↑

Properties

Label 22.4.89814816729...4528.1
Degree $22$
Signature $[4, 9]$
Discriminant $-\,2^{22}\cdot 151^{11}\cdot 2311^{11}\cdot 24910163^{11}$
Root discriminant $5{,}896{,}668.68$
Ramified primes $2, 151, 2311, 24910163$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group 22T50

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![283387806180923778139516911237181187298863566502351586888060171469808217840060096000563691256839885538552395504212243, 0, 85250981988906328919751592540467398125516301996518291421959573140028237511664288009433412817980612093390615, 0, 9424011074022261152946034414793624539687127146424963172213534510497787303562636588544545074514647, 0, 451768370856126860241308044208349162281195558160970550493108599901855572804705581749739, 0, 5390789668257352445984987416818769498331207874384440256448010938109751829528, 0, -410234603418031762383384462130197113631475314083796487142186400646, 0, -19529018819360050704565836683305706609504623505697529548, 0, -322210865092605626920894378672118911225727924, 0, -1008475776612104694791025230553140, 0, 31531275754154229225223, 0, 350979911981, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 + 350979911981*x^20 + 31531275754154229225223*x^18 - 1008475776612104694791025230553140*x^16 - 322210865092605626920894378672118911225727924*x^14 - 19529018819360050704565836683305706609504623505697529548*x^12 - 410234603418031762383384462130197113631475314083796487142186400646*x^10 + 5390789668257352445984987416818769498331207874384440256448010938109751829528*x^8 + 451768370856126860241308044208349162281195558160970550493108599901855572804705581749739*x^6 + 9424011074022261152946034414793624539687127146424963172213534510497787303562636588544545074514647*x^4 + 85250981988906328919751592540467398125516301996518291421959573140028237511664288009433412817980612093390615*x^2 + 283387806180923778139516911237181187298863566502351586888060171469808217840060096000563691256839885538552395504212243)
 
