 1/2*a, 1/4*a^6 - 1/4*a^5 - 1/4*a^3 - 1/4*a - 1/4, 1/4*a^7 - 1/4*a^5 - 1/4*a^4 - 1/4*a^3 - 1/4*a^2 - 1/2*a - 1/4, 1/8*a^8 - 1/4*a^5 - 1/8*a^4 - 1/4*a^3 - 1/4*a^2 - 1/4*a - 1/8, 1/8*a^9 + 1/8*a^5 - 1/4*a^4 - 1/4*a^2 + 1/8*a - 1/4, 1/40*a^10 - 1/8*a^6 + 1/5*a^5 - 3/8*a^2 + 3/20, 1/40*a^11 - 1/8*a^7 - 1/20*a^6 - 1/4*a^5 + 3/8*a^3 - 1/10*a + 1/4, 1/80*a^12 - 1/80*a^10 + 1/10*a^7 - 1/16*a^6 + 3/20*a^5 - 1/4*a^4 - 1/4*a^3 + 11/80*a^2 + 1/4*a - 1/80, 1/400*a^13 + 1/200*a^12 + 3/400*a^11 + 1/100*a^10 + 1/20*a^9 - 11/200*a^8 - 49/400*a^7 - 9/100*a^6 + 23/100*a^5 - 7/40*a^4 - 149/400*a^3 + 33/100*a^2 - 177/400*a - 11/25, 1/800*a^14 - 1/800*a^13 + 1/400*a^12 + 1/160*a^11 + 3/800*a^10 + 9/400*a^9 + 17/800*a^8 + 1/800*a^7 + 11/160*a^6 - 43/400*a^5 + 61/800*a^4 + 29/800*a^3 - 9/400*a^2 + 3/160*a - 377/800, 1/800*a^15 - 1/800*a^13 + 3/800*a^12 + 1/400*a^11 - 7/800*a^10 - 1/160*a^9 - 19/400*a^8 - 23/400*a^7 - 59/800*a^6 - 169/800*a^5 + 13/80*a^4 - 291/800*a^3 + 33/800*a^2 + 49/100*a - 9/160, 1/1600*a^16 - 1/160*a^12 - 1/200*a^11 + 1/40*a^9 + 3/320*a^8 - 1/40*a^7 - 3/25*a^6 + 1/40*a^5 - 9/160*a^4 + 19/40*a^3 + 3/8*a^2 - 47/200*a - 3/320, 1/1600*a^17 - 1/800*a^13 + 1/200*a^12 - 1/100*a^11 - 1/200*a^10 - 1/64*a^9 - 1/100*a^8 + 1/100*a^7 - 21/200*a^6 - 97/800*a^5 + 1/200*a^3 - 3/40*a^2 - 671/1600*a - 61/200, 1/99200*a^18 + 3/99200*a^17 + 1/3968*a^16 + 11/49600*a^14 - 59/49600*a^13 - 13/49600*a^12 - 23/12400*a^11 + 159/99200*a^10 + 5421/99200*a^9 + 73/3200*a^8 + 1211/12400*a^7 - 1501/49600*a^6 + 41/49600*a^5 - 2529/49600*a^4 + 1619/6200*a^3 - 1231/3968*a^2 - 15109/99200*a + 38729/99200, 1/99200*a^19 + 1/6200*a^17 - 13/99200*a^16 + 11/49600*a^15 - 3/4960*a^14 - 11/24800*a^13 + 133/49600*a^12 + 91/99200*a^11 + 151/24800*a^10 - 231/12400*a^9 - 1007/99200*a^8 - 247/1984*a^7 - 1417/24800*a^6 + 162/775*a^5 + 11611/49600*a^4 + 3981/99200*a^3 + 1943/6200*a^2 - 51/992*a - 24737/99200, 1/1190400*a^20 + 1/595200*a^19 - 1/238080*a^18 - 23/119040*a^17 + 43/238080*a^16 - 97/297600*a^15 + 49/119040*a^14 + 13/297600*a^13 - 7387/1190400*a^12 + 37/19200*a^11 + 733/1190400*a^10 - 1123/19200*a^9 - 15139/1190400*a^8 - 24199/297600*a^7 + 881/595200*a^6 + 62491/297600*a^5 - 1831/38400*a^4 + 61501/595200*a^3 + 42803/1190400*a^2 + 65979/198400*a - 1289/79360, 1/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400*a^21 - 25127477985140023470119563895454825209224900006062362011834882803440180089/60890501690846079155720625213239218015495293222375221679913223186840602620936600*a^20 - 7396236002081974474043488685404914214733284213411090006285696062135415065941/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400*a^19 - 100560702808955198220545456256395033479792250274280728198905875818958334261/24356200676338431662288250085295687206198117288950088671965289274736241048374640*a^18 + 697609575138263487455720735902241356129224695852919578044372982883718691530007/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400*a^17 + 34134948293197528661032496329720450331162954163220811022032843973005614124527/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200*a^16 - 175026289546580217448849680885750052355359926201354807837782256480535401215611/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200*a^15 - 476710024626039532622158137989398737696874745930598405098060804063752392127/19484960541070745329830600068236549764958493831160070937572231419788992838699712*a^14 + 76645616872984788177780244523388131379424009098322034974510437327018345119549/155879684328565962638644800545892398119667950649280567500577851358311942709597696*a^13 - 5687997454477279064739262767757318607507951893627751644862043866477823722397037/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600*a^12 + 45037882543999314042017285019336584542828313958663184479970800463170431108626333/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400*a^11 + 81072212736788538068258432203838990350295622588340000729429869493503339602731/7856838927851106987834919382353447485870360415790351184504932024108464854314400*a^10 + 144003289080949936772495340368447082144251878167916803088193545532774470789786493/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400*a^9 - 16344236597989800962318401514210374999040528631723400318664733274471700724138391/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240*a^8 - 1362769889487982554719071839630718004031397838282963787367844465621241186689023/77939842164282981319322400272946199059833975324640283750288925679155971354798848*a^7 - 2194794607533984571017987835027622268745972926607072816964844565702497671237447/243562006763384316622882500852956872061981172889500886719652892747362410483746400*a^6 + 782374691085963101271846544164053624453486286663997273098599055667248245226116903/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400*a^5 - 42215773360711295379912205775303613661550530690284912872825418282803005036482373/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600*a^4 - 315641546599832033301492000945520553681320414936563229903111989707332382798245001/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480*a^3 - 25642853524784703825759636223812317444701040962408728335859416033477864246831577/54124890391863181471751666856212638235995816197666863715478420610524980107499200*a^2 - 162124874951718500745157206754684014527340740160963442442965673000557440382474877/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800*a - 3414274242112249445346269594189593275136374328873781650841005636256642515787927/6983856824756539544742150562091953320773653702924756608448828465874190981612800

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$13$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{28\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!35}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!35}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!80}{50\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!35}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!35}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!18}{50\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!35}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!35}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!12}{50\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!35}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!20}{56\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!04}{42\!\cdots\!25}a+\frac{25\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!75}$, $\frac{82\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{92\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!47}{97\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!09}{97\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!00}a+\frac{88\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!60}$, $\frac{76\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!69}{64\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!99}{64\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{78\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!93}{64\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!87}{64\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{98\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!00}a-\frac{34\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!00}$, $\frac{64\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!69}{97\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!91}{97\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!03}{97\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!07}{97\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!31}{64\!\cdots\!00}a-\frac{18\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!00}$, $\frac{11\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!40}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!00}a-\frac{11\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!20}$, $\frac{25\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!40}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!61}{97\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!53}{97\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!20}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!21}{97\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!80}a-\frac{17\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!00}$, $\frac{49\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{81\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{73\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!73}{62\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{97\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!40}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!80}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!00}a-\frac{15\!\cdots\!51}{86\!\cdots\!20}$, $\frac{90\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!80}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!80}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!00}a-\frac{64\!\cdots\!17}{86\!\cdots\!20}$, $\frac{18\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!40}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!53}{97\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{90\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!17}{62\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!03}{97\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!80}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!99}{64\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!60}a-\frac{87\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!00}$, $\frac{10\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{86\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!48}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!87}{97\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!33}{62\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!77}{97\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!87}{97\!\cdots\!56}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!71}{97\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!97}{97\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!60}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!87}{76\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!93}{64\!\cdots\!00}a-\frac{40\!\cdots\!27}{54\!\cdots\!00}$, $\frac{16\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{93\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!49}{64\!\cdots\!40}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!33}{64\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!16}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!20}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!80}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!49}{64\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!71}{64\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!87}{64\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!80}a-\frac{10\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!00}$, $\frac{15\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!49}{64\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!21}{64\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{76\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!00}a-\frac{10\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!00}$, $\frac{56\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!07}{64\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{94\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!16}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!53}{64\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!93}{64\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!08}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!73}{64\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!59}{64\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!20}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!81}{64\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!80}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!00}a-\frac{52\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!00}$ 2839529137760654059385552547601272599408597955524768507428/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^21 + 18021914885258881508787004596564302287685321481866035319102/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^20 - 63353602186474937466199135621406627176097678518791188390572/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^19 + 55581821760909387894237606186482693592471553064685549963452/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^18 + 357215579689079821732466445756400232582709878124232713527180/5090598238223475322335292906044236879089362575058506890041939313827a^17 - 64270845370800269652089236531173477964155306357583764119194867/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^16 - 524945787961696100192830800785867234266175395006289608589392808/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^15 + 114155674334447646595622071194862895652719828234755122233364776/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^14 - 1032282256180531819343677904117097229808241484129878144104180156/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^13 - 1964745328633881370540270204314975518222023979499758807645929018/5090598238223475322335292906044236879089362575058506890041939313827a^12 + 130170045801647100253680103142140142422757015448917357513450818588/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^11 - 766781208559566064784166544007992551172693354512623905544336837468/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^10 + 6347214805749368693705198963966277143013169547816912708980739764/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^9 + 1695858963677451529510553817405024684070084329900828692832565533526/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^8 - 1298838499915741096043358071495048132504746741847501585409647925512/5090598238223475322335292906044236879089362575058506890041939313827a^7 + 132950150871871436538866432519793676705485712147358632908478346930488/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^6 - 261629069044123986326460968618076848072260166886483097510761468058948/127264955955586883058382322651105921977234064376462672251048482845675a^5 + 73470186706840660246965894786609821686136859855879039307356054934582/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^4 - 