Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 6*x^20 + 12*x^19 - 2*x^18 - 27*x^17 + 36*x^16 - 39*x^15 + 180*x^14 - 396*x^13 + 183*x^12 + 558*x^11 - 738*x^10 - 339*x^9 + 1035*x^8 + 27*x^7 - 936*x^6 + 27*x^5 + 621*x^4 + 99*x^3 - 189*x^2 - 81*x - 9)
gp: K = bnfinit(y^21 - 6*y^20 + 12*y^19 - 2*y^18 - 27*y^17 + 36*y^16 - 39*y^15 + 180*y^14 - 396*y^13 + 183*y^12 + 558*y^11 - 738*y^10 - 339*y^9 + 1035*y^8 + 27*y^7 - 936*y^6 + 27*y^5 + 621*y^4 + 99*y^3 - 189*y^2 - 81*y - 9, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 6*x^20 + 12*x^19 - 2*x^18 - 27*x^17 + 36*x^16 - 39*x^15 + 180*x^14 - 396*x^13 + 183*x^12 + 558*x^11 - 738*x^10 - 339*x^9 + 1035*x^8 + 27*x^7 - 936*x^6 + 27*x^5 + 621*x^4 + 99*x^3 - 189*x^2 - 81*x - 9);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 6*x^20 + 12*x^19 - 2*x^18 - 27*x^17 + 36*x^16 - 39*x^15 + 180*x^14 - 396*x^13 + 183*x^12 + 558*x^11 - 738*x^10 - 339*x^9 + 1035*x^8 + 27*x^7 - 936*x^6 + 27*x^5 + 621*x^4 + 99*x^3 - 189*x^2 - 81*x - 9)
\( x^{21} - 6 x^{20} + 12 x^{19} - 2 x^{18} - 27 x^{17} + 36 x^{16} - 39 x^{15} + 180 x^{14} - 396 x^{13} + \cdots - 9 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[9, 6]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(3326751700248238687839567609\)
\(\medspace = 3^{36}\cdot 53^{6}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(20.44\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(53\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{10}$, $\frac{1}{3}a^{14}+\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{15}-\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{16}-\frac{1}{3}a^{10}$, $\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{18}+\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{19}+\frac{1}{3}a^{10}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{601857998880935}{43\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!35}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!68}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!85}{43\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{365761297640640}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!80}{43\!\cdots\!37}a+\frac{45\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!37}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{21\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{87\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!37}a-\frac{90\!\cdots\!39}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{24\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!25}{43\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!22}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!01}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!37}a-\frac{27\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{10\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{88\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!38}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!83}{43\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!13}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{88\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!65}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!85}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!22}{43\!\cdots\!37}a-\frac{11\!\cdots\!65}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{44\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!39}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!85}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!37}a-\frac{38\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{47\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{95\!\cdots\!01}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!68}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!12}{43\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{93\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!40}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!37}a-\frac{50\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{10\!\cdots\!00}{43\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{74\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!55}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!56}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!71}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!37}a-\frac{28\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{59\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{85\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!02}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!37}a+\frac{12\!\cdots\!16}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{29\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!75}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!79}{43\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!83}{43\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!37}a-\frac{27\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{80\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!35}{43\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!13}{43\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!37}a-\frac{11\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{77\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!25}{43\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!95}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!37}a-\frac{13\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{59\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!15}{43\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!04}{43\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!26}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!15}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!25}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!44}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!95}{43\!\cdots\!37}a-\frac{17\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{40\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{73\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!83}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!04}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!37}a-\frac{63\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{32\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!60}{43\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!38}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!65}{43\!\cdots\!37}a-\frac{58\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!37}$, $\frac{77\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!55}{43\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{80\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!37}a-\frac{84\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!37}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 967276.035305 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{9}\cdot(2\pi)^{6}\cdot 967276.035305 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3326751700248238687839567609}}\cr\approx \mathstrut & 0.264155349265 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 6*x^20 + 12*x^19 - 2*x^18 - 27*x^17 + 36*x^16 - 39*x^15 + 180*x^14 - 396*x^13 + 183*x^12 + 558*x^11 - 738*x^10 - 339*x^9 + 1035*x^8 + 27*x^7 - 936*x^6 + 27*x^5 + 621*x^4 + 99*x^3 - 189*x^2 - 81*x - 9)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 6*x^20 + 12*x^19 - 2*x^18 - 27*x^17 + 36*x^16 - 39*x^15 + 180*x^14 - 396*x^13 + 183*x^12 + 558*x^11 - 738*x^10 - 339*x^9 + 1035*x^8 + 27*x^7 - 936*x^6 + 27*x^5 + 621*x^4 + 99*x^3 - 189*x^2 - 81*x - 9, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 6*x^20 + 12*x^19 - 2*x^18 - 27*x^17 + 36*x^16 - 39*x^15 + 180*x^14 - 396*x^13 + 183*x^12 + 558*x^11 - 738*x^10 - 339*x^9 + 1035*x^8 + 27*x^7 - 936*x^6 + 27*x^5 + 621*x^4 + 99*x^3 - 189*x^2 - 81*x - 9);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 6*x^20 + 12*x^19 - 2*x^18 - 27*x^17 + 36*x^16 - 39*x^15 + 180*x^14 - 396*x^13 + 183*x^12 + 558*x^11 - 738*x^10 - 339*x^9 + 1035*x^8 + 27*x^7 - 936*x^6 + 27*x^5 + 621*x^4 + 99*x^3 - 189*x^2 - 81*x - 9);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3\times A_7$ (as 21T44):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 7560 |
| The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times A_7$ |
| Character table for $C_3\times A_7$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 7.3.18429849.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 45 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | R | $21$ | $15{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{2}$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$ | $15{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/31.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | R | $15{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| 3.3.4.2 | $x^{3} + 6 x^{2} + 3$ | $3$ | $1$ | $4$ | $C_3$ | $[2]$ |
| Deg $18$ | $9$ | $2$ | $32$ | ||||
|
\(53\)
| 53.3.0.1 | $x^{3} + 3 x + 51$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 53.3.0.1 | $x^{3} + 3 x + 51$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 53.3.0.1 | $x^{3} + 3 x + 51$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 53.4.2.1 | $x^{4} + 4974 x^{3} + 6304741 x^{2} + 297375564 x + 18587952$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 53.4.2.1 | $x^{4} + 4974 x^{3} + 6304741 x^{2} + 297375564 x + 18587952$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 53.4.2.1 | $x^{4} + 4974 x^{3} + 6304741 x^{2} + 297375564 x + 18587952$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |