Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 60*x^19 + 224*x^18 + 1382*x^17 - 4786*x^16 - 16074*x^15 + 51216*x^14 + 104984*x^13 - 301449*x^12 - 405653*x^11 + 1007842*x^10 + 952245*x^9 - 1910342*x^8 - 1353475*x^7 + 1951543*x^6 + 1093353*x^5 - 915746*x^4 - 403833*x^3 + 109604*x^2 + 19366*x + 521)
gp: K = bnfinit(y^21 - 4*y^20 - 60*y^19 + 224*y^18 + 1382*y^17 - 4786*y^16 - 16074*y^15 + 51216*y^14 + 104984*y^13 - 301449*y^12 - 405653*y^11 + 1007842*y^10 + 952245*y^9 - 1910342*y^8 - 1353475*y^7 + 1951543*y^6 + 1093353*y^5 - 915746*y^4 - 403833*y^3 + 109604*y^2 + 19366*y + 521, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 4*x^20 - 60*x^19 + 224*x^18 + 1382*x^17 - 4786*x^16 - 16074*x^15 + 51216*x^14 + 104984*x^13 - 301449*x^12 - 405653*x^11 + 1007842*x^10 + 952245*x^9 - 1910342*x^8 - 1353475*x^7 + 1951543*x^6 + 1093353*x^5 - 915746*x^4 - 403833*x^3 + 109604*x^2 + 19366*x + 521);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 60*x^19 + 224*x^18 + 1382*x^17 - 4786*x^16 - 16074*x^15 + 51216*x^14 + 104984*x^13 - 301449*x^12 - 405653*x^11 + 1007842*x^10 + 952245*x^9 - 1910342*x^8 - 1353475*x^7 + 1951543*x^6 + 1093353*x^5 - 915746*x^4 - 403833*x^3 + 109604*x^2 + 19366*x + 521)
\( x^{21} - 4 x^{20} - 60 x^{19} + 224 x^{18} + 1382 x^{17} - 4786 x^{16} - 16074 x^{15} + 51216 x^{14} + \cdots + 521 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(828649541657828886975358787618681750730529\)
\(\medspace = 13^{14}\cdot 29^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(99.11\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $13^{2/3}29^{6/7}\approx 99.10895562881393$ | ||
| Ramified primes: |
\(13\), \(29\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(377=13\cdot 29\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{377}(256,·)$, $\chi_{377}(1,·)$, $\chi_{377}(326,·)$, $\chi_{377}(74,·)$, $\chi_{377}(139,·)$, $\chi_{377}(204,·)$, $\chi_{377}(16,·)$, $\chi_{377}(81,·)$, $\chi_{377}(146,·)$, $\chi_{377}(339,·)$, $\chi_{377}(152,·)$, $\chi_{377}(94,·)$, $\chi_{377}(198,·)$, $\chi_{377}(165,·)$, $\chi_{377}(170,·)$, $\chi_{377}(107,·)$, $\chi_{377}(373,·)$, $\chi_{377}(248,·)$, $\chi_{377}(313,·)$, $\chi_{377}(315,·)$, $\chi_{377}(53,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{2669}a^{18}-\frac{386}{2669}a^{17}+\frac{682}{2669}a^{16}-\frac{18}{2669}a^{15}-\frac{437}{2669}a^{14}-\frac{195}{2669}a^{13}+\frac{876}{2669}a^{12}+\frac{22}{157}a^{11}+\frac{236}{2669}a^{10}-\frac{41}{157}a^{9}-\frac{1325}{2669}a^{8}+\frac{50}{2669}a^{7}+\frac{1273}{2669}a^{6}-\frac{347}{2669}a^{5}-\frac{622}{2669}a^{4}-\frac{970}{2669}a^{3}+\frac{1112}{2669}a^{2}-\frac{251}{2669}a+\frac{60}{2669}$, $\frac{1}{2669}a^{19}+\frac{1150}{2669}a^{17}-\frac{997}{2669}a^{16}+\frac{622}{2669}a^{15}-\frac{730}{2669}a^{14}+\frac{338}{2669}a^{13}-\frac{453}{2669}a^{12}+\frac{474}{2669}a^{11}-\frac{347}{2669}a^{10}-\frac{798}{2669}a^{9}+\frac{1048}{2669}a^{8}-\frac{779}{2669}a^{7}-\frac{65}{2669}a^{6}-\frac{1114}{2669}a^{5}-\frac{852}{2669}a^{4}+\frac{352}{2669}a^{3}-\frac{728}{2669}a^{2}-\frac{742}{2669}a-\frac{861}{2669}$, $\frac{1}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!53}a-\frac{91\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!53}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{33\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{98\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!09}a-\frac{48\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!09}$, $\frac{16\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{71\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{91\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!53}a-\frac{10\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{26\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!09}a+\frac{47\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!09}$, $\frac{57\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{96\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{86\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!53}a+\frac{91\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{33\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{97\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{92\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{54\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!53}a-\frac{52\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{20\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{89\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}a+\frac{21\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{12\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{71\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!53}a+\frac{34\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{38\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