Number field 22.22.3887740450132432227599338487287650162637926293307392.1

• Label: 22.22.388...392.1
• Degree: $22$
• Signature: $[22, 0]$
• Discriminant: $3.888\times 10^{51}$
• Root discriminant: \(221.30\)
• Ramified primes: $2,11$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_{22}$ (as 22T1)

Normalized defining polynomial

x^22 - 132*x^20 - 66*x^19 + 6655*x^18 + 5082*x^17 - 170555*x^16 - 153384*x^15 + 2450745*x^14 + 2326170*x^13 - 20269106*x^12 - 18832068*x^11 + 94402066*x^10 + 78832116*x^9 - 232494471*x^8 - 150054366*x^7 + 279988984*x^6 + 107448594*x^5 - 142846814*x^4 - 6484632*x^3 + 27894009*x^2 - 6933498*x + 503359

Invariants

Degree:		$22$
Signature:		$[22, 0]$
Discriminant:		\(3887740450132432227599338487287650162637926293307392\) \(\medspace = 2^{33}\cdot 11^{40}\)
Root discriminant:		\(221.30\)
Galois root discriminant:		$2^{3/2}11^{20/11}\approx 221.30245880914455$
Ramified primes:		\(2\), \(11\)
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{2}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$22$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(968=2^{3}\cdot 11^{2}\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{968}(1,·)$, $\chi_{968}(133,·)$, $\chi_{968}(705,·)$, $\chi_{968}(265,·)$, $\chi_{968}(397,·)$, $\chi_{968}(749,·)$, $\chi_{968}(529,·)$, $\chi_{968}(661,·)$, $\chi_{968}(89,·)$, $\chi_{968}(793,·)$, $\chi_{968}(925,·)$, $\chi_{968}(837,·)$, $\chi_{968}(353,·)$, $\chi_{968}(485,·)$, $\chi_{968}(881,·)$, $\chi_{968}(617,·)$, $\chi_{968}(45,·)$, $\chi_{968}(221,·)$, $\chi_{968}(177,·)$, $\chi_{968}(309,·)$, $\chi_{968}(441,·)$, $\chi_{968}(573,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{9}a^{12}-\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{9}a^{6}+\frac{2}{9}a^{2}+\frac{1}{9}$, $\frac{1}{9}a^{13}-\frac{1}{9}a^{11}+\frac{1}{9}a^{7}+\frac{2}{9}a^{3}+\frac{1}{9}a$, $\frac{1}{9}a^{14}-\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{9}a^{8}+\frac{1}{9}a^{6}+\frac{2}{9}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{9}$, $\frac{1}{9}a^{15}-\frac{1}{9}a^{11}+\frac{1}{9}a^{9}+\frac{1}{9}a^{7}+\frac{2}{9}a^{5}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{9}a$, $\frac{1}{81}a^{16}+\frac{1}{27}a^{15}-\frac{4}{81}a^{14}+\frac{1}{27}a^{13}-\frac{2}{81}a^{12}-\frac{1}{27}a^{10}+\frac{1}{9}a^{9}-\frac{1}{27}a^{8}-\frac{1}{9}a^{7}+\frac{2}{27}a^{6}+\frac{4}{9}a^{5}-\frac{14}{81}a^{4}-\frac{2}{27}a^{3}+\frac{32}{81}a^{2}+\frac{10}{27}a+\frac{40}{81}$, $\frac{1}{81}a^{17}-\frac{4}{81}a^{15}-\frac{1}{27}a^{14}-\frac{2}{81}a^{13}-\frac{1}{27}a^{12}+\frac{2}{27}a^{11}-\frac{1}{9}a^{10}+\frac{2}{27}a^{9}+\frac{1}{9}a^{8}-\frac{1}{27}a^{7}-\frac{1}{9}a^{6}+\frac{4}{81}a^{5}+\frac{14}{81}a^{3}-\frac{1}{27}a^{2}-\frac{32}{81}a-\frac{4}{27}$, $\frac{1}{243}a^{18}-\frac{1}{243}a^{17}+\frac{1}{243}a^{16}+\frac{7}{243}a^{15}-\frac{1}{243}a^{14}+\frac{5}{243}a^{13}-\frac{1}{243}a^{12}-\frac{8}{81}a^{11}-\frac{2}{27}a^{10}-\frac{5}{81}a^{9}-\frac{4}{27}a^{8}-\frac{5}{81}a^{7}-\frac{20}{243}a^{6}+\frac{50}{243}a^{5}-\frac{20}{243}a^{4}-\frac{11}{243}a^{3}+\frac{23}{243}a^{2}-\frac{64}{243}a+\frac{95}{243}$, $\frac{1}{243}a^{19}-\frac{1}{243}a^{16}+\frac{2}{81}a^{15}+\frac{13}{243}a^{14}+\frac{4}{243}a^{13}-\frac{7}{243}a^{12}-\frac{5}{81}a^{11}+\frac{7}{81}a^{10}-\frac{8}{81}a^{9}+\frac{10}{81}a^{8}+\frac{19}{243}a^{7}+\frac{10}{81}a^{6}-\frac{26}{81}a^{5}-\frac{121}{243}a^{4}+\frac{13}{81}a^{3}-\frac{86}{243}a^{2}-\frac{104}{243}a-\frac{49}{243}$, $\frac{1}{333153}a^{20}-\frac{217}{111051}a^{19}+\frac{677}{333153}a^{18}+\frac{41}{37017}a^{17}+\frac{176}{333153}a^{16}+\frac{2867}{111051}a^{15}+\frac{14522}{333153}a^{14}+\frac{697}{111051}a^{13}-\frac{5654}{333153}a^{12}-\frac{4235}{37017}a^{11}+\frac{4555}{111051}a^{10}+\frac{334}{37017}a^{9}+\frac{53146}{333153}a^{8}-\frac{6088}{111051}a^{7}+\frac{54512}{333153}a^{6}+\frac{9}{457}a^{5}+\frac{115529}{333153}a^{4}-\frac{6688}{111051}a^{3}+\frac{908}{333153}a^{2}-\frac{30425}{111051}a+\frac{90331}{333153}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{51\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!90}{65\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!23}a+\frac{48\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!23}$

