Normalized defining polynomial
\( x^{21} - 3 x^{20} - 72 x^{19} + 262 x^{18} + 1785 x^{17} - 7923 x^{16} - 17502 x^{15} + 107772 x^{14} + 38604 x^{13} - 717609 x^{12} + 440313 x^{11} + 2251605 x^{10} + \cdots + 251 \)
Invariants
Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(5778662528422377251527626979988196021835689\) \(\medspace = 3^{28}\cdot 43^{18}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(108.71\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $3^{4/3}43^{6/7}\approx 108.71200160070175$ | ||
Ramified primes: | \(3\), \(43\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(387=3^{2}\cdot 43\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{387}(256,·)$, $\chi_{387}(1,·)$, $\chi_{387}(130,·)$, $\chi_{387}(259,·)$, $\chi_{387}(4,·)$, $\chi_{387}(133,·)$, $\chi_{387}(262,·)$, $\chi_{387}(385,·)$, $\chi_{387}(64,·)$, $\chi_{387}(322,·)$, $\chi_{387}(16,·)$, $\chi_{387}(145,·)$, $\chi_{387}(274,·)$, $\chi_{387}(97,·)$, $\chi_{387}(226,·)$, $\chi_{387}(355,·)$, $\chi_{387}(193,·)$, $\chi_{387}(121,·)$, $\chi_{387}(250,·)$, $\chi_{387}(379,·)$, $\chi_{387}(127,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{14}-\frac{2}{7}a^{13}-\frac{3}{7}a^{12}-\frac{2}{7}a^{11}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{2}{7}a^{9}-\frac{2}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{7}-\frac{2}{7}a^{6}+\frac{2}{7}a^{5}+\frac{2}{7}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}-\frac{2}{7}a+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{16}-\frac{3}{7}a^{14}-\frac{1}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{3}{7}a^{11}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{3}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{3}+\frac{1}{7}a^{2}-\frac{3}{7}a-\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{17}+\frac{2}{7}a^{14}+\frac{2}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{2}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{10}+\frac{3}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a^{6}+\frac{1}{7}a^{5}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{2}-\frac{1}{7}a-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{259}a^{18}+\frac{8}{259}a^{17}-\frac{4}{259}a^{16}-\frac{2}{259}a^{15}+\frac{68}{259}a^{14}-\frac{13}{259}a^{13}-\frac{52}{259}a^{12}+\frac{39}{259}a^{11}-\frac{69}{259}a^{10}-\frac{41}{259}a^{9}-\frac{29}{259}a^{8}-\frac{88}{259}a^{7}+\frac{118}{259}a^{6}-\frac{25}{259}a^{5}+\frac{1}{259}a^{4}-\frac{2}{37}a^{3}-\frac{61}{259}a^{2}+\frac{25}{259}a+\frac{27}{259}$, $\frac{1}{259}a^{19}+\frac{6}{259}a^{17}-\frac{1}{37}a^{16}+\frac{10}{259}a^{15}-\frac{113}{259}a^{14}+\frac{18}{37}a^{13}-\frac{9}{37}a^{12}+\frac{9}{37}a^{11}+\frac{67}{259}a^{10}+\frac{3}{259}a^{9}-\frac{78}{259}a^{8}+\frac{8}{259}a^{7}-\frac{1}{37}a^{6}-\frac{58}{259}a^{5}+\frac{52}{259}a^{4}+\frac{88}{259}a^{3}+\frac{69}{259}a^{2}+\frac{12}{259}a-\frac{15}{37}$, $\frac{1}{32\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!98}{86\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a-\frac{13\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{15\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!03}a-\frac{36\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{16\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{95\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a-\frac{40\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{20\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!82}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a-\frac{23\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{89\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!96}{86\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a-\frac{21\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{62\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!16}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!60}{32\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a+\frac{30\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{15\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!03}a-\frac{27\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{27\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a+\frac{60\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{93\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!62}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!43}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a-\frac{41\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{24\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!39}{86\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!21}a-\frac{50\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{51\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!03}a-\frac{95\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{33\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a+\frac{18\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{78\!\cdots\!59}{86\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!91}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a-\frac{58\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{47\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{87\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a-\frac{10\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{21\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a-\frac{55\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{80\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{90\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a-\frac{18\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{58\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{60\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!82}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!21}a+\frac{63\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{29\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!16}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!15}{86\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!26}{86\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!21}a-\frac{63\!\cdots\!68}{86\!\cdots\!33}$, $\frac{33\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{59\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!34}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{82\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!20}{86\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!03}a-\frac{66\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}$, $\frac{31\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{82\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!34}{86\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!21}a-\frac{10\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!03}$, $\frac{61\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{91\!\cdots\!64}{86\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!21}a-\frac{94\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!21}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 520470899652557.25 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 520470899652557.25 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{5778662528422377251527626979988196021835689}}\cr\approx \mathstrut & 0.227029712629706 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 21 |
The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
Character table for $C_{21}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\zeta_{9})^+\), 7.7.6321363049.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $21$ | R | $21$ | ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{21}$ | $21$ | R | $21$ | ${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(3\) | Deg $21$ | $3$ | $7$ | $28$ | |||
\(43\) | 43.21.18.1 | $x^{21} + 7 x^{19} + 280 x^{18} + 21 x^{17} + 1680 x^{16} + 33635 x^{15} + 4329 x^{14} + 168035 x^{13} + 2244095 x^{12} - 61299 x^{11} + 8968113 x^{10} + 90417607 x^{9} + 87127383 x^{8} + 268576228 x^{7} + 2166585785 x^{6} - 1927520658 x^{5} + 4325254703 x^{4} + 28203001190 x^{3} + 11393688901 x^{2} + 28637768474 x + 164611638870$ | $7$ | $3$ | $18$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{7}^{3}$ |