Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 189*x^19 - 63*x^18 + 14273*x^17 + 7672*x^16 - 559650*x^15 - 347577*x^14 + 12591922*x^13 + 7983444*x^12 - 170719178*x^11 - 106682856*x^10 + 1419969761*x^9 + 876942010*x^8 - 7150956164*x^7 - 4423657378*x^6 + 20583982601*x^5 + 12754970620*x^4 - 29178026367*x^3 - 16933928459*x^2 + 12876797381*x + 3691462039)
gp: K = bnfinit(y^21 - 189*y^19 - 63*y^18 + 14273*y^17 + 7672*y^16 - 559650*y^15 - 347577*y^14 + 12591922*y^13 + 7983444*y^12 - 170719178*y^11 - 106682856*y^10 + 1419969761*y^9 + 876942010*y^8 - 7150956164*y^7 - 4423657378*y^6 + 20583982601*y^5 + 12754970620*y^4 - 29178026367*y^3 - 16933928459*y^2 + 12876797381*y + 3691462039, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 189*x^19 - 63*x^18 + 14273*x^17 + 7672*x^16 - 559650*x^15 - 347577*x^14 + 12591922*x^13 + 7983444*x^12 - 170719178*x^11 - 106682856*x^10 + 1419969761*x^9 + 876942010*x^8 - 7150956164*x^7 - 4423657378*x^6 + 20583982601*x^5 + 12754970620*x^4 - 29178026367*x^3 - 16933928459*x^2 + 12876797381*x + 3691462039);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 189*x^19 - 63*x^18 + 14273*x^17 + 7672*x^16 - 559650*x^15 - 347577*x^14 + 12591922*x^13 + 7983444*x^12 - 170719178*x^11 - 106682856*x^10 + 1419969761*x^9 + 876942010*x^8 - 7150956164*x^7 - 4423657378*x^6 + 20583982601*x^5 + 12754970620*x^4 - 29178026367*x^3 - 16933928459*x^2 + 12876797381*x + 3691462039)
\( x^{21} - 189 x^{19} - 63 x^{18} + 14273 x^{17} + 7672 x^{16} - 559650 x^{15} - 347577 x^{14} + \cdots + 3691462039 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(511602258272191839961280749067569616320187702761\)
\(\medspace = 7^{38}\cdot 13^{14}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(187.01\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{38/21}13^{2/3}\approx 187.0053047720693$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(13\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(637=7^{2}\cdot 13\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{637}(256,·)$, $\chi_{637}(1,·)$, $\chi_{637}(198,·)$, $\chi_{637}(456,·)$, $\chi_{637}(74,·)$, $\chi_{637}(16,·)$, $\chi_{637}(529,·)$, $\chi_{637}(274,·)$, $\chi_{637}(471,·)$, $\chi_{637}(347,·)$, $\chi_{637}(92,·)$, $\chi_{637}(289,·)$, $\chi_{637}(547,·)$, $\chi_{637}(165,·)$, $\chi_{637}(107,·)$, $\chi_{637}(620,·)$, $\chi_{637}(365,·)$, $\chi_{637}(562,·)$, $\chi_{637}(438,·)$, $\chi_{637}(183,·)$, $\chi_{637}(380,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{38\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!13}a+\frac{33\!\cdots\!97}{68\!\cdots\!77}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{13\!\cdots\!56}{68\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!20}{68\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!95}{68\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!68}{68\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!97}{68\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!70}{68\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!41}{68\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!20}{68\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!52}{68\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!20}{68\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!77}a-\frac{19\!\cdots\!87}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{23\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!49}{68\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!72}{68\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!02}{68\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!57}{68\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!52}{68\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!77}a-\frac{35\!\cdots\!27}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{26\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!18}{68\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!48}{68\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!27}{68\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!56}{68\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!69}{68\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!41}{68\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!64}{68\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!52}{68\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!27}{68\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!71}{68\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!68}{68\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!77}a-\frac{40\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{37\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!22}{68\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!47}{68\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!48}{68\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!53}{68\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!14}{68\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!13}{68\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!03}{68\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!71}{68\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!86}{68\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!63}{68\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!36}{68\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!56}{68\!\cdots\!77}a-\frac{56\!\cdots\!44}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{13\!\cdots\!52}{68\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!53}{68\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!09}{68\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!48}{68\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!68}{68\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!47}{68\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!13}{68\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!06}{68\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!18}{68\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!69}{68\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!68}{68\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!22}{68\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!64}{68\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!77}a+\frac{12\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{53\!