Number field 21.21.808066270618405716993861719647864148675120272481133649.1

• Label: 21.21.808...649.1
• Degree: $21$
• Signature: $[21, 0]$
• Discriminant: $8.081\times 10^{53}$
• Root discriminant: \(369.00\)
• Ramified primes: $7,127$
• Class number: $3$ (GRH)
• Class group: [3] (GRH)
• Galois group: $C_{21}$ (as 21T1)

Normalized defining polynomial

x^21 - x^20 - 314*x^19 + 641*x^18 + 39405*x^17 - 119809*x^16 - 2475109*x^15 + 10025575*x^14 + 78717981*x^13 - 415588104*x^12 - 1066077495*x^11 + 8308415958*x^10 + 1043228987*x^9 - 70546887095*x^8 + 59456573110*x^7 + 267134979239*x^6 - 357627209452*x^5 - 425427767421*x^4 + 739147737632*x^3 + 189916353207*x^2 - 511171099198*x + 73391024141

Invariants

Degree:		$21$
Signature:		$[21, 0]$
Discriminant:		\(808066270618405716993861719647864148675120272481133649\) \(\medspace = 7^{14}\cdot 127^{20}\)
Root discriminant:		\(369.00\)
Galois root discriminant:		$7^{2/3}127^{20/21}\approx 368.99568256878683$
Ramified primes:		\(7\), \(127\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$21$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(889=7\cdot 127\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{889}(512,·)$, $\chi_{889}(1,·)$, $\chi_{889}(835,·)$, $\chi_{889}(8,·)$, $\chi_{889}(457,·)$, $\chi_{889}(778,·)$, $\chi_{889}(823,·)$, $\chi_{889}(527,·)$, $\chi_{889}(660,·)$, $\chi_{889}(214,·)$, $\chi_{889}(540,·)$, $\chi_{889}(221,·)$, $\chi_{889}(361,·)$, $\chi_{889}(800,·)$, $\chi_{889}(100,·)$, $\chi_{889}(64,·)$, $\chi_{889}(879,·)$, $\chi_{889}(177,·)$, $\chi_{889}(809,·)$, $\chi_{889}(249,·)$, $\chi_{889}(764,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{37}a^{14}+\frac{5}{37}a^{13}-\frac{13}{37}a^{12}+\frac{9}{37}a^{11}-\frac{11}{37}a^{10}-\frac{2}{37}a^{9}+\frac{6}{37}a^{8}-\frac{15}{37}a^{7}-\frac{6}{37}a^{6}+\frac{9}{37}a^{5}+\frac{18}{37}a^{4}-\frac{17}{37}a^{3}+\frac{11}{37}a^{2}+\frac{17}{37}a$, $\frac{1}{37}a^{15}-\frac{1}{37}a^{13}+\frac{18}{37}a^{11}+\frac{16}{37}a^{10}+\frac{16}{37}a^{9}-\frac{8}{37}a^{8}-\frac{5}{37}a^{7}+\frac{2}{37}a^{6}+\frac{10}{37}a^{5}+\frac{4}{37}a^{4}-\frac{15}{37}a^{3}-\frac{1}{37}a^{2}-\frac{11}{37}a$, $\frac{1}{37}a^{16}+\frac{5}{37}a^{13}+\frac{5}{37}a^{12}-\frac{12}{37}a^{11}+\frac{5}{37}a^{10}-\frac{10}{37}a^{9}+\frac{1}{37}a^{8}-\frac{13}{37}a^{7}+\frac{4}{37}a^{6}+\frac{13}{37}a^{5}+\frac{3}{37}a^{4}-\frac{18}{37}a^{3}+\frac{17}{37}a$, $\frac{1}{37}a^{17}+\frac{17}{37}a^{13}+\frac{16}{37}a^{12}-\frac{3}{37}a^{11}+\frac{8}{37}a^{10}+\frac{11}{37}a^{9}-\frac{6}{37}a^{8}+\frac{5}{37}a^{7}+\frac{6}{37}a^{6}-\frac{5}{37}a^{5}+\frac{3}{37}a^{4}+\frac{11}{37}a^{3}-\frac{1}{37}a^{2}-\frac{11}{37}a$, $\frac{1}{83428229}a^{18}-\frac{973093}{83428229}a^{17}+\frac{1123538}{83428229}a^{16}+\frac{825068}{83428229}a^{15}-\frac{867799}{83428229}a^{14}-\frac{18353312}{83428229}a^{13}+\frac{4918030}{83428229}a^{12}+\frac{761478}{2254817}a^{11}-\frac{36625050}{83428229}a^{10}+\frac{32031497}{83428229}a^{9}-\frac{13961214}{83428229}a^{8}+\frac{12210671}{83428229}a^{7}-\frac{38598631}{83428229}a^{6}+\frac{3452607}{83428229}a^{5}-\frac{40605712}{83428229}a^{4}-\frac{13835179}{83428229}a^{3}-\frac{19565266}{83428229}a^{2}-\frac{30347869}{83428229}a+\frac{3088}{15133}$, $\frac{1}{72\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{19974108}{72\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{20744423177750}{72\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{19642486555106}{72\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{49564957906972}{72\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{45189285770560}{72\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{939418934205615}{72\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!34}{72\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!01}{72\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!97}{72\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{21460729477524}{47832490530173}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!18}{72\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{494667970305176}{72\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{295872636941181}{72\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{197015580956911}{72\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!19}{72\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!40}{72\!\cdots\!23}a-\frac{580227798739}{1310122631971}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!03}a-\frac{21\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!31}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$20$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{10\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{89\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!03}a-\frac{98\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{88\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!03}a-\frac{98\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{15\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!03}a-\frac{22\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{76\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{97\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!03}a-\frac{68\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{24\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a-\frac{20\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{27\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a-\frac{24\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{16\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!13}{74\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{84\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{88\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a-\frac{12\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{11\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!03}a-\frac{10\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{15\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{52\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{78\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a+\frac{24\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{41\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{92\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a-\frac{30\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{50\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{60\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a-\frac{31\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{34\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a-\frac{19\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{19\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{76\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a-\frac{17\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{57\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{86\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!03}a-\frac{53\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{45\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a-\frac{39\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{26\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a-\frac{32\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{89\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{95\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!89}{73\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!09}{74\!\cdots\!47}a-\frac{88\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{58\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!03}a-\frac{41\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{39\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!65}{73\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a-\frac{33\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{83\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!03}a+\frac{61\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!31}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 84153812913585720000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 84153812913585720000 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{808066270618405716993861719647864148675120272481133649}}\cr\approx \mathstrut & 0.294490626863120 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

A cyclic group of order 21

The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$

Character table for $C_{21}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.790321.1, 7.7.4195872914689.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$21$	${\href{/padicField/3.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	R	$21$	$21$	$21$	${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{7}$	$21$	$21$	${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{3}$	${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{21}$	$21$	$21$	$21$	$21$	${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{7}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(7\)		Deg $21$	$3$	$7$	$14$
\(127\)	127.21.20.1	$x^{21} + 127$	$21$	$1$	$20$	$C_{21}$	$[\ ]_{21}$