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$3$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$21$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{72\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!22}{59\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!22}{59\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!26}{59\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!91}a-\frac{19\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!91}$, $\frac{78\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!36}{72\!\cdots\!49}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!41}a+\frac{48\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{15\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!00}{72\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!13}{65\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!62}{65\!\cdots\!41}a-\frac{66\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{79\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{52\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!23}a-\frac{19\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{11\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!23}a-\frac{20\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{80\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!67}{65\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{82\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{98\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!47}a+\frac{95\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{71\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!12}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!83}a-\frac{56\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{14\!\cdots\!19}{72\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!36}{65\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!62}{65\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!41}a-\frac{10\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{22\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!32}{72\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!19}{72\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!91}{65\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!30}{72\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!41}a-\frac{18\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{14\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!55}{72\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{93\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!23}a-\frac{41\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!47}$, $\frac{86\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!62}{72\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!23}a-\frac{82\!\cdots\!35}{72\!\cdots\!49}$, $\frac{27\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!23}a-\frac{11\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{13\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{90\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{88\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!47}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!23}a-\frac{34\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{63\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!96}{65\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!41}a-\frac{11\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{33\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{44\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!90}{65\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{72\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!48}{65\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!41}a-\frac{27\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{81\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{86\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!91}{65\!\cdots\!41}a-\frac{34\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{22\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!33}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!23}a-\frac{66\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{16\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{95\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!47}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!23}a-\frac{53\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!47}$, $\frac{41\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{66\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!12}{65\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{89\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!26}{65\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!47}a-\frac{10\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{77\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!23}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!23}a-\frac{10\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!23}$, $\frac{44\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{96\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!47}{65\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!87}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!23}a-\frac{43\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!41}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 14321342908235497000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{22}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 14321342908235497000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3887740450132432227599338487287650162637926293307392}}\cr\approx \mathstrut & 0.481687105754706 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{22}$ (as 22T1):

A cyclic group of order 22

The 22 conjugacy class representatives for $C_{22}$

Character table for $C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), 11.11.672749994932560009201.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	${\href{/padicField/3.2.0.1}{2} }^{11}$	$22$	${\href{/padicField/7.11.0.1}{11} }^{2}$	R	$22$	${\href{/padicField/17.11.0.1}{11} }^{2}$	$22$	${\href{/padicField/23.11.0.1}{11} }^{2}$	$22$	${\href{/padicField/31.11.0.1}{11} }^{2}$	$22$	${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }^{2}$	$22$	${\href{/padicField/47.11.0.1}{11} }^{2}$	$22$	$22$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(2\)		Deg $22$	$2$	$11$	$33$
\(11\)		Deg $22$	$11$	$2$	$40$