Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 + 3*x^20 - 8*x^19 - 13*x^18 - 13*x^17 - 10*x^16 + 79*x^15 + 45*x^14 + 111*x^13 + 59*x^12 - 172*x^11 + 31*x^10 - 94*x^9 - 96*x^8 + 55*x^7 - 26*x^6 + x^5 + 20*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 1)
gp: K = bnfinit(y^22 + 3*y^20 - 8*y^19 - 13*y^18 - 13*y^17 - 10*y^16 + 79*y^15 + 45*y^14 + 111*y^13 + 59*y^12 - 172*y^11 + 31*y^10 - 94*y^9 - 96*y^8 + 55*y^7 - 26*y^6 + y^5 + 20*y^4 - 4*y^3 + 3*y^2 - 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 + 3*x^20 - 8*x^19 - 13*x^18 - 13*x^17 - 10*x^16 + 79*x^15 + 45*x^14 + 111*x^13 + 59*x^12 - 172*x^11 + 31*x^10 - 94*x^9 - 96*x^8 + 55*x^7 - 26*x^6 + x^5 + 20*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 + 3*x^20 - 8*x^19 - 13*x^18 - 13*x^17 - 10*x^16 + 79*x^15 + 45*x^14 + 111*x^13 + 59*x^12 - 172*x^11 + 31*x^10 - 94*x^9 - 96*x^8 + 55*x^7 - 26*x^6 + x^5 + 20*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 1)
\( x^{22} + 3 x^{20} - 8 x^{19} - 13 x^{18} - 13 x^{17} - 10 x^{16} + 79 x^{15} + 45 x^{14} + 111 x^{13} + \cdots - 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[2, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(1722741365651855595751953125\)
\(\medspace = 5^{11}\cdot 12917^{2}\cdot 459847^{2}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(17.30\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $5^{1/2}12917^{1/2}459847^{1/2}\approx 172334.61200524983$ | ||
| Ramified primes: |
\(5\), \(12917\), \(459847\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}a+\frac{69\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{34\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{90\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!60}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a+\frac{57\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{36\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{84\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!11}a+\frac{60\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{19\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{64\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{88\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!11}a+\frac{27\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{37\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{86\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{83\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!11}a+\frac{11\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{10\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a+\frac{22\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{57\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a-\frac{14\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{76\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!11}a+\frac{42\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{30\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{72\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!11}a-\frac{19\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{34\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{52\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!11}a+\frac{98\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{81\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{73\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!11}a+\frac{97\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!11}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 42078.318318 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{2}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 42078.318318 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1722741365651855595751953125}}\cr\approx \mathstrut & 0.19443614995 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 + 3*x^20 - 8*x^19 - 13*x^18 - 13*x^17 - 10*x^16 + 79*x^15 + 45*x^14 + 111*x^13 + 59*x^12 - 172*x^11 + 31*x^10 - 94*x^9 - 96*x^8 + 55*x^7 - 26*x^6 + x^5 + 20*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^22 + 3*x^20 - 8*x^19 - 13*x^18 - 13*x^17 - 10*x^16 + 79*x^15 + 45*x^14 + 111*x^13 + 59*x^12 - 172*x^11 + 31*x^10 - 94*x^9 - 96*x^8 + 55*x^7 - 26*x^6 + x^5 + 20*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 + 3*x^20 - 8*x^19 - 13*x^18 - 13*x^17 - 10*x^16 + 79*x^15 + 45*x^14 + 111*x^13 + 59*x^12 - 172*x^11 + 31*x^10 - 94*x^9 - 96*x^8 + 55*x^7 - 26*x^6 + x^5 + 20*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 + 3*x^20 - 8*x^19 - 13*x^18 - 13*x^17 - 10*x^16 + 79*x^15 + 45*x^14 + 111*x^13 + 59*x^12 - 172*x^11 + 31*x^10 - 94*x^9 - 96*x^8 + 55*x^7 - 26*x^6 + x^5 + 20*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2\times S_{11}$ (as 22T47):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 79833600 |
| The 112 conjugacy class representatives for $C_2\times S_{11}$ are not computed |
| Character table for $C_2\times S_{11}$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 11.1.5939843699.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 22 sibling: | data not computed |
| Degree 44 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/2.6.0.1}{6} }^{2}$ | $22$ | R | $22$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }$ | $18{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(5\)
| 5.22.11.1 | $x^{22} + 220 x^{21} + 22055 x^{20} + 1331000 x^{19} + 53791375 x^{18} + 1531447500 x^{17} + 31435820625 x^{16} + 467679300000 x^{15} + 4991151206250 x^{14} + 37171668875000 x^{13} + 183624733943756 x^{12} + 553513923250726 x^{11} + 918123669784090 x^{10} + 929291725767350 x^{9} + 623894056087500 x^{8} + 292303912609500 x^{7} + 98324330218125 x^{6} + 25190924781000 x^{5} + 17099014728125 x^{4} + 90189081743750 x^{3} + 391939091809384 x^{2} + 906877245981448 x + 669277565422109$ | $2$ | $11$ | $11$ | 22T1 | $[\ ]_{2}^{11}$ |
|
\(12917\)
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
| Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
| Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
| Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
|
\(459847\)
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
| Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
| Deg $14$ | $1$ | $14$ | $0$ | $C_{14}$ | $[\ ]^{14}$ |