gp: K = bnfinit(x^22 + 350979911981*x^20 + 31531275754154229225223*x^18 - 1008475776612104694791025230553140*x^16 - 322210865092605626920894378672118911225727924*x^14 - 19529018819360050704565836683305706609504623505697529548*x^12 - 410234603418031762383384462130197113631475314083796487142186400646*x^10 + 5390789668257352445984987416818769498331207874384440256448010938109751829528*x^8 + 451768370856126860241308044208349162281195558160970550493108599901855572804705581749739*x^6 + 9424011074022261152946034414793624539687127146424963172213534510497787303562636588544545074514647*x^4 + 85250981988906328919751592540467398125516301996518291421959573140028237511664288009433412817980612093390615*x^2 + 283387806180923778139516911237181187298863566502351586888060171469808217840060096000563691256839885538552395504212243, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{22} + 350979911981 x^{20} + 31531275754154229225223 x^{18} - 1008475776612104694791025230553140 x^{16} - 322210865092605626920894378672118911225727924 x^{14} - 19529018819360050704565836683305706609504623505697529548 x^{12} - 410234603418031762383384462130197113631475314083796487142186400646 x^{10} + 5390789668257352445984987416818769498331207874384440256448010938109751829528 x^{8} + 451768370856126860241308044208349162281195558160970550493108599901855572804705581749739 x^{6} + 9424011074022261152946034414793624539687127146424963172213534510497787303562636588544545074514647 x^{4} + 85250981988906328919751592540467398125516301996518291421959573140028237511664288009433412817980612093390615 x^{2} + 283387806180923778139516911237181187298863566502351586888060171469808217840060096000563691256839885538552395504212243 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $22$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[4, 9]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-89814816729714094690034635615977259767382470415665884551559211803518872278540698479285989313375051412956223992468516612438569815867619968291363094528=-\,2^{22}\cdot 151^{11}\cdot 2311^{11}\cdot 24910163^{11}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $5{,}896{,}668.68$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 151, 2311, 24910163$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $\frac{1}{8692675390643} a^{6} + \frac{350979911981}{8692675390643} a^{4} - \frac{1927973413914}{8692675390643} a^{2}$, $\frac{1}{8692675390643} a^{7} + \frac{350979911981}{8692675390643} a^{5} - \frac{1927973413914}{8692675390643} a^{3}$, $\frac{1}{75562605447090432651953449} a^{8} + \frac{350979911981}{75562605447090432651953449} a^{6} + \frac{31531275754154229225223}{75562605447090432651953449} a^{4} - \frac{1845369017376}{8692675390643} a^{2}$, $\frac{1}{75562605447090432651953449} a^{9} + \frac{350979911981}{75562605447090432651953449} a^{7} + \frac{31531275754154229225223}{75562605447090432651953449} a^{5} - \frac{1845369017376}{8692675390643} a^{3}$, $\frac{1}{656841200822789706320567329743126177707} a^{10} + \frac{350979911981}{656841200822789706320567329743126177707} a^{8} + \frac{31531275754154229225223}{656841200822789706320567329743126177707} a^{6} - \frac{116014429538879561980}{75562605447090432651953449} a^{4} - \frac{547807863198}{8692675390643} a^{2}$, $\frac{1}{656841200822789706320567329743126177707} a^{11} + \frac{350979911981}{656841200822789706320567329743126177707} a^{9} + \frac{31531275754154229225223}{656841200822789706320567329743126177707} a^{7} - \frac{116014429538879561980}{75562605447090432651953449} a^{5} - \frac{547807863198}{8692675390643} a^{3}$, $\frac{1}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{12} + \frac{350979911981}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{10} + \frac{31531275754154229225223}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{8} - \frac{116014429538879561980}{656841200822789706320567329743126177707} a^{6} - \frac{4264157689986224276}{75562605447090432651953449} a^{4} - \frac{2770395461904}{8692675390643} a^{2}$, $\frac{1}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{13} + \frac{350979911981}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{11} + \frac{31531275754154229225223}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{9} - \frac{116014429538879561980}{656841200822789706320567329743126177707} a^{7} - \frac{4264157689986224276}{75562605447090432651953449} a^{5} - \frac{2770395461904}{8692675390643} a^{3}$, $\frac{1}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{14} + \frac{350979911981}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{12} + \frac{31531275754154229225223}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{10} - \frac{116014429538879561980}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{8} - \frac{4264157689986224276}{656841200822789706320567329743126177707} a^{6} - \frac{29731720231460964}{75562605447090432651953449} a^{4} - \frac{2307218677902}{8692675390643} a^{2}$, $\frac{1}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{15} + \frac{350979911981}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{13} + \frac{31531275754154229225223}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{11} - \frac{116014429538879561980}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{9} - \frac{4264157689986224276}{656841200822789706320567329743126177707} a^{7} - \frac{29731720231460964}{75562605447090432651953449} a^{5} - \frac{2307218677902}{8692675390643} a^{3}$, $\frac{1}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{16} + \frac{350979911981}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{14} + \frac{31531275754154229225223}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