Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 66*x^20 + 1749*x^18 - 24354*x^16 + 196152*x^14 - 948684*x^12 + 2777841*x^10 - 4888422*x^8 + 5096619*x^6 - 3028806*x^4 + 931491*x^2 - 112896)
gp: K = bnfinit(y^22 - 66*y^20 + 1749*y^18 - 24354*y^16 + 196152*y^14 - 948684*y^12 + 2777841*y^10 - 4888422*y^8 + 5096619*y^6 - 3028806*y^4 + 931491*y^2 - 112896, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 - 66*x^20 + 1749*x^18 - 24354*x^16 + 196152*x^14 - 948684*x^12 + 2777841*x^10 - 4888422*x^8 + 5096619*x^6 - 3028806*x^4 + 931491*x^2 - 112896);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 66*x^20 + 1749*x^18 - 24354*x^16 + 196152*x^14 - 948684*x^12 + 2777841*x^10 - 4888422*x^8 + 5096619*x^6 - 3028806*x^4 + 931491*x^2 - 112896)
\( x^{22} - 66 x^{20} + 1749 x^{18} - 24354 x^{16} + 196152 x^{14} - 948684 x^{12} + 2777841 x^{10} + \cdots - 112896 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[22, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(1278273961469929524012752319464038269977012207616\)
\(\medspace = 2^{52}\cdot 3^{20}\cdot 11^{22}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(153.70\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(11\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $\frac{1}{3}a^{11}$, $\frac{1}{3}a^{12}$, $\frac{1}{3}a^{13}$, $\frac{1}{3}a^{14}$, $\frac{1}{3}a^{15}$, $\frac{1}{3}a^{16}$, $\frac{1}{3}a^{17}$, $\frac{1}{3}a^{18}$, $\frac{1}{3}a^{19}$, $\frac{1}{58\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!73}{58\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!16}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!35}{58\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{89\!\cdots\!22}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{88\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{1}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{86\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!32}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!72}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!29}{81\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{70\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!96}a^{7}-\frac{99\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!44}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!44}a$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $21$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{54\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!44}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!88}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!48}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!33}{86\!\cdots\!86}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!72}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!64}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!96}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!48}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!96}a$, $\frac{35\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!44}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!72}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!18}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!72}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!44}a$, $\frac{72\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!13}{81\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!72}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!44}a$, $\frac{45\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!96}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!44}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!88}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!44}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!86}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!72}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!64}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!96}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!48}a^{3}+\frac{99\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!96}a$, $\frac{12\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!15}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!55}{81\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!72}a^{3}+\frac{93\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!44}a$, $\frac{18\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!44}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{93\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!49}{81\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!72}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!44}a$, $\frac{14\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!72}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!36}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!19}{40\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!30}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!27}{81\!\cdots\!54}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!72}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!72}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!36}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!72}a-\frac{32\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{18\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!16}{58\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!34}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{43\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!97}{81\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!44}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!44}a$, $\frac{11\!\cdots\!22}{58\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!90}{58\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!93}{58\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!55}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{20\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!72}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!79}{81\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!72}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!44}a$, $\frac{48\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!36}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!33}{29\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!79}{81\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!46}{97\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!42}{29\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!51}{81\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!09}{29\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!26}{97\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!36}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!40}{97\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!74}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!97}{97\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!36}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!95}{97\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!18}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!91}{97\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!36}a+\frac{11\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!63}$, $\frac{51\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{69\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!11}{81\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!12}{58\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!37}{54\!\cdots\!36}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!66}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!77}{81\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!61}{54\!\cdots\!36}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!74}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!36}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!18}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!71}{54\!\cdots\!36}a+\frac{10\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!92}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!88}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!70}{58\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!92}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!88}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!70}{58\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!22}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!59}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!53}{77\!\cdots\!48}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!92}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!96}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!96}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!92}a+\frac{48\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{19\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!44}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!12}{58\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!74}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!01}{58\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!48}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!57}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!74}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!62}{58\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!79}{58\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!11}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!48}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!74}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!48}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!74}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!48}a+\frac{27\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{58\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!88}{58\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!36}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!42}{58\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!73}{81\!\cdots\!54}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!72}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!72}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!36}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!72}a-\frac{12\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{37\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!43}{58\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!15}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!01}{81\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!84}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!72}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!44}a-\frac{16\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{45\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!72}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!08}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{91\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!72}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!34}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!08}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!92}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!25}{81\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!72}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!48}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!72}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!36}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!72}a-\frac{64\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{93\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!24}{58\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!57}{81\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!40}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!72}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!44}a-\frac{50\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{34\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!72}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!80}{58\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!18}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!43}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!44}a+\frac{17\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!37}$, $\frac{52\!\cdots\!41}{54\!\cdots\!36}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!53}{58\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!15}{81\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!15}{58\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!86}{40\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!85}{58\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!36}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!74}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!36}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!18}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!36}a+\frac{26\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!37}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1349827487610000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{22}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1349827487610000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1278273961469929524012752319464038269977012207616}}\cr\approx \mathstrut & 2.50378022785949 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 66*x^20 + 1749*x^18 - 24354*x^16 + 196152*x^14 - 948684*x^12 + 2777841*x^10 - 4888422*x^8 + 5096619*x^6 - 3028806*x^4 + 931491*x^2 - 112896)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^22 - 66*x^20 + 1749*x^18 - 24354*x^16 + 196152*x^14 - 948684*x^12 + 2777841*x^10 - 4888422*x^8 + 5096619*x^6 - 3028806*x^4 + 931491*x^2 - 112896, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 - 66*x^20 + 1749*x^18 - 24354*x^16 + 196152*x^14 - 948684*x^12 + 2777841*x^10 - 4888422*x^8 + 5096619*x^6 - 3028806*x^4 + 931491*x^2 - 112896);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 66*x^20 + 1749*x^18 - 24354*x^16 + 196152*x^14 - 948684*x^12 + 2777841*x^10 - 4888422*x^8 + 5096619*x^6 - 3028806*x^4 + 931491*x^2 - 112896);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^{10}.F_{11}$ (as 22T34):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 112640 |
| The 44 conjugacy class representatives for $C_2^{10}.F_{11}$ |
| Character table for $C_2^{10}.F_{11}$ |
Intermediate fields
| 11.11.552054582080600113152.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 22 sibling: | data not computed |
| Degree 44 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/13.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{2}$ | $20{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ | $20{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }^{2}$ | $20{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.2.2.2 | $x^{2} + 2 x + 6$ | $2$ | $1$ | $2$ | $C_2$ | $[2]$ |
| Deg $20$ | $4$ | $5$ | $50$ | ||||
|
\(3\)
| 3.11.10.1 | $x^{11} + 3$ | $11$ | $1$ | $10$ | $C_{11}:C_5$ | $[\ ]_{11}^{5}$ |
| 3.11.10.1 | $x^{11} + 3$ | $11$ | $1$ | $10$ | $C_{11}:C_5$ | $[\ ]_{11}^{5}$ | |
|
\(11\)
| 11.11.11.6 | $x^{11} + 11 x + 11$ | $11$ | $1$ | $11$ | $F_{11}$ | $[11/10]_{10}$ |
| 11.11.11.6 | $x^{11} + 11 x + 11$ | $11$ | $1$ | $11$ | $F_{11}$ | $[11/10]_{10}$ |