Properties

Label 21.21.577...689.1
Degree $21$
Signature $[21, 0]$
Discriminant $5.779\times 10^{42}$
Root discriminant \(108.71\)
Ramified primes $3,43$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{21}$ (as 21T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 72*x^19 + 262*x^18 + 1785*x^17 - 7923*x^16 - 17502*x^15 + 107772*x^14 + 38604*x^13 - 717609*x^12 + 440313*x^11 + 2251605*x^10 - 3001988*x^9 - 2337081*x^8 + 6238701*x^7 - 1893950*x^6 - 3157635*x^5 + 2597691*x^4 - 495851*x^3 - 66246*x^2 + 18912*x + 251)
 
gp: K = bnfinit(y^21 - 3*y^20 - 72*y^19 + 262*y^18 + 1785*y^17 - 7923*y^16 - 17502*y^15 + 107772*y^14 + 38604*y^13 - 717609*y^12 + 440313*y^11 + 2251605*y^10 - 3001988*y^9 - 2337081*y^8 + 6238701*y^7 - 1893950*y^6 - 3157635*y^5 + 2597691*y^4 - 495851*y^3 - 66246*y^2 + 18912*y + 251, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 72*x^19 + 262*x^18 + 1785*x^17 - 7923*x^16 - 17502*x^15 + 107772*x^14 + 38604*x^13 - 717609*x^12 + 440313*x^11 + 2251605*x^10 - 3001988*x^9 - 2337081*x^8 + 6238701*x^7 - 1893950*x^6 - 3157635*x^5 + 2597691*x^4 - 495851*x^3 - 66246*x^2 + 18912*x + 251);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 72*x^19 + 262*x^18 + 1785*x^17 - 7923*x^16 - 17502*x^15 + 107772*x^14 + 38604*x^13 - 717609*x^12 + 440313*x^11 + 2251605*x^10 - 3001988*x^9 - 2337081*x^8 + 6238701*x^7 - 1893950*x^6 - 3157635*x^5 + 2597691*x^4 - 495851*x^3 - 66246*x^2 + 18912*x + 251)
 