{12} - \frac{116014429538879561980}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{10} - \frac{4264157689986224276}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{8} - \frac{29731720231460964}{656841200822789706320567329743126177707} a^{6} - \frac{71848621803046}{75562605447090432651953449} a^{4} + \frac{108613817096}{8692675390643} a^{2}$, $\frac{1}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{17} + \frac{350979911981}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{15} + \frac{31531275754154229225223}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{13} - \frac{116014429538879561980}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{11} - \frac{4264157689986224276}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{9} - \frac{29731720231460964}{656841200822789706320567329743126177707} a^{7} - \frac{71848621803046}{75562605447090432651953449} a^{5} + \frac{108613817096}{8692675390643} a^{3}$, $\frac{1}{3750371026834884439817254955603134699879986336641154770759053076402094420399477952685266907} a^{18} + \frac{350979911981}{3750371026834884439817254955603134699879986336641154770759053076402094420399477952685266907} a^{16} + \frac{31531275754154229225223}{3750371026834884439817254955603134699879986336641154770759053076402094420399477952685266907} a^{14} - \frac{116014429538879561980}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{12} - \frac{4264157689986224276}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{10} - \frac{29731720231460964}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{8} - \frac{71848621803046}{656841200822789706320567329743126177707} a^{6} + \frac{108613817096}{75562605447090432651953449} a^{4} + \frac{1047116611}{8692675390643} a^{2}$, $\frac{1}{3750371026834884439817254955603134699879986336641154770759053076402094420399477952685266907} a^{19} + \frac{350979911981}{3750371026834884439817254955603134699879986336641154770759053076402094420399477952685266907} a^{17} + \frac{31531275754154229225223}{3750371026834884439817254955603134699879986336641154770759053076402094420399477952685266907} a^{15} - \frac{116014429538879561980}{431440363098324356771480959925626814720825356251530757631261185199415743777849} a^{13} - \frac{4264157689986224276}{49632632499165550236256724079019559608565548819282795022265561443} a^{11} - \frac{29731720231460964}{5709707341952660723407176859260212739643235662995601} a^{9} - \frac{71848621803046}{656841200822789706320567329743126177707} a^{7} + \frac{108613817096}{75562605447090432651953449} a^{5} + \frac{1047116611}{8692675390643} a^{3}$, $\frac{1}{22469340242076287151883108077753678350105151537197319475748503958919939648726325625326463490492305019603919508960427249365499699283934582557699789547796358583521181733463797483632574708785669000400594975603245821420193} a^{20} - \frac{2834068822431522475709464468891039448806285978110144233919562039953794154265719776835746871079956257466876428672841046174994183}{22469340242076287151883108077753678350105151537197319475748503958919939648726325625326463490492305019603919508960427249365499699283934582557699789547796358583521181733463797483632574708785669000400594975603245821420193} a^{18} - \frac{8611162386420575000930125124492697087785554800256225236795598162420057717001361668030737427269757361613304909806312281301175711642490784143}{22469340242076287151883108077753678350105151537197319475748503958919939648726325625326463490492305019603919508960427249365499699283934582557699789547796358583521181733463797483632574708785669000400594975603245821420193} a^{16} + \frac{13813927245220709471569083362308336037911536350421270361127411239116694926321187786986750674426289546224086912565774587449827485716305428929}{2584859002817799091088717539489718938212101149209822091010646649074985630329756264489295534642722692400992649714783491483729949135935262994249853777467894450457481721495600071718645398844299880033103381851} a^{14} + \frac{6444169538105638851097020414377904403583327483681147674718304317678039855794321322950143411793666563594262294284966042621727127560453461236}{297360580794285962361006979427951634397787888441103341228415202637069213628385674726805086160405562090114108504728153631788814139842745870938471588601959427244461018551552243893234497742006457} a^{12} - \frac{3190916806585422543830132105536327939959793407752057710963865664746600274103569738650643550959222632516423756285645193257025360799094949506}{34208177279272601984328175442431724991436070324904879257144487167457119134378575607135338116544754546640885359373584562866277612825909212502114606739398758925821066069079257129699} a^{10} - \frac{2882606762658674359547406334725097178532620556735871460241282033387227733271176274810702883115723115409137511090618979292054724794190223457}{3935287554404146694685939390375494737463632264855085507897087962682946978694604251158481092556920062803217797252994571931507740688100137976009963259518926146159749393} a^{8} - \frac{18333439471198928380929969124287634542842952812492516104520502035572833557560963454423063974843677958428128598506644532708413715200364939930}{452713046047961559286651345639881063385387584465900697930641789893588135906801309852018740840392984287297205556442901839305304463396835436879899189886251} a^{6} + \frac{12195786336776714946289073393765553218513065407162470186687539961712537002616528729541046057960163287724233551200235249917214917784068729444}{52079828787265255211196812738578693526307035437163065874538073431528443936329770206794607867834352828431077153999387894925603341431074937257} a^{4} - \frac{627259958259131195523691828004660242924199584027088131308323845555443190568631862842608319