103636344127928553252720605197725224950983145217088631791839731453772/25452991191117376611676464530221184395446812875292534450209696569135a^3 + 1895773285748085563622581109398684593377186810293935141289022795420/565622026469275035815032545116026319898818063895389654449104368203a^2 - 57904780834597033700934410524324280133016764391625342855811923365604/42421651985195627686127440883701973992411354792154224083682827615225a + 25885753973793162956182805189777756450738873297269128162564535491883/14140550661731875895375813627900657997470451597384741361227609205075, 8206971133205189335236231048862639851525337425094755746717705827716181073/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^21 - 3530375850540832650555313914911504337279193065698985001848218115228849691/487124013526768633245765001705913744123962345779001773439305785494724820967492800a^20 - 254296047162204644790107541003134534887541680616806579284567109983253215853/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^19 + 9205383228017859350883324048958461476896103691097156323889757441124473189/24356200676338431662288250085295687206198117288950088671965289274736241048374640a^18 + 1862738602801084190150949886426615142010934785434612968691042512082584595983/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^17 - 61296215958513778645209666599895418571140824124769616746693933760811605750361/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^16 - 168107020966950099945782732238445382309491321469265697234051424858726080235291/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^15 - 99481096677472252930520142313284358218301449783178488542126323472793455743811/487124013526768633245765001705913744123962345779001773439305785494724820967492800a^14 - 15433537070033113824214977249942598668113998756353502831088960064143915066975483/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^13 - 4423410243206729934365173317488081972694615393232459245857210404231035921021347/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^12 - 147442550871028294564076003426726967418869593567082163885564920346786060031962507/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^11 - 23093501144378072177631067660302681208124760541524375018998533242248094170858141/121781003381692158311441250426478436030990586444750443359826446373681205241873200a^10 + 79691923605529973409756786420565701475173475658784171913898956057560952396128689/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^9 - 2688646112734462311490546348719956687875852300014958727446908452405273955771428347/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^8 + 3792523188354232994163238308815088210257513611550608828716363323434648494469446961/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^7 - 35310089307205013476944740229891643210528310455551758242561797237034777212836561/121781003381692158311441250426478436030990586444750443359826446373681205241873200a^6 + 12938921296448906387686291940540519844656804999863068083790499397866345012732777/125709422845617711805358710117655159773925766652645618952078912385735437669030400a^5 + 7761671121565174055738213121313735264296815219550742160066226022904962882949190709/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^4 - 42400272337637807765878865345067989408196199198430335415649653166601550457745120853/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^3 + 1686919168849464090686479553619839104286874262590207884485441957565095760182659487/162374671175589544415255000568637914707987448593000591146435261831574940322497600a^2 - 8230757390261699298537786902777557653178034329094239089206273232574614461482375189/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a + 88941344688318541282854025525220711284323385114962050991262726491805836264341827/43299912313490545177401333484970110588796652958133490972382736488419984085999360, 76496832335167926121478037294049837186449778455931246063759086464723565319/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^21 - 516475123244880384195828653860929465412737877353430769181227914571022406939/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^20 - 1200226193765487874827166005727850284683419794242023595250326911387806809497/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^19 + 20003029445680852176145845882065832991662592047753238649747490470575308143179/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^18 - 34876283020646641421859943394117077081068305582761430081038132713281051852497/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^17 - 226648460479357813044406201789666331185982849109286050012427417804146618642803/259799473880943271064408000909820663532779917748800945834296418930519904515996160a^16 + 307192854774477904135754302460128850224743156437301705630841670738519075681969/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^15 - 762030495021972972195972477157380312522476503669490673969627239040900619673599/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^14 - 123716843959866106241147411529203776068826807190030317589102503991416985247750577/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^13 + 11888035234353512548857124770433729376142487541619885328566189638945905017433901/51959894776188654212881600181964132706555983549760189166859283786103980903199232a^12 - 1337894478691622158741740033991226596381116840189767382378849120933987944218053911/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^11 - 2086529739747515985813171854068111137250400571135986143972988112137091227775821363/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^10 + 21257431556550362877363523267191155027273363315599094061565598376395776509658861037/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^9 - 78208027872073513498334865735049730861976611163647457339632140679870139172112606773/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^8 + 140706382177060192479065645418136247958443739696010465642214770868457789168232514393/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^7 - 247036632797568064656474353401548239618964060145226259802370155338828750674634982687/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^6 + 726929264284979640145609567498162577156425019333510715360453622162939212816794251493/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^5 - 985214413373528485559170847902023229528202272328504363500861413662813056293758487937/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^4 + 694426149046827983078338021996426959548338169007990286874769267413777351098562834471/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^3 - 174308927404395877951029959629807654726837583202143914353439751525937231652813015223/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^2 + 141346402950739531694353580945259531187958246267533353145185555035794518153526502407/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a - 34291403226474636682311985382465244797546030342664304128029894374191696610219925623/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600, 64364088147712958305951543838508475077965021284352772959436919088920604897/243562006763384316622882500852956872061981172889500886719652892747362410483746400a^21 - 6705961575793205508088767474987213740796423455773015643574297042470086213667/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^20 - 8813584940482166646691176741392481201894216913946453858140117628064110960573/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^19 + 263556026711874502108062206802399024718069518326236860198370318577090411878703/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^18 - 40573350265879159922510065615193587668560351335091898410707154503222511808203/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^17 - 15303603011931702074564472281425613446492001689432621717097399643384604436152169/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^16 + 1104202452532090162046215340500850852953983349059739608050409713149592799602069/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^15 - 10733965748831506191742575331083388101159420526456515052845882080644821465863543/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^14 - 415300250608716067222499709369696000253915350909202932697775434997468992841649191/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^13 + 3610872562160850814858543218566964189800583793001276393078873674943169426685991449/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^12 - 8664405625110302824302254695262312796015870502565839339639005140598365022303988991/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^11 - 30691271202851428954516313880935296979634524952173067462500294235736498221562025959/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^10 + 890812812057837783936560096781391785358057638813726408179099335789857156749097973/12570942284561771180535871011765515977392576665264561895207891238573543766903040a^9 - 979731218484799721104385868736921257183344056851527524738994513304299706693243461411/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^8 + 907250477380476002313757115253595598789249822861819386924619473105120266457835652803/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^7 - 3000457508589158885673107763768155642448705947053574095262339099286605909491623028811/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^6 + 2336724433234042844125695065538070174497326070412124086946015894121125573321206736707/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^5 - 13135312061475603947849886145315011904564075484162063255801313357139903212617343212093/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^4 + 4625782999703773571234800985720242684187806572698580992784243843789208911332092323911/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^3 - 3086495932487961370462461176074047049117997338249831491511444232860410187123488483187/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^2 + 1091586211566012566631210170491153348160489751225447379837701448788439386146044785031/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a - 184443306342393578507292218140670463658047054908533330879101725231839084204349998727/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600, 116107564981355990859781739223075264567455431138338727383107144202710367316747/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^21 - 153458749455872533357671639976305065206457290329223026146875964689499355582389/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^20 - 1925918729380836382705077292973635626878810769343615294970806147435390092338657/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^19 + 6002886698690413187304169319019853494909298521759520242454890648832775263606001/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^18 - 48624522818035691612261821748410643630462740597991149382062957460346854417721997/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^17 - 1724540958808957287514857285950245234198050284127587502624102703673770584642304669/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^16 + 338897921467988036105633116188628463249591619990262270079550494631908326871624321/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^15 - 230691820708577017686367102385825091530403292797063416719043950022497325817577949/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^14 - 187586138661912525312161212894921455444672879024402406545725005869849097881609758749/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^13 + 425618368767732283352698071092077864867083303029684640533426310690396294136472370119/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^12 - 394882290796872560893145312855659488390221317140386881188178806929433181740678957763/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^11 - 3363442697443438624452327455123710349408026114010349010959255148670179921192905672269/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^10 + 31776406043097727492588032800401721842006722509317648591004238584305895352058097576201/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^9 - 113609691498056192482557743548924691694278708948638535841159420911899390085371344451327/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^8 + 207795599375744795041766325473562792659971656295111446243743430916807097222216663493809/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^7 - 348052091069937031469275776689161165225837308543447364553920940557397008862671602314833/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^6 + 1048684526147859314624987698912664753979624471284510356708201642501683363119373947688737/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^5 - 1412200992646240490039681635686096756778209742282372379996592663616816979268166887701659/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^4 + 931097245348769643357670446617876875249890076965161392540552256577654675256123851688751/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^3 - 10954849195171027224790810332755766605338809661268723785397385342067923645077945501617/51959894776188654212881600181964132706555983549760189166859283786103980903199232a^2 + 181857924394848302674838360985118512699501392322343390084108208991964872513356595275851/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a - 116869708477665807112337098956520555773140320662489161765632820899365463988049961829/2793542729902615817896860224836781328309461481169902643379531386349676392645120, 2549346344303347605327096718252877759110399721028074188658014811137109066437/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^21 - 14669393377441688010298986402504924345558660114954375312948851973053207271691/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^20 - 10642343623690417091583150156461663745317634923587451191213871877118685572903/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^19 + 605947954719869108380664970772727666680156706454853898152677073260343815726349/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^18 - 592397091433299028272665635816704930975047243650071544621495049234472725895493/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^17 - 38032129931011032537524366142497369852062771817761474203927678194189559730932181/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^16 - 8786076024385288226611321399879153275843657217671981660728700772710275997119761/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^15 - 44861788440577654637439126192329588581815428837834613982623150647272036425909853/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^14 - 4232694754820479218062108191592355572205770257387085812737377960666285919948862831/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^13 + 5653043340616341776032048768889591315238671631331682474399207505259657408175795417/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^12 - 41152270266276849381949396846265744429881562682696026459593634135132108892495406469/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^11 - 108143663358098694876049100985596353346112948258611520885366600224338480307375343461/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^10 + 581248617318152738778345706334243711467154618527593221916653036335571281926575288417/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^9 - 83301620338901451982033808722600849096611936691476251702973219212642005349237688943/77939842164282981319322400272946199059833975324640283750288925679155971354798848a^8 + 762984291475031013097837230899976594815431438729061392410510331937373185745458547163/194849605410707453298306000682365497649584938311600709375722314197889928386997120a^7 - 4865953759922937675484364493478790008696670841738346244090509763089290073563863031121/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^6 + 18583088526828357167116193557479313239999915458209341532972485066364072697691719403707/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^5 - 18102402144522599855242977675022374115674432242446147424879408851480132043446838627101/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^4 + 13806778226771577122504629479544112869895485510206495524685932803611049483025520128237/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^3 - 1236109284322720256165240806264630102989092949776219702643067838980632712439073105571/216499561567452725887006667424850552943983264790667454861913682442099920429996800a^2 + 457906932001385616014168643145778640031395275461886000310394421015558364250098951707/129899736940471635532204000454910331766389958874400472917148209465259952257998080a - 170134882438579304824244840625631053431995357251775577760367132677718316785485391747/216499561567452725887006667424850552943983264790667454861913682442099920429996800, 4936327976510189781507301594502252790060139292369730826209861166048921345453/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^21 - 32620955311868335884843240624888400332611404873988077090009388468917938845257/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^20 - 81899412342467391781194777998617463580214523694326848893990435495829027002371/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^19 + 255216862389807203032833457998524452515255008636461794996423548396428899989069/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^18 - 2066339216560298066804086497310196349651368487621373296583742571512032325056243/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^17 - 73321533289670291800617598174529183382266657204750703800438501299055183610003493/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^16 + 464286344807373444710390430273637443959695147184172462150080752786617375783773/62854711422808855902679355058827579886962883326322809476039456192867718834515200a^15 - 9781559189086743586833627785843098193057498318485578722909460304213742302070489/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^14 - 7974068463299752865988459356947695864961264647976762152530754581825870007932072731/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^13 + 3618457172069396907735023982616404418860801002244290558598510941958037737444642811/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^12 - 83930770382102341802450542078100347045525203129727753887646944242474948819969891021/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^11 - 142913549208032811484258988243246941157278247826225123924947265014456479835781089801/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^10 + 1350883421264335327115427366272094870956805523465470560005601580804431583878972533943/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^9 - 4829559289641552423717222395928425433904831943113326246181093654512344123831577938743/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^8 + 8834489963832480289170063651596774212188105847699153543980016583827764972939739884707/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^7 - 14803709056395904207733474469149923419128968281161655200593541793891141665398916376613/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^6 + 44603302227167838285754090925627572574881627378389438120484611877512663152467189372727/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^5 - 60073968452251389328227990162337399686963241894739520178714808972939223133272983133547/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^4 + 39641981158610726261418720013160181111398076126901687254143278440943684052125961787149/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^3 - 11650821606494497027130994684114398166541573467134752243172412142453432782093431736757/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^2 + 7742045422862326711321817249521427503452515986952605357470813212010212595173602378309/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a - 154480075895668238617917904540060610299766487351540798089847024943655198204292657651/86599824626981090354802666969940221177593305916266981944765472976839968171998720, 900657469259898722000579699838252808729416567223830785336336662926906446411/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^21 - 5379028341266877017014615290068410662587632248902026961155510986636349886279/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^20 - 23175754278981529777755329300493928919950136224730315330718832360735261349341/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^19 + 247947934534899865819297922063788185792851482464683681494457522813034162547091/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^18 - 78024881466887914465606526085016762260801107866308571513297274383470699706697/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^17 - 14941650429361791085703304953570784162524918175324356163882659798434881072494879/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^16 - 2083802524425824830840150665635933077160558170925948037144482860983598775085971/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^15 + 33566406872329062597933407865418273538607184146407316406873310509887396893680057/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^14 - 1412343205681811194509108358222836072095515151618855429786482662003771565295273477/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^13 + 1599330846576330495859460856590337898855764927049914112537905213399854169180641137/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^12 - 6475760445488289060300196805738330241027088334182992211999491184964321153039995603/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^11 - 36498565126056050688070701400928090014636177636619943574105924026254377638991099819/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^10 + 8753533120580574335601530885105676720757137797084172083431715002689177543348249997/155879684328565962638644800545892398119667950649280567500577851358311942709597696a^9 - 