!09}a+\frac{32\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!09}$, $\frac{12\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{77\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!09}a+\frac{79\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{82\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!53}a+\frac{45\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{15\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{74\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{86\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!53}a-\frac{63\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{14\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{81\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{60\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!53}a-\frac{37\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{32\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!53}a-\frac{36\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{40\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{88\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!53}a-\frac{21\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{38\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{97\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{71\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!09}a-\frac{23\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{12\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!53}a+\frac{72\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{99\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!53}a+\frac{18\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{28\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!53}a+\frac{67\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!09}$, $\frac{17\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!53}a+\frac{27\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!53}$, $\frac{69\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!53}a+\frac{22\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!53}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 117685929270000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 117685929270000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{828649541657828886975358787618681750730529}}\cr\approx \mathstrut & 0.135562324463578 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 60*x^19 + 224*x^18 + 1382*x^17 - 4786*x^16 - 16074*x^15 + 51216*x^14 + 104984*x^13 - 301449*x^12 - 405653*x^11 + 1007842*x^10 + 952245*x^9 - 1910342*x^8 - 1353475*x^7 + 1951543*x^6 + 1093353*x^5 - 915746*x^4 - 403833*x^3 + 109604*x^2 + 19366*x + 521)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 4*x^20 - 60*x^19 + 224*x^18 + 1382*x^17 - 4786*x^16 - 16074*x^15 + 51216*x^14 + 104984*x^13 - 301449*x^12 - 405653*x^11 + 1007842*x^10 + 952245*x^9 - 1910342*x^8 - 1353475*x^7 + 1951543*x^6 + 1093353*x^5 - 915746*x^4 - 403833*x^3 + 109604*x^2 + 19366*x + 521, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 4*x^20 - 60*x^19 + 224*x^18 + 1382*x^17 - 4786*x^16 - 16074*x^15 + 51216*x^14 + 104984*x^13 - 301449*x^12 - 405653*x^11 + 1007842*x^10 + 952245*x^9 - 1910342*x^8 - 1353475*x^7 + 1951543*x^6 + 1093353*x^5 - 915746*x^4 - 403833*x^3 + 109604*x^2 + 19366*x + 521);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 60*x^19 + 224*x^18 + 1382*x^17 - 4786*x^16 - 16074*x^15 + 51216*x^14 + 104984*x^13 - 301449*x^12 - 405653*x^11 + 1007842*x^10 + 952245*x^9 - 1910342*x^8 - 1353475*x^7 + 1951543*x^6 + 1093353*x^5 - 915746*x^4 - 403833*x^3 + 109604*x^2 + 19366*x + 521);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ |
Intermediate fields
| 3.3.169.1, 7.7.594823321.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | R | ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | $21$ | R | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | ${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{7}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(13\)
| 13.21.14.1 | $x^{21} + 91 x^{18} + 3558 x^{15} + 33 x^{14} + 71162 x^{12} - 33033 x^{11} + 1138073 x^{9} + 1991187 x^{8} + 363 x^{7} + 9603867 x^{6} - 19222203 x^{5} + 165165 x^{4} + 21288112 x^{3} + 26273544 x^{2} + 430518 x + 66151155$ | $3$ | $7$ | $14$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{3}^{7}$ |
|
\(29\)
| 29.21.18.1 | $x^{21} + 14 x^{19} + 189 x^{18} + 84 x^{17} + 2268 x^{16} + 15589 x^{15} + 11427 x^{14} + 153650 x^{13} + 717115 x^{12} + 432159 x^{11} + 5567156 x^{10} + 20264083 x^{9} + 39216891 x^{8} + 112106489 x^{7} + 327839953 x^{6} - 232537242 x^{5} + 1236492831 x^{4} + 2628708565 x^{3} + 2505798050 x^{2} + 5356579151 x + 10679149938$ | $7$ | $3$ | $18$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{7}^{3}$ |