627753698306474622630608682738334547}{5991231289198398732825825945557560667558014486944192972956851360110110877127665170159025018351927638428793057978169130579445299} a^{2} - \frac{139220233871720481346556739810860960689227280350994162221196222124160211477504362285069000615753580987897483693354}{689227541574542268004027614705507933536486617347416222567867305234662880913326839152998195734598781396741658558593}$, $\frac{1}{22469340242076287151883108077753678350105151537197319475748503958919939648726325625326463490492305019603919508960427249365499699283934582557699789547796358583521181733463797483632574708785669000400594975603245821420193} a^{21} - \frac{2834068822431522475709464468891039448806285978110144233919562039953794154265719776835746871079956257466876428672841046174994183}{22469340242076287151883108077753678350105151537197319475748503958919939648726325625326463490492305019603919508960427249365499699283934582557699789547796358583521181733463797483632574708785669000400594975603245821420193} a^{19} - \frac{8611162386420575000930125124492697087785554800256225236795598162420057717001361668030737427269757361613304909806312281301175711642490784143}{22469340242076287151883108077753678350105151537197319475748503958919939648726325625326463490492305019603919508960427249365499699283934582557699789547796358583521181733463797483632574708785669000400594975603245821420193} a^{17} + \frac{13813927245220709471569083362308336037911536350421270361127411239116694926321187786986750674426289546224086912565774587449827485716305428929}{2584859002817799091088717539489718938212101149209822091010646649074985630329756264489295534642722692400992649714783491483729949135935262994249853777467894450457481721495600071718645398844299880033103381851} a^{15} + \frac{6444169538105638851097020414377904403583327483681147674718304317678039855794321322950143411793666563594262294284966042621727127560453461236}{297360580794285962361006979427951634397787888441103341228415202637069213628385674726805086160405562090114108504728153631788814139842745870938471588601959427244461018551552243893234497742006457} a^{13} - \frac{3190916806585422543830132105536327939959793407752057710963865664746600274103569738650643550959222632516423756285645193257025360799094949506}{34208177279272601984328175442431724991436070324904879257144487167457119134378575607135338116544754546640885359373584562866277612825909212502114606739398758925821066069079257129699} a^{11} - \frac{2882606762658674359547406334725097178532620556735871460241282033387227733271176274810702883115723115409137511090618979292054724794190223457}{3935287554404146694685939390375494737463632264855085507897087962682946978694604251158481092556920062803217797252994571931507740688100137976009963259518926146159749393} a^{9} - \frac{18333439471198928380929969124287634542842952812492516104520502035572833557560963454423063974843677958428128598506644532708413715200364939930}{452713046047961559286651345639881063385387584465900697930641789893588135906801309852018740840392984287297205556442901839305304463396835436879899189886251} a^{7} + \frac{12195786336776714946289073393765553218513065407162470186687539961712537002616528729541046057960163287724233551200235249917214917784068729444}{52079828787265255211196812738578693526307035437163065874538073431528443936329770206794607867834352828431077153999387894925603341431074937257} a^{5} - \frac{627259958259131195523691828004660242924199584027088131308323845555443190568631862842608319627753698306474622630608682738334547}{5991231289198398732825825945557560667558014486944192972956851360110110877127665170159025018351927638428793057978169130579445299} a^{3} - \frac{139220233871720481346556739810860960689227280350994162221196222124160211477504362285069000615753580987897483693354}{689227541574542268004027614705507933536486617347416222567867305234662880913326839152998195734598781396741658558593} a$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $12$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

22T50:

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A non-solvable group of order 40874803200
The 376 conjugacy class representatives for t22n50 are not computed
Character table for t22n50 is not computed

Intermediate fields

11.9.8692675390643.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 22 sibling: data not computed
Degree 44 sibling: data not computed

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R ${\href{/LocalNumberField/3.11.0.1}{11} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/5.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/5.5.0.1}{5} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/7.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/7.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/7.2.0.1}{2} }$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/13.11.0.1}{11} }^{2}$ $18{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ $16{,}\,{\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.2.0.1}{2} }^{2}$ $16{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.11.0.1}{11} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.11.0.1}{11} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/53.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.2.0.1}{2} }$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.2.0.1}{2} }$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.10.10.3$x^{10} - 9 x^{8} + 22 x^{6} - 46 x^{4} + 9 x^{2} - 9$$2$$5$$10$$C_2^4 : C_5$$[2, 2, 2, 2]^{5}$
2.12.12.6$x^{12} - 18 x^{10} + 11 x^{8} - 52 x^{6} - x^{4} + 6 x^{2} - 11$$2$$6$$12$12T105$[2, 2, 2, 2]^{12}$
151Data not computed
2311Data not computed
24910163Data not computed