506028042831529625173441087499003237123405877452404051287829419353808823304351414789/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^8 + 846156829302951731094816420930446169589123170660708732647320994994235966545531249661/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^7 - 1269249134359490505664170999985554183887583416592422903420000214079452510441360797423/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^6 + 687995533461378276076227923967782492268653559636185014976560356852190510995794860997/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^5 - 4799800034205869328211768497867101935444401713682854419291899056306515102647383350493/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^4 + 510699012182030798084430272730606288473789052974385901008680849593972110135756156791/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^3 - 287663756115430088493166543049307139277481721658714983628456378610008720358874791973/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^2 + 527759823892540075129008961509359263485717736494201677782708989854026823317086358199/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a - 6404323540883077481701746990144960127582519563753806940745774320694450954317136417/86599824626981090354802666969940221177593305916266981944765472976839968171998720, 18043980069898348814850996945251690056653887573970523839756621696303497637647/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^21 - 11100636699156002946782027439122705994096207073591269937844040158426308105271/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^20 - 350958071844352716941885919948706196599254391296797832822539871292208926132159/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^19 + 451058621490824303329029083137255932880934776519558229655316186879473823253807/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^18 - 5479492210096400750689726462301282388112738304359857791320332213485633225573579/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^17 - 33845655883379483114753873553173580717989413005250276167023636629479900245319367/487124013526768633245765001705913744123962345779001773439305785494724820967492800a^16 - 8950539829514665258466426986773851035792631068293135115219652840840301775159649/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^15 - 87945972835407322404385087870149772954479592614467123630656190499217670538950653/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^14 - 29316730341668310770296965856730605739482603232156722299991698862424955605612191181/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^13 + 26385043078274761085442703413824283965243019514492612632557788591637547553383681227/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^12 - 9068604277683926856763378449802965499288473312129969368216448693101235961371119719/125709422845617711805358710117655159773925766652645618952078912385735437669030400a^11 - 327167937594469546960673465037994738039967345777186860610539953828741903564179364779/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^10 + 4654595804879794146868772524745156131799350869771500015088582743374912788331625317591/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^9 - 1936817436790070337142331070664435610811075784534132112937992295751609220239265507671/487124013526768633245765001705913744123962345779001773439305785494724820967492800a^8 + 923166070622622324176523804179318575654200990525417375786370082091264668586352490317/62854711422808855902679355058827579886962883326322809476039456192867718834515200a^7 - 20285428365935569440099436732248471214452440569658721567023177756523370797557917482403/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^6 + 24572180107562531623955122532299242606676491783010758896596284099540344662064918926589/779398421642829813193224002729461990598339753246402837502889256791559713547988480a^5 - 15914371480805531644551072387540273763749720165713588112811343895209591824916081218799/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^4 + 67247406088457278921232417370063038252742952787964289070300254831043408068015484832649/3896992108214149065966120013647309952991698766232014187514446283957798567739942400a^3 - 15542470678203276239056055522869321083472003995417133559599103844146831484529509701699/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^2 + 2768466900548992787790032382109334393699839886315200882060436097971530101639851752381/259799473880943271064408000909820663532779917748800945834296418930519904515996160a - 87967103144396613183265742896646155153127305244067726152597344682196077915064965449/108249780783726362943503333712425276471991632395333727430956841221049960214998400, 104771083009070186725539717162817001229555071856280720237890149299892493009053/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^21 - 86557484359229955004576463264458167500809393865479736383096518492325630979527/243562006763384316622882500852956872061981172889500886719652892747362410483746400a^20 - 69493748202625076242076837492060648362149483337921246112263155365943322957273/77939842164282981319322400272946199059833975324640283750288925679155971354798848a^19 + 13542674039749484393031460163348105245238885850351555723559593774230694410346487/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^18 - 1416065147386169913697340065384261724094320033928963400692696159606202426192433/62854711422808855902679355058827579886962883326322809476039456192867718834515200a^17 - 389032303334853277170584397240583288005562576547179065453168405159089899440408137/487124013526768633245765001705913744123962345779001773439305785494724820967492800a^16 + 306425521130088774759204726995652169815295065066700795274736203380552265852534377/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^15 - 520483082362109071675055709205637014004159735336796246780580553862717516123671863/487124013526768633245765001705913744123962345779001773439305785494724820967492800a^14 - 33853744804409790578193408784286775077159854406292255251578296240177217889019248791/389699210821414906596612001364730995299169876623201418751444628395779856773994240a^13 + 1920984659076112208082612153756988607399348104690302523797886404661134388391546687/9742480270535372664915300034118274882479246915580035468786115709894496419349856a^12 - 1781913406606383637556129719815345333917737500546070001533341295520348072353472069119/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^11 - 1516826466945595817916364298357708314025105487480170595534936338690537393263742922971/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^10 + 28676498872906592954390578770715626856571161317473460764976315107046179160598507929139/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^9 - 25634791392725383715947184513744237537989290459862527844822802517545883839225189697743/487124013526768633245765001705913744123962345779001773439305785494724820967492800a^8 + 187546108106100484291403097211351403711147347839363767757046085637384652917254435549497/974248027053537266491530003411827488247924691558003546878611570989449641934985600a^7 - 31421216757701734845417816967436981622208451487330107418004976212559604308749959009737/97424802705353726649153000341182748824792469155800354687861157098944964193498560a^6 + 946742009099498228470268197226856293944062538152871043484336244249570231212477847608271/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^5 - 4980468227651246583467415550781419466420876010527118507943542729441435135740447070287/7611312711355759894465078151654902251936911652796902709989152898355075327617075a^4 + 841025142956988069631322704972428182954562487730055626525681872573422073657864724214463/1948496054107074532983060006823654976495849383116007093757223141978899283869971200a^3 - 123632303495928694876973055409528901396229972229834990918209037314228424255634104191511/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^2 + 164264303590129946485535998308705099941957167715667740361497647089328514950635673490993/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a - 4093167841615326797902588631335207643726845122029952379006914198337829783669691264027/54124890391863181471751666856212638235995816197666863715478420610524980107499200, 16803847536850706277786943870878996269294801573690015144794594675907338473/108249780783726362943503333712425276471991632395333727430956841221049960214998400a^21 - 93893481662705631150400357536275630100326477001390751927908806342552650343/129899736940471635532204000454910331766389958874400472917148209465259952257998080a^20 - 257987430558643616466896472785078291486903057884626341096121139796910203849/64949868470235817766102000227455165883194979437200236458574104732629976128999040a^19 + 20987103396008776950606513146885095664075849289950626682740087153826690448233/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^18 - 581851315155066109938212962360434495421129173401362150473391498058733432983/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^17 - 59966322898268458350179633924018300478308635512529709813075250986418345534041/25979947388094327106440800090982066353277991774880094583429641893051990451599616a^16 - 3786511554961241276272619333312290223264403271159985791025694288161004826867/1047578523713480931711322584313792998116048055438713491267324269881128647241920a^15 - 3329545166306925605941061476914956343806537776710355593567640157450389352853701/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^14 - 88031754160271394771243757780192551768082356377148653923407753946349021931762917/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^13 + 4068034504205487773926130435437280692303316496212796783618527470475222445357149/129899736940471635532204000454910331766389958874400472917148209465259952257998080a^12 - 851594915374606654305152149135357589017723291097119707824315493834477654008066227/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^11 - 6276924517141909211282364441471034447196316129435396321424303014653573120502891649/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^10 + 7287147794994963306034008544613190172384866917995620869370165653828261150843658127/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^9 - 71407732379070565378186582545980217568062737645096018603057071065293328634428138371/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^8 + 54211783937438072762632992663990189447893381749725282147749731948524022358777816917/162374671175589544415255000568637914707987448593000591146435261831574940322497600a^7 - 107997329818823507453262970869607362651822263040475198560667818487292363123660311997/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^6 + 262681947214825032774155707261052117078839164806936326106890373922985036999058209249/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^5 - 13959947539186151898261336624704854956086045390390354988890003975474239154180384987/20951570474269618634226451686275859962320961108774269825346485397622572944838400a^4 + 164066489634354547291857697782244851048333776564163547828728554026843685102716474511/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^3 - 291510982432649194068285838412226446711337948385502461940659330897165846830451173287/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^2 + 5199533098882101306261710704411987397079337261096830971033278827023169805229393361/21649956156745272588700666742485055294398326479066745486191368244209992042999680a - 10070480760976754794357594502998757294924224186607058703065880814294340870526847613/216499561567452725887006667424850552943983264790667454861913682442099920429996800, 158394537423772796625932018779235286748567725661095871465509297381988946171/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^21 - 432785400221150276334969463736715698988406240715055158198630983276068108223/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^20 - 72859962798301022323154710875465760223292438119530329719644284084830829167/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^19 + 42485768002328239276519893111322322870263115681888550275085075182844122378713/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^18 - 55733395158420041697874321822171430932348450972728096481791070792349151083959/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^17 - 2059261139882550138639022599803474437656278459277299625545447294664794958855877/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^16 + 885245109575906848432367172960338832282848379852745849170038935226216353018359/216499561567452725887006667424850552943983264790667454861913682442099920429996800a^15 - 9418150191172960566799110801443309514123352124349377889677420896911373448554549/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^14 - 95495113555880856317010946386675793661370111296450689109704988258215565938683663/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^13 + 1142063688838156485368961038893692534790974712872254692598015630829105447411287627/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^12 - 1515071534122253841896002553239205185128879099204217961134116971880076423097985281/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^11 - 585957579114079616265662570003749946985232783368777107227785924393828543801731533/259799473880943271064408000909820663532779917748800945834296418930519904515996160a^10 + 19108727147437685517194360481663902511920568112129868291210473422563904092507060443/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^9 - 262791366026065645681014298663492533804661409990744096616871823070646745109464707591/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^8 + 148128964800513729128642965276275923394838812939419317878443954060574116976519205247/216499561567452725887006667424850552943983264790667454861913682442099920429996800a^7 - 759787142810233972491580340352370988337106690238083322210635813694242277194599428221/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^6 + 769743640936910401978106317770248148336992215036766825692547332550747469065185991963/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a^5 - 582031178992397500719419425026392331406419282095716282913877227725236237174171176387/259799473880943271064408000909820663532779917748800945834296418930519904515996160a^4 + 1980018593322237516617339273992811253093995079325230436238572956875440458026016854867/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^3 - 1699822196756862902714227734876466471425387358123110703311293138239767594098613793127/1298997369404716355322040004549103317663899588744004729171482094652599522579980800a^2 + 359998622693765949758488893815141892378100373356951089751772218008807684313761952867/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600a - 103641860930934251968880814083883381208010780244606299139329956145254998782438305173/432999123134905451774013334849701105887966529581334909723827364884199840859993600, 564309899355101928581254958871705803596264712169422462553397924394673847183/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^21 - 7437546927363985156272447487522687717940429860517662460981562786341413854707/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^20 - 9412876406177267753605203067048105331928567922659706354495383734715528734279/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^19 + 11649577773574593021604098314170602212098606036370544304184182415314708694501/25979947388094327106440800090982066353277991774880094583429641893051990451599616a^18 - 234030907190181763726363834114241634630042132501602590776727249803369994973491/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^17 - 16764762570706950474187916448365601683432783964116331402251464064905091944724753/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^16 + 1568860763004834813461254087233200736161576002198969663763388934941393381971831/162374671175589544415255000568637914707987448593000591146435261831574940322497600a^15 - 11400042822030367433758994951618359493724882369219036100484915965262050996707197/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^14 - 912209366089588949473666400154571298030369042700344192334181954442757747437329609/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^13 + 4101889245533290405424366115194961081295849520375378674001976475642235124733215193/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^12 - 383433000800140430412405751341089684284583811088336616997127219762136670372386717/12989973694047163553220400045491033176638995887440047291714820946525995225799808a^11 - 33014827879333957626892263944732785953308627902801263633645136956525992035748525173/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^10 + 153883083918481532895317087305027229953101769385461898060560423264858551354725473511/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^9 - 1100372031716544607201280116693571192161071170272622211142872589531947376635471326459/649498684702358177661020002274551658831949794372002364585741047326299761289990400a^8 + 201283850227583753136685723791777535901726130897140509276195958468102492774543752093/32474934235117908883051000113727582941597489718600118229287052366314988064499520a^7 - 671421203267477071574116250442118181296788830019984862653041809122343689344250430381/64949868470235817766102000227455165883194979437200236458574104732629976128999040a^6 + 5076119762295493369577564242404796371585041712913201653196904774996532430778442853001/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^5 - 2721461692599145192576836656965696161631374610876395623802624485340545932821333184297/129899736940471635532204000454910331766389958874400472917148209465259952257998080a^4 + 4494102165385370328116254722614077433641254930061829565966087062271020074628703860381/324749342351179088830510001137275829415974897186001182292870523663149880644995200a^3 - 2641528466009249936525380771252458080555157613489935174187586783247206659868125826937/216499561567452725887006667424850552943983264790667454861913682442099920429996800a^2 + 875643930380803270199038662974260301653211581144323069910974669071718884946021884197/108249780783726362943503333712425276471991632395333727430956841221049960214998400*a - 522351149586560288930127709149737930409586638753583629724825581593253723080331027437/216499561567452725887006667424850552943983264790667454861913682442099920429996800 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 129933926047000000 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{6}\cdot(2\pi)^{8}\cdot 129933926047000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{80119853675928619057152000000000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 1.12834371095592 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 7*x^21 - 14*x^20 + 265*x^19 - 520*x^18 - 14689*x^17 + 11653*x^16 - 22154*x^15 - 1607845*x^14 + 4298285*x^13 - 18440204*x^12 - 22310537*x^11 + 285023156*x^10 - 1085639155*x^9 + 3962459515*x^8 - 7396721954*x^7 + 11379240893*x^6 - 15698920969*x^5 + 12781094360*x^4 - 10215692655*x^3 + 7469116746*x^2 - 3243825927*x + 549451881);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$M_{11}\wr C_2$ (as 22T48):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A non-solvable group of order 125452800

The 65 conjugacy class representatives for $M_{11}\wr C_2$

Character table for $M_{11}\wr C_2$

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{5}) $

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Sibling fields

Degree 24 sibling:	data not computed
Degree 44 sibling:	data not computed
Minimal sibling:	This field is its own minimal sibling

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	R	R	${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{2}$	${\href{/padicField/11.5.0.1}{5} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }^{2}$	$16{,}\,{\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }$	${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }$	${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }$	$16{,}\,{\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }$	${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$	R	$22$	${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }^{2}$	$16{,}\,{\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }$	${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{2}$	${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }$	${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2	2.2.0.1	$x^{2} + x + 1$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	2.4.4.4	$x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 12 x + 12$	$2$	$2$	$4$	$D_{4}$	$[2, 2]^{2}$
		Deg $16$	$4$	$4$	$44$
$3$ 3	3.2.0.1	$x^{2} + 2 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	3.4.2.1	$x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 13$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	3.16.14.2	$x^{16} + 16 x^{15} + 128 x^{14} + 672 x^{13} + 2576 x^{12} + 7616 x^{11} + 17920 x^{10} + 34188 x^{9} + 53458 x^{8} + 68592 x^{7} + 71008 x^{6} + 56896 x^{5} + 33488 x^{4} + 14784 x^{3} + 6308 x^{2} + 2732 x + 661$	$8$	$2$	$14$	$QD_{16}$	$[\ ]_{8}^{2}$
$5$ 5	5.2.1.1	$x^{2} + 5$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	5.10.13.6	$x^{10} + 10 x^{5} + 15 x^{4} + 5$	$10$	$1$	$13$	$D_5\times C_5$	$[3/2]_{2}^{5}$
	5.10.13.6	$x^{10} + 10 x^{5} + 15 x^{4} + 5$	$10$	$1$	$13$	$D_5\times C_5$	$[3/2]_{2}^{5}$
$31$ 31	$\Q_{31}$	$x + 28$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	31.2.0.1	$x^{2} + 29 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	31.4.3.2	$x^{4} + 93$	$4$	$1$	$3$	$D_{4}$	$[\ ]_{4}^{2}$
	31.4.3.1	$x^{4} + 31$	$4$	$1$	$3$	$D_{4}$	$[\ ]_{4}^{2}$
	31.11.0.1	$x^{11} + 20 x + 28$	$1$	$11$	$0$	$C_{11}$	$[\ ]^{11}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more