\cdots\!69}{68\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!71}{68\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!04}{68\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!21}{68\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!17}{68\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!12}{68\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!22}{68\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!86}{68\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!44}{68\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!47}{68\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!79}{68\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{99\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!31}{68\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!47}{68\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!71}{68\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!77}a-\frac{69\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{10\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{81\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!13}a-\frac{95\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{12\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!28}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!28}{38\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!88}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!13}a-\frac{27\!\cdots\!09}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{28\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!88}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!13}a-\frac{74\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{19\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!85}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!88}{38\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!13}a-\frac{13\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{14\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!46}{38\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!13}a-\frac{14\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{39\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{76\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!42}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!13}a+\frac{12\!\cdots\!54}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{52\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!55}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!13}a-\frac{99\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{34\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!55}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!28}{38\!\cdots\!13}a-\frac{56\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{81\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!46}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!46}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!42}{38\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!13}a-\frac{22\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{42\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!66}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!13}a-\frac{58\!\cdots\!42}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{67\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!91}{38\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!13}a-\frac{17\!\cdots\!21}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{33\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!13}a+\frac{24\!\cdots\!66}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{91\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!82}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!14}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!13}a-\frac{28\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!77}$, $\frac{12\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!88}{38\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{90\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!13}a-\frac{41\!\cdots\!95}{68\!\cdots\!77}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 28334278031696510 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 28334278031696510 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{511602258272191839961280749067569616320187702761}}\cr\approx \mathstrut & 0.124614073453446 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 189*x^19 - 63*x^18 + 14273*x^17 + 7672*x^16 - 559650*x^15 - 347577*x^14 + 12591922*x^13 + 7983444*x^12 - 170719178*x^11 - 106682856*x^10 + 1419969761*x^9 + 876942010*x^8 - 7150956164*x^7 - 4423657378*x^6 + 20583982601*x^5 + 12754970620*x^4 - 29178026367*x^3 - 16933928459*x^2 + 12876797381*x + 3691462039)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 189*x^19 - 63*x^18 + 14273*x^17 + 7672*x^16 - 559650*x^15 - 347577*x^14 + 12591922*x^13 + 7983444*x^12 - 170719178*x^11 - 106682856*x^10 + 1419969761*x^9 + 876942010*x^8 - 7150956164*x^7 - 4423657378*x^6 + 20583982601*x^5 + 12754970620*x^4 - 29178026367*x^3 - 16933928459*x^2 + 12876797381*x + 3691462039, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 189*x^19 - 63*x^18 + 14273*x^17 + 7672*x^16 - 559650*x^15 - 347577*x^14 + 12591922*x^13 + 7983444*x^12 - 170719178*x^11 - 106682856*x^10 + 1419969761*x^9 + 876942010*x^8 - 7150956164*x^7 - 4423657378*x^6 + 20583982601*x^5 + 12754970620*x^4 - 29178026367*x^3 - 16933928459*x^2 + 12876797381*x + 3691462039);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 189*x^19 - 63*x^18 + 14273*x^17 + 7672*x^16 - 559650*x^15 - 347577*x^14 + 12591922*x^13 + 7983444*x^12 - 170719178*x^11 - 106682856*x^10 + 1419969761*x^9 + 876942010*x^8 - 7150956164*x^7 - 4423657378*x^6 + 20583982601*x^5 + 12754970620*x^4 - 29178026367*x^3 - 16933928459*x^2 + 12876797381*x + 3691462039);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ |
Intermediate fields
| 3.3.8281.1, 7.7.13841287201.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | R | $21$ | R | ${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/37.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{3}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| Deg $21$ | $21$ | $1$ | $38$ | |||
|
\(13\)
| 13.21.14.1 | $x^{21} + 91 x^{18} + 3558 x^{15} + 33 x^{14} + 71162 x^{12} - 33033 x^{11} + 1138073 x^{9} + 1991187 x^{8} + 363 x^{7} + 9603867 x^{6} - 19222203 x^{5} + 165165 x^{4} + 21288112 x^{3} + 26273544 x^{2} + 430518 x + 66151155$ | $3$ | $7$ | $14$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{3}^{7}$ |