Normalized defining polynomial
\( x^{21} - 8 x^{20} + 15 x^{19} + 42 x^{18} - 181 x^{17} + 43 x^{16} + 664 x^{15} - 785 x^{14} - 999 x^{13} + 2386 x^{12} - 12 x^{11} - 3337 x^{10} + 2186 x^{9} + 1818 x^{8} - 2845 x^{7} + \cdots + 1 \)
Invariants
Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[9, 6]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(77814973866654515283350056553\) \(\medspace = 71^{3}\cdot 157^{2}\cdot 3709^{2}\cdot 8623^{3}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(23.76\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $71^{1/2}157^{2/3}3709^{2/3}8623^{1/2}\approx 5456272.155977658$ | ||
Ramified primes: | \(71\), \(157\), \(3709\), \(8623\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{612233}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{77\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!99}a-\frac{40\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!99}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{81\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!99}a+\frac{99\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{92\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{94\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!99}a+\frac{19\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{81\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{76\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!99}a+\frac{16\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{71\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!99}a-\frac{10\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{81\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!99}a+\frac{99\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{61\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{57\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{80\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!99}a-\frac{13\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{86\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!99}a+\frac{99\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{17\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!99}a+\frac{15\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{73\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!99}a+\frac{32\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{13\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{87\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!99}a+\frac{29\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{36\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!99}a-\frac{50\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{83\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!99}a+\frac{51\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{17\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{88\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!99}a-\frac{35\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!99}$, $\frac{77\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{86\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{95\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!99}a-\frac{26\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!99}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 3400600.48543 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{9}\cdot(2\pi)^{6}\cdot 3400600.48543 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{77814973866654515283350056553}}\cr\approx \mathstrut & 0.192018556240 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_3^7.S_7$ (as 21T139):
A non-solvable group of order 11022480 |
The 429 conjugacy class representatives for $C_3^7.S_7$ are not computed |
Character table for $C_3^7.S_7$ is not computed |
Intermediate fields
7.3.612233.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 21 sibling: | data not computed |
Degree 42 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $21$ | ${\href{/padicField/3.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/3.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/5.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{3}$ | ${\href{/padicField/13.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{3}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{3}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/47.5.0.1}{5} }^{3}$ | $15{,}\,{\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{3}$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(71\) | 71.2.1.1 | $x^{2} + 497$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |
71.2.1.1 | $x^{2} + 497$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
71.2.1.1 | $x^{2} + 497$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
71.5.0.1 | $x^{5} + 18 x + 64$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | |
71.5.0.1 | $x^{5} + 18 x + 64$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | |
71.5.0.1 | $x^{5} + 18 x + 64$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | |
\(157\) | 157.3.2.2 | $x^{3} + 471$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |
157.3.0.1 | $x^{3} + x + 152$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
157.15.0.1 | $x^{15} - x + 38$ | $1$ | $15$ | $0$ | $C_{15}$ | $[\ ]^{15}$ | |
\(3709\) | $\Q_{3709}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{3709}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{3709}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
Deg $3$ | $3$ | $1$ | $2$ | ||||
Deg $12$ | $1$ | $12$ | $0$ | $C_{12}$ | $[\ ]^{12}$ | ||
\(8623\) | Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
Deg $6$ | $2$ | $3$ | $3$ | ||||
Deg $9$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ |