↑

Properties

Label 22.18.2300872385...8089.1
Degree $22$
Signature $[18, 2]$
Discriminant $131^{10}\cdot 2297^{10}\cdot 71647^{10}\cdot 10298992926983^{2}$
Root discriminant $758{,}727.85$
Ramified primes $131, 2297, 71647, 10298992926983$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group 22T51

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-5171816474167505628125246930786194146064674226046415678576793740063088827110117886469640427968531, -106511321818512224990977488006456113342508309352392142460740805431636636438802684226477536, 106511320841640709718273593909091112261150331893177419007223913489960065681716929693177288, 1953743025289619769609927935965174424151875711944819663352020838970899069862489543, -976871499505339856726687787443673148702119347232311492713368377627444025708264939, -15767363982219490302530548353167437085483306741165131698814519612745966636, 5255787908282428375256316952646409006236043296299117696458810525050810930, 73534915502242931336119545678495670841428298811136294653478844046, -18383728547378112693986359299316156439853557115655196996194040079, -218788412634091283032227790410382382555583750616259162451, 43757681734213856060620813669474737589565734087455676069, 432329671537407108547063573092233206919075350347, -72054944016577680888382418513797041923435706453, -572149307733840810557332053781243645619, 81735614144568549821065357941455889481, 498392053726797058825990959294, -62299005944745132263794581393, -272154528965940026844, 30239391842106235938, 83753821095, -8375382071, -11, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 11*x^21 - 8375382071*x^20 + 83753821095*x^19 + 30239391842106235938*x^18 - 272154528965940026844*x^17 - 62299005944745132263794581393*x^16 + 498392053726797058825990959294*x^15 + 81735614144568549821065357941455889481*x^14 - 572149307733840810557332053781243645619*x^13 - 72054944016577680888382418513797041923435706453*x^12 + 432329671537407108547063573092233206919075350347*x^11 + 43757681734213856060620813669474737589565734087455676069*x^10 - 218788412634091283032227790410382382555583750616259162451*x^9 - 18383728547378112693986359299316156439853557115655196996194040079*x^8 + 73534915502242931336119545678495670841428298811136294653478844046*x^7 + 5255787908282428375256316952646409006236043296299117696458810525050810930*x^6 - 15767363982219490302530548353167437085483306741165131698814519612745966636*x^5 - 976871499505339856726687787443673148702119347232311492713368377627444025708264939*x^4 + 1953743025289619769609927935965174424151875711944819663352020838970899069862489543*x^3 + 106511320841640709718273593909091112261150331893177419007223913489960065681716929693177288*x^2 - 106511321818512224990977488006456113342508309352392142460740805431636636438802684226477536*x - 5171816474167505628125246930786194146064674226046415678576793740063088827110117886469640427968531)
 
gp: K = bnfinit(x^22 - 11*x^21 - 8375382071*x^20 + 83753821095*x^19 + 30239391842106235938*x^18 - 272154528965940026844*x^17 - 62299005944745132263794581393*x^16 + 498392053726797058825990959294*x^15 + 81735614144568549821065357941455889481*x^14 - 572149307733840810557332053781243645619*x^13 - 72054944016577680888382418513797041923435706453*x^12 + 432329671537407108547063573092233206919075350347*x^11 + 43757681734213856060620813669474737589565734087455676069*x^10 - 218788412634091283032227790410382382555583750616259162451*x^9 - 18383728547378112693986359299316156439853557115655196996194040079*x^8 + 73534915502242931336119545678495670841428298811136294653478844046*x^7 + 5255787908282428375256316952646409006236043296299117696458810525050810930*x^6 - 15767363982219490302530548353167437085483306741165131698814519612745966636*x^5 - 976871499505339856726687787443673148702119347232311492713368377627444025708264939*x^4 + 1953743025289619769609927935965174424151875711944819663352020838970899069862489543*x^3 + 106511320841640709718273593909091112261150331893177419007223913489960065681716929693177288*x^2 - 106511321818512224990977488006456113342508309352392142460740805431636636438802684226477536*x - 5171816474167505628125246930786194146064674226046415678576793740063088827110117886469640427968531, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{22} - 11 x^{21} - 8375382071 x^{20} + 83753821095 x^{19} + 30239391842106235938 x^{18} - 272154528965940026844 x^{17} - 62299005944745132263794581393 x^{16} + 498392053726797058825990959294 x^{15} + 81735614144568549821065357941455889481 x^{14} - 572149307733840810557332053781243645619 x^{13} - 72054944016577680888382418513797041923435706453 x^{12} + 432329671537407108547063573092233206919075350347 x^{11} + 43757681734213856060620813669474737589565734087455676069 x^{10} - 218788412634091283032227790410382382555583750616259162451 x^{9} - 18383728547378112693986359299316156439853557115655196996194040079 x^{8} + 73534915502242931336119545678495670841428298811136294653478844046 x^{7} + 5255787908282428375256316952646409006236043296299117696458810525050810930 x^{6} - 15767363982219490302530548353167437085483306741165131698814519612745966636 x^{5} - 976871499505339856726687787443673148702119347232311492713368377627444025708264939 x^{4} + 1953743025289619769609927935965174424151875711944819663352020838970899069862489543 x^{3} + 106511320841640709718273593909091112261150331893177419007223913489960065681716929693177288 x^{2} - 106511321818512224990977488006456113342508309352392142460740805431636636438802684226477536 x - 5171816474167505628125246930786194146064674226046415678576793740063088827110117886469640427968531 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $22$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[18, 2]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2300872385477501581227693106652852098399533470342000869126199943093917599041643904688100198470522867623396821870956126029973998089=131^{10}\cdot 2297^{10}\cdot 71647^{10}\cdot 10298992926983^{2}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $758{,}727.85$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $131, 2297, 71647, 10298992926983$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $\frac{1}{21559083829} a^{4} - \frac{2}{21559083829} a^{3} - \frac{2985611170}{21559083829} a^{2} + \frac{2985611171}{21559083829} a - \frac{10178501968}{21559083829}$, $\frac{1}{21559083829} a^{5} - \frac{2985611174}{21559083829} a^{3} - \frac{2985611169}{21559083829} a^{2} - \frac{4207279626}{21559083829} a + \frac{1202079893}{21559083829}$, $\frac{1}{464794095545849301241} a^{6} - \frac{3}{464794095545849301241} a^{5} - \frac{8375382125}{464794095545849301241} a^{4} + \frac{16750764255}{464794095545849301241} a^{3} - \frac{85959131659088511906}{464794095545849301241} a^{2} + \frac{85959131650713129778}{464794095545849301241} a + \frac{145545595174634771572}{464794095545849301241}$, $\frac{1}{464794095545849301241} a^{7} - \frac{8375382134}{464794095545849301241} a^{5} - \frac{8375382120}{464794095545849301241} a^{4} - \frac{85959131608836219141}{464794095545849301241} a^{3} - \frac{171918263326552405940}{464794095545849301241} a^{2} - \frac{61371105419075140335}{464794095545849301241} a - \frac{28157310021944986525}{464794095545849301241}$, $\frac{1}{10020534869097200598455792731789} a^{8} - \frac{4}{10020534869097200598455792731789} a^{7} + \frac{7793930750}{10020534869097200598455792731789} a^{6} - \frac{23381792236}{10020534869097200598455792731789} a^{5} - \frac{221383305677520489161}{10020534869097200598455792731789} a^{4} + \frac{442766611394010632044}{10020534869097200598455792731789} a^{3} + \frac{2026141656410013314260495733260}{10020534869097200598455792731789} a^{2} - \frac{2026141656631396619961398014654}{10020534869097200598455792731789} a - \frac{1802884731440559838828580804736}{10020534869097200598455792731789}$, $\frac{1}{10020534869097200598455792731789} a^{9} + \frac{7793930734}{10020534869097200598455792731789} a^{7} + \frac{7793930764}{10020534869097200598455792731789} a^{6} - \frac{221383305771047658105}{10020534869097200598455792731789} a^{5} + \frac{22027484229777976641}{10020534869097200598455792731789} a^{4} + \frac{2026141657251491568744839658954}{10020534869097200598455792731789} a^{3} + \frac{4690730525596921716158760456416}{10020534869097200598455792731789} a^{2} + \frac{1500777955007583296249293631648}{10020534869097200598455792731789} a - \frac{1921911672893245903771473829443}{10020534869097200598455792731789}$, $\frac{1}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{10} - \frac{5}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{9} + \frac{2404159797}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{8} - \frac{9616639158}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{7} + \frac{201403288294491376566}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{6} - \frac{604209864849815892666}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{5} - \frac{673481192367648512438735518832}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{4} + \frac{1346962385742313466282611446433}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{3} + \frac{35643972183217002231670349221805768550403}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{2} - \frac{35643972183890483424642207599087107482539}{216033551254284089251337403455287964140081} a - \frac{63029867283781062384418191449344159295444}{216033551254284089251337403455287964140081}$, $\frac{1}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{11} + \frac{2404159772}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{9} + \frac{2404159827}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{8} + \frac{201403288246408180776}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{7} - \frac{61987518923208311077}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{6} - \frac{5141077816750500382063107469}{1649111078276977780544560331719755451451} a^{5} + \frac{1872384583544319259646545569398}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{4} + \frac{35643972182166157838777449364374355842113}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{3} - \frac{33504365668696936149985284624485619795259}{216033551254284089251337403455287964140081} a^{2} - \frac{65169473798449187462899775668157182022556}{216033551254284089251337403455287964140081} a + \frac{49269032819786169547464530893897280682090}{216033551254284089251337403455287964140081}$, $\frac{1}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{12} - \frac{6}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{11} - \frac{2985611155}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{10} + \frac{14928055830}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{9} + \frac{188445417654250399995}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{8} - \frac{753781670706569935026}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{7} - \frac{1758998785657386332091296819828}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{6} + \frac{5276996359610394843809583066627}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{5} + \frac{39273881552578921864654585696728197266194}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{4} - \frac{78547763113952837662872574748993220679323}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{3} - \frac{549414755816286317725019065500604315802135923965581}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{2} + \frac{549414755855560199282874983725434632595723038222272}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a + \frac{1414762431020686955781700707303304742144890500055694}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149}$, $\frac{1}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{13} - \frac{2985611191}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{11} - \frac{2985611100}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{10} + \frac{188445417743818734975}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{9} - \frac{87903260326916836297}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{8} - \frac{1758998788320899974147319225020}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{7} + \frac{1120965521070044545909351818698}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{6} + \frac{39273881565047014389597934338001156435465}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{5} - \frac{39966180347005884192086841687450146745064}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{4} - \frac{549414755893449483279693126653522128909921499925766}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{3} + \frac{752308691299004527647587293348619726487229436428211}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a^{2} + \frac{1211868495615824210196403443677846365187858590592782}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149} a - \frac{988568921768885701798244553502791695540384705657191}{4657485441367678775550500931455747472230752177850149}$, $\frac{1}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{14} - \frac{7}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{13} - \frac{8375382106}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{12} + \frac{50252292727}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{11} + \frac{204537177931436569500}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{10} - \frac{1022685890117828864331}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{9} - \frac{2774676423956218534883410830017}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{8} + \frac{11098705701960989480793391726337}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{7} + \frac{48754482115636374510278619524894030334963}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{6} - \frac{146263446385754593491994602496506618497556}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{5} - \frac{761091981898486496127553798662824988601441922413916}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{4} + \frac{1522183964040745402910980409799974174205165878009964}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{3} + \frac{12491124928590080218525867867128220822376450829614026090389236}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{2} - \frac{12491124929351172200570617809649853243809070654479902923334795}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a - \frac{30345548919098510773647795245558231055867470572017103754683089}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521}$, $\frac{1}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{15} - \frac{8375382155}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{13} - \frac{8375382015}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{12} + \frac{204537178283202618589}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{11} - \frac{55719740143622179072}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{10} - \frac{2774676428791049287978966374129}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{9} + \frac{579066324970352674801154239930}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{8} + \frac{48754482157714932047250151271305740087244}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{7} - \frac{36527327205678221727644634087670882799552}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{6} - \frac{761091982227694853815057865355581544107260873468263}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{5} + \frac{756040023390484011326341689888192539107643044246309}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{4} + \frac{12491124930122368100375071246492430023824078140864376162077394}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{3} - \frac{17063838269598591568940307731402544277733914843096850774358591}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a^{2} - \frac{25772835579617235346257575073109241726706178502793591188008779}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521} a + \frac{21195599068978831153909349243942937138632648650734463986362676}{100411119062792851133237325204197042757677635833995679291140521}$, $\frac{1}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{16} - \frac{8}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{15} + \frac{7793930773}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{14} - \frac{54557515271}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{13} + \frac{69113004186720008341}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{12} - \frac{414678024411072351887}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{11} + \frac{532549200995799011902290638314}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{10} - \frac{2662746001177779837043577412278}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{9} + \frac{3889870887027455287782314291042556529802}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{8} - \frac{15559483532133345148624036408201493322655}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{7} + \frac{27234493487829973098661573819429183026140403627376}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{6} - \frac{81703480409031726944701546638488638699117730916952}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{5} + \frac{184790547380707555331688673625927936499928501561102921652520}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{4} - \frac{369581094625242643333143866459516705942362483892236364267423}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{3} + \frac{1223502255794854490063244014530453195607646779733216955225774381745369}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{2} - \frac{1223502255610063942764239939596126636280781950810354249259092272346022}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a + \frac{338907359136914620193235103499566627930841170424052225039762583024087}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909}$, $\frac{1}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{17} + \frac{7793930709}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{15} + \frac{7793930913}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{14} + \frac{69113003750259886173}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{13} + \frac{138226009082687714841}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{12} + \frac{532549197678374816613711823218}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{11} + \frac{1597647606788612258174747694234}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{10} + \frac{3889870865725487278360075594693937231578}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{9} + \frac{15559483564086297153634477920138958915761}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{8} + \frac{27234493363354104841594812630436891760528457046136}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{7} + \frac{136172467493608057844591043916944825510005498102056}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{6} + \frac{184790546727079712059434858068315563392019391968161074316904}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{5} + \frac{1108743284420417799320365522547906786057065528596587008952737}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{4} + \frac{1223502252838205733061302867865302263931513132194317084087883467605985}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{3} + \frac{8564515790748771977741712176647498928580392287055381392547102781616930}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a^{2} - \frac{9449110685743596921920684413269446462315414436058781769032975595744089}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909} a + \frac{2711258873095316961545880827996533023446729363392417800318100664192696}{2164771733238450992443381142229018587446669484303647177861497789257734909}$, $\frac{1}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{18} - \frac{9}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{17} + \frac{2404159824}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{16} - \frac{19233278388}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{15} + \frac{27105502520093563851}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{14} - \frac{189738517304072575881}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{13} + \frac{160045938693874130266243437864}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{12} - \frac{960275629696644057519631304733}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{11} + \frac{1019552672989488295599830723928345295582}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{10} - \frac{5097763356144914876968684419166870242411}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{9} + \frac{6268980370009050059089724463946002998984372389517}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{8} - \frac{25075921449449620110052440512882816410782785413493}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{7} + \frac{38002865433099413779462954426758510145888220985132037650640}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{6} - \frac{114008596211532516286725798980337599207319977833410417356879}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{5} + \frac{227523530763765580851280542988718787744908615385017751107412004151152}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{4} - \frac{455047061337516834712595467180390273943974098894815330577037587457580}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{3} + \frac{1348635475575440038460133608451280914867177075565519680320234698024457163662592}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{2} - \frac{1348635475347916507810376623792725947084723964077956735427534291657462066681649}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a + \frac{159125058140319519568083893338678851068281853037197321364878550914330434393895}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561}$, $\frac{1}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{19} + \frac{2404159743}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{17} + \frac{2404160028}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{16} + \frac{27105502346994058359}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{15} + \frac{54211005376769498778}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{14} + \frac{160045936986227474529590254935}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{13} + \frac{480137818548223114876559636043}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{12} + \frac{1019552664347007628330034206251663552985}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{11} + \frac{4078210700760479783429792096188237417827}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{10} + \frac{6268980324129179853785490571227843226482540207818}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{9} + \frac{31344901880631830421755079662631210580076566092160}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{8} + \frac{38002865207416120734416373436286545529942873288086968929203}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{7} + \frac{228017192686362207728440790860488992105674011032777921498881}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{6} + \frac{227523529737688214947487896408186596921870222519137950606718247939241}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{5} + \frac{1592664715536373392948929419718078815760203439570344429389670449902788}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{4} + \frac{1348635471480016486422482096037921710243664610069752790266896722831118876544372}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{3} + \frac{10789083804831043838330825852268802286719869716011720387454577990562652406281679}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a^{2} - \frac{11978594219990929050725305720795854672694233823664413297482930074002828165740946}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561} a + \frac{1432125523262875676112755040048109659614536677334775892283906958228973909545055}{46670495267537390592195099581513183643161914478958529197955303790105682589790686561}$, $\frac{1}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{20} - \frac{10}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{19} - \frac{2985611124}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{18} + \frac{26870500401}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{17} + \frac{14147631743945410671}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{16} - \frac{113181054560627962416}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{15} + \frac{13953488625922048203571138338}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{14} - \frac{97674418400785880482282254480}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{13} + \frac{156941721791718624173841222556755284467}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{12} - \frac{941650329480544310982568879497275498512}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{11} + \frac{773824989096351033319240810969406994955798619954}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{10} - \frac{3869124936849960482019121495904808040632800345683}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{9} + \frac{4214497129897443393271643763902390078610166594023405206364}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{8} - \frac{16857988496375023962344965783790121118008160361334647684718}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{7} + \frac{22696790483675730180538024448686985088348048158275143601172437045551}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{6} - \frac{68090371392024230820551814202265255426163275947433829953094453245529}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{5} + \frac{122335757885847344169183236304089881219811369688241731366866221194452263427708}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{4} - \frac{244671515658210736037993741145292683523395596259954949125297749705707076840181}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{3} + \frac{659360737739552715940579638717270477297677667721332599545083808604521281795841062371436}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{2} - \frac{659360737617216958122822665927467980446888195146558462559195204715915047207663959562238}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a + \frac{1124401646621414863791681931670986359903489390616861413137345783111694263508411498451594}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069}$, $\frac{1}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{21} - \frac{2985611224}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{19} - \frac{2985610839}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{18} + \frac{14147632012650414681}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{17} + \frac{28295262878826144294}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{16} + \frac{13953487494111502597291514178}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{15} + \frac{41860467858434601553429128900}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{14} + \frac{156941720814974440165982417733932739667}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{13} + \frac{627766888436641930755843346070277346158}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{12} + \frac{773824979679847738513797701143718199983043634834}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{11} + \frac{3869124954113549851173286613789261908925185853857}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{10} + \frac{4214497091206194024772038943711175119562086187695401749534}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{9} + \frac{25286982802599409970371471855233779668093505578899404378922}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{8} + \frac{22696790315095845216787784825237327250446836978193539987825960198371}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{7} + \frac{158877533444733070984828430284604595457317205635317606058629917209981}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{6} + \frac{122335757204943630248940928098571739197158815426608971892527921663507730972418}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{5} + \frac{978686063200262705653838621895606128674718100622462364543364462238815557436899}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{4} + \frac{659360735292837559358472278337333065844750832487376636945534317351543784738770293969626}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{3} + \frac{5934246639778310201282973721245236792529888482066767532891642881329297770750746664152122}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a^{2} - \frac{5469205729550754717436544727603693444565392560848723212454606264047456208568228097170786}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069} a + \frac{11244016466214148637916819316709863599034893906168614131373457831116942635084114984515940}{1006173119813786386169050105000845544831599336871995787593262529806049831722563231132062722069}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

22T51:

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A non-solvable group of order 40874803200
The 376 conjugacy class representatives for t22n51 are not computed
Character table for t22n51 is not computed

Intermediate fields

11.9.10298992926983.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 22 sibling: data not computed
Degree 44 sibling: data not computed

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.11.0.1}{11} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/3.11.0.1}{11} }^{2}$ $18{,}\,{\href{/LocalNumberField/5.4.0.1}{4} }$ ${\href{/LocalNumberField/7.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/7.3.0.1}{3} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{2}$ $20{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.2.0.1}{2} }$ ${\href{/LocalNumberField/17.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.4.0.1}{4} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }$ ${\href{/LocalNumberField/23.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.4.0.1}{4} }^{2}$ $16{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }$ ${\href{/LocalNumberField/31.4.0.1}{4} }^{5}{,}\,{\href{/LocalNumberField/31.2.0.1}{2} }$ ${\href{/LocalNumberField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.2.0.1}{2} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.3.0.1}{3} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/53.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.2.0.1}{2} }^{4}$ $20{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.2.0.1}{2} }$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
131Data not computed
2297Data not computed
71647Data not computed
10298992926983Data not computed