\( x^{21} - 3 x^{20} - 72 x^{19} + 262 x^{18} + 1785 x^{17} - 7923 x^{16} - 17502 x^{15} + 107772 x^{14} + 38604 x^{13} - 717609 x^{12} + 440313 x^{11} + 2251605 x^{10} + \cdots + 251 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $21$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[21, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(5778662528422377251527626979988196021835689\) \(\medspace = 3^{28}\cdot 43^{18}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(108.71\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $3^{4/3}43^{6/7}\approx 108.71200160070175$
Ramified primes:   \(3\), \(43\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $21$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(387=3^{2}\cdot 43\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{387}(256,·)$, $\chi_{387}(1,·)$, $\chi_{387}(130,·)$, $\chi_{387}(259,·)$, $\chi_{387}(4,·)$, $\chi_{387}(133,·)$, $\chi_{387}(262,·)$, $\chi_{387}(385,·)$, $\chi_{387}(64,·)$, $\chi_{387}(322,·)$, $\chi_{387}(16,·)$, $\chi_{387}(145,·)$, $\chi_{387}(274,·)$, $\chi_{387}(97,·)$, $\chi_{387}(226,·)$, $\chi_{387}(355,·)$, $\chi_{387}(193,·)$, $\chi_{387}(121,·)$, $\chi_{387}(250,·)$, $\chi_{387}(379,·)$, $\chi_{387}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{14}-\frac{2}{7}a^{13}-\frac{3}{7}a^{12}-\frac{2}{7}a^{11}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{2}{7}a^{9}-\frac{2}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{7}-\frac{2}{7}a^{6}+\frac{2}{7}a^{5}+\frac{2}{7}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}-\frac{2}{7}a+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{16}-\frac{3}{7}a^{14}-\frac{1}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{3}{7}a^{11}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{3}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{3}+\frac{1}{7}a^{2}-\frac{3}{7}a-\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{17}+\frac{2}{7}a^{14}+\frac{2}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{2}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{10}+\frac{3}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a^{6}+\frac{1}{7}a^{5}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{2}-\frac{1}{7}a-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{259}a^{18}+\frac{8}{259}a^{17}-\frac{4}{259}a^{16}-\frac{2}{259}a^{15}+\frac{68}{259}a^{14}-\frac{13}{259}a^{13}-\frac{52}{259}a^{12}+\frac{39}{259}a^{11}-\frac{69}{259}a^{10}-\frac{41}{259}a^{9}-\frac{29}{259}a^{8}-\frac{88}{259}a^{7}+\frac{118}{259}a^{6}-\frac{25}{259}a^{5}+\frac{1}{259}a^{4}-\frac{2}{37}a^{3}-\frac{61}{259}a^{2}+\frac{25}{259}a+\frac{27}{259}$, $\frac{1}{259}a^{19}+\frac{6}{259}a^{17}-\frac{1}{37}a^{16}+\frac{10}{259}a^{15}-\frac{113}{259}a^{14}+\frac{18}{37}a^{13}-\frac{9}{37}a^{12}+\frac{9}{37}a^{11}+\frac{67}{259}a^{10}+\frac{3}{259}a^{9}-\frac{78}{259}a^{8}+\frac{8}{259}a^{7}-\frac{1}{37}a^{6}-\frac{58}{259}a^{5}+\frac{52}{259}a^{4}+\frac{88}{259}a^{3}+\frac{69}{259}a^{2}+\frac{12}{259}a-\frac{15}{37}$, $\frac{1}{32\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!98}{86\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a-\frac{13\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{15\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!03}a-\frac{36\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{16\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{95\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a-\frac{40\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{20\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!82}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a-\frac{23\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{89\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!96}{86\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a-\frac{21\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{62\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!16}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!60}{32\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a+\frac{30\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{15\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!03}a-\frac{27\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{27\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a+\frac{60\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{93\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!62}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!43}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a-\frac{41\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{24\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!39}{86\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!21}a-\frac{50\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{51\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!03}a-\frac{95\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{33\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a+\frac{18\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{78\!\cdots\!59}{86\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!91}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a-\frac{58\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{47\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{87\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a-\frac{10\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{21\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a-\frac{55\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{80\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{90\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a-\frac{18\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{58\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{60\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!82}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a+\frac{63\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{29\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!16}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!15}{86\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!26}{86\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!21}a-\frac{63\!\cdots\!68}{86\!\cdots\!33}$, $\frac{33\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{59\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!34}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{82\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!20}{86\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!03}a-\frac{66\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{31\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{82\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!34}{86\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!21}a-\frac{10\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{61\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{91\!\cdots\!64}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}a-\frac{94\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!21}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 520470899652557.25 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 520470899652557.25 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{5778662528422377251527626979988196021835689}}\cr\approx \mathstrut & 0.227029712629706 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 72*x^19 + 262*x^18 + 1785*x^17 - 7923*x^16 - 17502*x^15 + 107772*x^14 + 38604*x^13 - 717609*x^12 + 440313*x^11 + 2251605*x^10 - 3001988*x^9 - 2337081*x^8 + 6238701*x^7 - 1893950*x^6 - 3157635*x^5 + 2597691*x^4 - 495851*x^3 - 66246*x^2 + 18912*x + 251)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^21 - 3*x^20 - 72*x^19 + 262*x^18 + 1785*x^17 - 7923*x^16 - 17502*x^15 + 107772*x^14 + 38604*x^13 - 717609*x^12 + 440313*x^11 + 2251605*x^10 - 3001988*x^9 - 2337081*x^8 + 6238701*x^7 - 1893950*x^6 - 3157635*x^5 + 2597691*x^4 - 495851*x^3 - 66246*x^2 + 18912*x + 251, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 72*x^19 + 262*x^18 + 1785*x^17 - 7923*x^16 - 17502*x^15 + 107772*x^14 + 38604*x^13 - 717609*x^12 + 440313*x^11 + 2251605*x^10 - 3001988*x^9 - 2337081*x^8 + 6238701*x^7 - 1893950*x^6 - 3157635*x^5 + 2597691*x^4 - 495851*x^3 - 66246*x^2 + 18912*x + 251);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 72*x^19 + 262*x^18 + 1785*x^17 - 7923*x^16 - 17502*x^15 + 107772*x^14 + 38604*x^13 - 717609*x^12 + 440313*x^11 + 2251605*x^10 - 3001988*x^9 - 2337081*x^8 + 6238701*x^7 - 1893950*x^6 - 3157635*x^5 + 2597691*x^4 - 495851*x^3 - 66246*x^2 + 18912*x + 251);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 21
The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$
Character table for $C_{21}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 7.7.6321363049.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $21$ R $21$ ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{7}$ $21$ $21$ ${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{3}$ ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$ $21$ $21$ $21$ ${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{21}$ $21$ R $21$ ${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{3}$ $21$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display Deg $21$$3$$7$$28$
\(43\) Copy content Toggle raw display 43.21.18.1$x^{21} + 7 x^{19} + 280 x^{18} + 21 x^{17} + 1680 x^{16} + 33635 x^{15} + 4329 x^{14} + 168035 x^{13} + 2244095 x^{12} - 61299 x^{11} + 8968113 x^{10} + 90417607 x^{9} + 87127383 x^{8} + 268576228 x^{7} + 2166585785 x^{6} - 1927520658 x^{5} + 4325254703 x^{4} + 28203001190 x^{3} + 11393688901 x^{2} + 28637768474 x + 164611638870$$7$$3$$18$$C_{21}$$[\ ]_{7}^{3}$