Normalized defining polynomial
\( x^{22} - 124 x^{20} + 6605 x^{18} - 198718 x^{16} + 3731509 x^{14} - 45556647 x^{12} + 364652629 x^{10} - 1879790241 x^{8} + 5953201774 x^{6} + \cdots - 3015217921 \)
Invariants
Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[22, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(170364212909807025886845565709641708504367497216\) \(\medspace = 2^{22}\cdot 43^{2}\cdot 1277^{2}\cdot 1297^{10}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(140.24\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | not computed | ||
Ramified primes: | \(2\), \(43\), \(1277\), \(1297\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{155}a^{18}+\frac{69}{155}a^{16}-\frac{41}{155}a^{14}+\frac{22}{155}a^{12}+\frac{28}{155}a^{10}-\frac{69}{155}a^{8}+\frac{73}{155}a^{6}-\frac{10}{31}a^{4}+\frac{6}{31}a^{2}+\frac{38}{155}$, $\frac{1}{155}a^{19}+\frac{69}{155}a^{17}-\frac{41}{155}a^{15}+\frac{22}{155}a^{13}+\frac{28}{155}a^{11}-\frac{69}{155}a^{9}+\frac{73}{155}a^{7}-\frac{10}{31}a^{5}+\frac{6}{31}a^{3}+\frac{38}{155}a$, $\frac{1}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!23}{50\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!94}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!51}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!15}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!59}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{1}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{72\!\cdots\!23}{50\!\cdots\!15}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!94}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!51}{50\!\cdots\!15}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!15}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!59}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!65}a$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $21$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{20\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!82}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!96}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{93\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!99}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!48}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!66}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{88\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{97\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!36}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!32}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!12}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!96}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!32}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!91}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!53}$, $\frac{36\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!36}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!36}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!19}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!13}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!73}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!88}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!22}{58\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!87}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{12\!\cdots\!82}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!77}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!43}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!51}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!46}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!98}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!91}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!53}$, $\frac{90\!\cdots\!96}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!65}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!43}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!48}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!39}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!53}$, $\frac{56\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!28}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!63}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{98\!\cdots\!44}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!13}{50\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!15}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!55}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!82}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{11\!\cdots\!72}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!37}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!48}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!91}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!86}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!73}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!76}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!53}$, $\frac{17\!\cdots\!27}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!58}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!84}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!65}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!73}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!62}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{56\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!28}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!63}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{98\!\cdots\!44}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!13}{50\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!15}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!55}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{30\!\cdots\!56}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!13}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!41}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!86}{50\!\cdots\!15}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!66}{50\!\cdots\!15}a^{12}+\frac{88\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!34}{50\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!15}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!55}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!26}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{37\!\cdots\!32}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!58}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!04}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!56}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{97\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!48}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!68}{29\!\cdots\!55}a^{2}-a+\frac{17\!\cdots\!37}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{34\!\cdots\!56}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!15}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!72}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!37}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!02}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!93}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!87}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!96}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!83}{50\!\cdots\!15}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!36}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!58}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!44}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!81}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!66}{94\!\cdots\!05}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!64}{58\!\cdots\!71}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!74}{92\!\cdots\!65}a-\frac{38\!\cdots\!04}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{75\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!74}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!65}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!88}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!86}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!24}{50\!\cdots\!15}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{98\!\cdots\!43}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!39}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!38}{50\!\cdots\!15}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!34}{50\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!43}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!18}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!47}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{89\!\cdots\!31}{58\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!21}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!12}{92\!\cdots\!65}a-\frac{36\!\cdots\!23}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{28\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!83}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!64}{50\!\cdots\!15}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!94}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!41}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!43}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!92}{50\!\cdots\!15}a^{15}+\frac{60\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!52}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!67}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!96}{50\!\cdots\!15}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!92}{50\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!58}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{83\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!73}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!41}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!62}{94\!\cdots\!05}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!53}a-\frac{15\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{13\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!15}{74\!\cdots\!49}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!59}{58\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!07}a+\frac{31\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!53}$, $\frac{16\!\cdots\!29}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!22}{50\!\cdots\!15}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!72}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{99\!\cdots\!09}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!32}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!15}a^{15}+\frac{97\!\cdots\!48}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!26}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!66}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!16}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!34}{50\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!58}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!79}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!51}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!51}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!55}{58\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!31}{92\!\cdots\!65}a-\frac{87\!\cdots\!24}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{26\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!04}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!15}a^{19}+\frac{88\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!65}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!86}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!99}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!76}{50\!\cdots\!15}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!54}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!59}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!14}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!16}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!49}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!74}{94\!\cdots\!05}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!56}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!04}{92\!\cdots\!65}a-\frac{59\!\cdots\!16}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{35\!\cdots\!53}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{92\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!77}{50\!\cdots\!15}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!01}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!41}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{93\!\cdots\!91}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!44}{50\!\cdots\!15}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!16}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!12}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!68}{92\!\cdots\!65}a-\frac{46\!\cdots\!76}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{27\!\cdots\!88}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!41}{50\!\cdots\!15}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!56}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!06}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!11}{50\!\cdots\!15}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!88}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!03}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!86}{50\!\cdots\!15}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!91}{50\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!94}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!09}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!88}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!42}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!36}{58\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!81}{92\!\cdots\!65}a-\frac{11\!\cdots\!72}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{11\!\cdots\!98}{50\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!67}{50\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!22}{50\!\cdots\!15}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!01}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!06}{50\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!87}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!72}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!51}{50\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!73}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!15}a^{11}+\frac{96\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!87}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!47}{50\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!62}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!78}{29\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!58}{92\!\cdots\!65}a-\frac{13\!\cdots\!33}{92\!\cdots\!65}$, $\frac{25\!\cdots\!17}{29\!\cdots\!55}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!86}{94\!\cdots\!05}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!74}{50\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!42}{29\!\cdots\!55}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!59}{50\!\cdots\!15}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!77}{29\!\cdots\!55}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!18}{29\!\cdots\!55}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!62}{50\!\cdots\!15}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!47}{50\!\cdots\!15}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!27}{29\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!06}{50\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!27}{29\!\cdots\!55}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!32}{50\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!99}{58\!\cdots\!71}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!59}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!48}{53\!\cdots\!05}a-\frac{35\!\cdots\!08}{92\!\cdots\!65}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 41214642130400000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{22}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 41214642130400000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{170364212909807025886845565709641708504367497216}}\cr\approx \mathstrut & 0.209407511832245 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^{10}.D_{11}$ (as 22T30):
A solvable group of order 22528 |
The 100 conjugacy class representatives for $C_2^{10}.D_{11}$ are not computed |
Character table for $C_2^{10}.D_{11}$ is not computed |
Intermediate fields
11.11.3670285774226257.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 22 siblings: | data not computed |
Degree 44 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | 22.22.220962384144019712575238698725405295930164643889152.1 |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{5}{,}\,{\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/7.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }^{9}$ | ${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{9}$ | ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{10}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/47.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $22$ | $2$ | $11$ | $22$ | |||
\(43\) | 43.2.0.1 | $x^{2} + 42 x + 3$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |
43.4.2.2 | $x^{4} - 1806 x^{2} + 5547$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
43.4.0.1 | $x^{4} + 5 x^{2} + 42 x + 3$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
43.4.0.1 | $x^{4} + 5 x^{2} + 42 x + 3$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
43.4.0.1 | $x^{4} + 5 x^{2} + 42 x + 3$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
43.4.0.1 | $x^{4} + 5 x^{2} + 42 x + 3$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
\(1277\) | Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
\(1297\) | $\Q_{1297}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{1297}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ |