Normalized defining polynomial
\( x^{21} - 4 x^{20} + 8 x^{19} - 4 x^{18} - 36 x^{17} + 48 x^{16} - 52 x^{15} + 114 x^{14} - 216 x^{12} + \cdots - 4 \)
Invariants
Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[9, 6]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(101010740538307114619974951370752\) \(\medspace = 2^{20}\cdot 37^{7}\cdot 317^{6}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(33.42\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{20/21}37^{1/2}317^{1/2}\approx 209.56836594522878$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(37\), \(317\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{37}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $\frac{1}{2}a^{11}$, $\frac{1}{2}a^{12}$, $\frac{1}{2}a^{13}$, $\frac{1}{2}a^{14}$, $\frac{1}{2}a^{15}$, $\frac{1}{2}a^{16}$, $\frac{1}{2}a^{17}$, $\frac{1}{2}a^{18}$, $\frac{1}{2}a^{19}$, $\frac{1}{17\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!26}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!85}{89\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!04}{89\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!55}{89\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!26}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!01}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{66\!\cdots\!60}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!99}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!24}{89\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!01}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!99}{89\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!80}{89\!\cdots\!63}a-\frac{80\!\cdots\!63}{89\!\cdots\!63}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{81\!\cdots\!47}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!77}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!26}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!16}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!59}{89\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!10}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!33}{89\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!71}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!32}{89\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!38}{89\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!50}{89\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!63}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!38}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!82}{89\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!32}{89\!\cdots\!63}a-\frac{11\!\cdots\!67}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{10\!\cdots\!49}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!91}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!54}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!20}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!23}{89\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!26}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!79}{89\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!90}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!38}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!80}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!61}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!12}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!88}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!89}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!86}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!30}{89\!\cdots\!63}a+\frac{37\!\cdots\!77}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!88}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!73}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!26}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!20}{89\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!32}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!01}{89\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!26}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!99}{89\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!18}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!84}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!04}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!05}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!14}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!24}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!04}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!56}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!38}{89\!\cdots\!63}a+\frac{43\!\cdots\!65}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{32\!\cdots\!41}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!96}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!31}{89\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!11}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!22}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!68}{89\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!26}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!67}{89\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!80}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!42}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!77}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!44}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!42}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!76}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!42}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!39}{89\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!02}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!70}{89\!\cdots\!63}a+\frac{65\!\cdots\!69}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{45\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!26}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!60}{89\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!26}{89\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{83\!\cdots\!21}{89\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!09}{89\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!56}{89\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!28}{89\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!81}{89\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!34}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!82}{89\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!33}{89\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!92}{89\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!62}{89\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!88}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!14}{89\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!12}{89\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!20}{89\!\cdots\!63}a-\frac{13\!\cdots\!11}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{62\!\cdots\!50}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!75}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!26}{89\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!99}{89\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!26}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!81}{89\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{85\!\cdots\!92}{89\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!12}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!10}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!63}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!70}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!04}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!74}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!00}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!45}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!30}{89\!\cdots\!63}a+\frac{31\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{32\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!55}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!59}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!26}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!26}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!39}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!17}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!84}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!59}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!25}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!68}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!19}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!65}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!16}{89\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!62}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!38}{89\!\cdots\!63}a+\frac{46\!\cdots\!99}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{74\!\cdots\!11}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!81}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!26}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!15}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!95}{89\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!26}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!72}{89\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!67}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!71}{89\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!31}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!71}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!20}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!41}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!94}{89\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!95}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{79\!\cdots\!04}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!98}{89\!\cdots\!63}a+\frac{15\!\cdots\!97}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{19\!\cdots\!79}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!24}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!26}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!26}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!49}{89\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!54}{89\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!68}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{82\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!60}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!53}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!94}{89\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!64}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!00}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!66}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!45}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!77}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!06}{89\!\cdots\!63}a-\frac{57\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{79\!\cdots\!54}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!26}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!26}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!93}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!32}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!43}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!96}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!79}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!05}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!01}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!12}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!93}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!69}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!90}{89\!\cdots\!63}a-\frac{76\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{10\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!26}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!64}{89\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!26}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!70}{89\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!26}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!61}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!98}{89\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!77}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!41}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!42}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!98}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!92}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!79}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!96}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!26}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!87}{89\!\cdots\!63}a-\frac{90\!\cdots\!15}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{74\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!26}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!97}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!17}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{84\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!26}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!26}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!48}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!55}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!33}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!30}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!62}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!52}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!80}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!15}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!44}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!86}{89\!\cdots\!63}a+\frac{60\!\cdots\!83}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{63\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!72}{89\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!26}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!30}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!26}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!88}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!33}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!07}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!21}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!71}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!50}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!15}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!59}{89\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{93\!\cdots\!76}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!36}{89\!\cdots\!63}a+\frac{42\!\cdots\!53}{89\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!26}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!72}{89\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{85\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!26}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!21}{89\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!26}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!73}{89\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!19}{89\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!85}{89\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!14}{89\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!80}{89\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!68}{89\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!04}{89\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!03}{89\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!96}{89\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!95}{89\!\cdots\!63}a+\frac{40\!\cdots\!57}{89\!\cdots\!63}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 241328139.391 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{9}\cdot(2\pi)^{6}\cdot 241328139.391 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{101010740538307114619974951370752}}\cr\approx \mathstrut & 0.378219017810 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$S_3\times \GL(3,2)$ (as 21T27):
A non-solvable group of order 1008 |
The 18 conjugacy class representatives for $S_3\times \GL(3,2)$ |
Character table for $S_3\times \GL(3,2)$ |
Intermediate fields
3.3.148.1, 7.3.6431296.2 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 24 sibling: | data not computed |
Degree 42 siblings: | data not computed |
Arithmetically equvalently siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | $21$ | ${\href{/padicField/5.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/19.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{9}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/31.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }$ | R | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.21.20.1 | $x^{21} + 2$ | $21$ | $1$ | $20$ | 21T11 | $[\ ]_{21}^{6}$ |
\(37\) | 37.7.0.1 | $x^{7} + 7 x + 35$ | $1$ | $7$ | $0$ | $C_7$ | $[\ ]^{7}$ |
37.14.7.1 | $x^{14} + 6475 x^{13} + 17968384 x^{12} + 27702296825 x^{11} + 25626619053749 x^{10} + 14225028541792250 x^{9} + 4387630775227591619 x^{8} + 580470771655705630995 x^{7} + 162342338683546885633 x^{6} + 19474064268228311560 x^{5} + 1298245444129580597 x^{4} + 152347376246974125 x^{3} + 31188393261851492275 x^{2} + 4209354931095980413020 x + 20435693672323026267417$ | $2$ | $7$ | $7$ | $C_{14}$ | $[\ ]_{2}^{7}$ | |
\(317\) | $\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ |