Normalized defining polynomial
\( x^{22} + 3 x^{20} - 8 x^{19} - 13 x^{18} - 13 x^{17} - 10 x^{16} + 79 x^{15} + 45 x^{14} + 111 x^{13} + \cdots - 1 \)
Invariants
Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[2, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(1722741365651855595751953125\) \(\medspace = 5^{11}\cdot 12917^{2}\cdot 459847^{2}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(17.30\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $5^{1/2}12917^{1/2}459847^{1/2}\approx 172334.61200524983$ | ||
Ramified primes: | \(5\), \(12917\), \(459847\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}a+\frac{69\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{34\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{90\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!60}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a+\frac{57\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{36\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{84\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!11}a+\frac{60\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{19\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{64\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{88\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!11}a+\frac{27\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{37\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{86\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{83\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!11}a+\frac{11\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{10\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a+\frac{22\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{57\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a-\frac{14\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{76\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!11}a+\frac{42\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{30\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{72\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!11}a-\frac{19\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{34\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{52\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!11}a+\frac{98\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{81\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!11}$, $\frac{73\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!11}a+\frac{97\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!11}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 42078.318318 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{2}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 42078.318318 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1722741365651855595751953125}}\cr\approx \mathstrut & 0.19443614995 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2\times S_{11}$ (as 22T47):
A non-solvable group of order 79833600 |
The 112 conjugacy class representatives for $C_2\times S_{11}$ are not computed |
Character table for $C_2\times S_{11}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{5}) \), 11.1.5939843699.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 22 sibling: | data not computed |
Degree 44 sibling: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/2.6.0.1}{6} }^{2}$ | $22$ | R | $22$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }$ | $18{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(5\) | 5.22.11.1 | $x^{22} + 220 x^{21} + 22055 x^{20} + 1331000 x^{19} + 53791375 x^{18} + 1531447500 x^{17} + 31435820625 x^{16} + 467679300000 x^{15} + 4991151206250 x^{14} + 37171668875000 x^{13} + 183624733943756 x^{12} + 553513923250726 x^{11} + 918123669784090 x^{10} + 929291725767350 x^{9} + 623894056087500 x^{8} + 292303912609500 x^{7} + 98324330218125 x^{6} + 25190924781000 x^{5} + 17099014728125 x^{4} + 90189081743750 x^{3} + 391939091809384 x^{2} + 906877245981448 x + 669277565422109$ | $2$ | $11$ | $11$ | 22T1 | $[\ ]_{2}^{11}$ |
\(12917\) | Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
\(459847\) | Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $14$ | $1$ | $14$ | $0$ | $C_{14}$ | $[\ ]^{14}$ |