Normalized defining polynomial
\( x^{22} - x^{21} + 2 x^{20} + x^{19} - 13 x^{18} + 3 x^{17} - 35 x^{16} - 18 x^{15} + 37 x^{14} + \cdots - 1 \)
Invariants
Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[2, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(1734677982017693835986328125\) \(\medspace = 5^{11}\cdot 64661^{2}\cdot 92179^{2}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(17.30\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $5^{1/2}64661^{1/2}92179^{1/2}\approx 172632.35964036407$ | ||
Ramified primes: | \(5\), \(64661\), \(92179\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{21\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!11}a+\frac{93\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{13\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{14\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{83\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{92\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!11}a-\frac{83\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{18\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a-\frac{21\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{92\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{70\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a-\frac{31\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{69\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!11}a-\frac{13\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{39\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a+\frac{17\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{54\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{84\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a-\frac{55\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{65\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a-\frac{27\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{42\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a-\frac{27\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{89\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a+\frac{48\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 38336.3977164 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{2}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 38336.3977164 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1734677982017693835986328125}}\cr\approx \mathstrut & 0.176534888715 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2\times S_{11}$ (as 22T47):
A non-solvable group of order 79833600 |
The 112 conjugacy class representatives for $C_2\times S_{11}$ are not computed |
Character table for $C_2\times S_{11}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{5}) \), 11.1.5960386319.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 22 sibling: | data not computed |
Degree 44 sibling: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $22$ | ${\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/3.4.0.1}{4} }^{4}$ | R | $22$ | ${\href{/padicField/11.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{2}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }$ | ${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.11.0.1}{11} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(5\) | 5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ |
5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ | |
5.10.5.1 | $x^{10} + 100 x^{9} + 4025 x^{8} + 82000 x^{7} + 860258 x^{6} + 4015486 x^{5} + 4317350 x^{4} + 2373700 x^{3} + 3853141 x^{2} + 15123594 x + 12051954$ | $2$ | $5$ | $5$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{2}^{5}$ | |
\(64661\) | $\Q_{64661}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{64661}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
Deg $5$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | ||
Deg $5$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | ||
\(92179\) | Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |