Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 54*x^19 + 142*x^18 + 1131*x^17 - 2619*x^16 - 12066*x^15 + 24246*x^14 + 72072*x^13 - 121339*x^12 - 250395*x^11 + 331947*x^10 + 508726*x^9 - 470445*x^8 - 589995*x^7 + 290104*x^6 + 363423*x^5 - 39813*x^4 - 91517*x^3 - 11880*x^2 + 3264*x + 289)
gp: K = bnfinit(y^21 - 3*y^20 - 54*y^19 + 142*y^18 + 1131*y^17 - 2619*y^16 - 12066*y^15 + 24246*y^14 + 72072*y^13 - 121339*y^12 - 250395*y^11 + 331947*y^10 + 508726*y^9 - 470445*y^8 - 589995*y^7 + 290104*y^6 + 363423*y^5 - 39813*y^4 - 91517*y^3 - 11880*y^2 + 3264*y + 289, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 54*x^19 + 142*x^18 + 1131*x^17 - 2619*x^16 - 12066*x^15 + 24246*x^14 + 72072*x^13 - 121339*x^12 - 250395*x^11 + 331947*x^10 + 508726*x^9 - 470445*x^8 - 589995*x^7 + 290104*x^6 + 363423*x^5 - 39813*x^4 - 91517*x^3 - 11880*x^2 + 3264*x + 289);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 54*x^19 + 142*x^18 + 1131*x^17 - 2619*x^16 - 12066*x^15 + 24246*x^14 + 72072*x^13 - 121339*x^12 - 250395*x^11 + 331947*x^10 + 508726*x^9 - 470445*x^8 - 589995*x^7 + 290104*x^6 + 363423*x^5 - 39813*x^4 - 91517*x^3 - 11880*x^2 + 3264*x + 289)
\( x^{21} - 3 x^{20} - 54 x^{19} + 142 x^{18} + 1131 x^{17} - 2619 x^{16} - 12066 x^{15} + 24246 x^{14} + \cdots + 289 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(4814587615056751193058435502319478353721\)
\(\medspace = 3^{28}\cdot 29^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(77.56\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{4/3}29^{6/7}\approx 77.56140563852703$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(29\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(261=3^{2}\cdot 29\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{261}(256,·)$, $\chi_{261}(1,·)$, $\chi_{261}(7,·)$, $\chi_{261}(136,·)$, $\chi_{261}(139,·)$, $\chi_{261}(16,·)$, $\chi_{261}(82,·)$, $\chi_{261}(88,·)$, $\chi_{261}(25,·)$, $\chi_{261}(94,·)$, $\chi_{261}(223,·)$, $\chi_{261}(226,·)$, $\chi_{261}(103,·)$, $\chi_{261}(169,·)$, $\chi_{261}(199,·)$, $\chi_{261}(175,·)$, $\chi_{261}(112,·)$, $\chi_{261}(49,·)$, $\chi_{261}(52,·)$, $\chi_{261}(181,·)$, $\chi_{261}(190,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{17}a^{13}+\frac{2}{17}a^{11}-\frac{8}{17}a^{10}+\frac{7}{17}a^{9}+\frac{2}{17}a^{8}-\frac{1}{17}a^{7}-\frac{8}{17}a^{6}+\frac{3}{17}a^{5}-\frac{2}{17}a^{4}-\frac{1}{17}a^{3}-\frac{1}{17}a^{2}+\frac{6}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{14}+\frac{2}{17}a^{12}-\frac{8}{17}a^{11}+\frac{7}{17}a^{10}+\frac{2}{17}a^{9}-\frac{1}{17}a^{8}-\frac{8}{17}a^{7}+\frac{3}{17}a^{6}-\frac{2}{17}a^{5}-\frac{1}{17}a^{4}-\frac{1}{17}a^{3}+\frac{6}{17}a^{2}$, $\frac{1}{17}a^{15}-\frac{8}{17}a^{12}+\frac{3}{17}a^{11}+\frac{1}{17}a^{10}+\frac{2}{17}a^{9}+\frac{5}{17}a^{8}+\frac{5}{17}a^{7}-\frac{3}{17}a^{6}-\frac{7}{17}a^{5}+\frac{3}{17}a^{4}+\frac{8}{17}a^{3}+\frac{2}{17}a^{2}+\frac{5}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{16}+\frac{3}{17}a^{12}+\frac{6}{17}a^{10}-\frac{7}{17}a^{9}+\frac{4}{17}a^{8}+\frac{6}{17}a^{7}-\frac{3}{17}a^{6}-\frac{7}{17}a^{5}-\frac{8}{17}a^{4}-\frac{6}{17}a^{3}-\frac{3}{17}a^{2}-\frac{3}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{17}-\frac{1}{17}a$, $\frac{1}{289}a^{18}+\frac{6}{289}a^{17}-\frac{7}{289}a^{16}+\frac{5}{289}a^{15}-\frac{4}{289}a^{14}-\frac{1}{289}a^{13}+\frac{101}{289}a^{12}+\frac{28}{289}a^{11}-\frac{108}{289}a^{10}-\frac{7}{289}a^{9}+\frac{101}{289}a^{8}+\frac{33}{289}a^{7}+\frac{70}{289}a^{6}+\frac{70}{289}a^{5}+\frac{9}{289}a^{4}+\frac{121}{289}a^{3}+\frac{126}{289}a^{2}-\frac{4}{17}a$, $\frac{1}{289}a^{19}+\frac{8}{289}a^{17}-\frac{4}{289}a^{16}+\frac{6}{289}a^{14}+\frac{5}{289}a^{13}+\frac{7}{17}a^{12}+\frac{47}{289}a^{11}-\frac{90}{289}a^{10}+\frac{109}{289}a^{9}+\frac{73}{289}a^{8}-\frac{26}{289}a^{7}-\frac{112}{289}a^{6}+\frac{14}{289}a^{5}-\frac{69}{289}a^{4}+\frac{97}{289}a^{3}-\frac{25}{289}a^{2}+\frac{4}{17}a$, $\frac{1}{25\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{70\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{80\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!51}a+\frac{33\!\cdots\!45}{89\!\cdots\!03}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $17$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{12\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{41\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{82\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!51}a+\frac{29\!\cdots\!61}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{12\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{41\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{82\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!51}a+\frac{20\!\cdots\!58}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{82\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{57\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{90\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{85\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{39\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!51}a-\frac{83\!\cdots\!90}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{58\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{90\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!51}a+\frac{93\!\cdots\!33}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{43\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{96\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!51}a+\frac{11\!\cdots\!75}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{45\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!51}a+\frac{23\!\cdots\!32}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{30\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!51}a+\frac{10\!\cdots\!20}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{54\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{99\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{91\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!51}a+\frac{11\!\cdots\!09}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{20\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!51}a-\frac{92\!\cdots\!22}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{29\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!51}a+\frac{28\!\cdots\!38}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{56\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!51}a+\frac{44\!\cdots\!39}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{38\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!58}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!51}a+\frac{41\!\cdots\!25}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{10\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a-\frac{61\!\cdots\!91}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{46\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a+\frac{23\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{93\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!51}a+\frac{19\!\cdots\!23}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{68\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!51}a+\frac{36\!\cdots\!64}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{37\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!51}a+\frac{10\!\cdots\!38}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{55\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{93\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!87}{89\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{82\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a+\frac{11\!\cdots\!92}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{14\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{83\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!51}a+\frac{17\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!03}$, $\frac{31\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!51}a+\frac{12\!\cdots\!12}{89\!\cdots\!03}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 25788034339300 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 25788034339300 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4814587615056751193058435502319478353721}}\cr\approx \mathstrut & 0.389707358221420 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 54*x^19 + 142*x^18 + 1131*x^17 - 2619*x^16 - 12066*x^15 + 24246*x^14 + 72072*x^13 - 121339*x^12 - 250395*x^11 + 331947*x^10 + 508726*x^9 - 470445*x^8 - 589995*x^7 + 290104*x^6 + 363423*x^5 - 39813*x^4 - 91517*x^3 - 11880*x^2 + 3264*x + 289)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 3*x^20 - 54*x^19 + 142*x^18 + 1131*x^17 - 2619*x^16 - 12066*x^15 + 24246*x^14 + 72072*x^13 - 121339*x^12 - 250395*x^11 + 331947*x^10 + 508726*x^9 - 470445*x^8 - 589995*x^7 + 290104*x^6 + 363423*x^5 - 39813*x^4 - 91517*x^3 - 11880*x^2 + 3264*x + 289, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 54*x^19 + 142*x^18 + 1131*x^17 - 2619*x^16 - 12066*x^15 + 24246*x^14 + 72072*x^13 - 121339*x^12 - 250395*x^11 + 331947*x^10 + 508726*x^9 - 470445*x^8 - 589995*x^7 + 290104*x^6 + 363423*x^5 - 39813*x^4 - 91517*x^3 - 11880*x^2 + 3264*x + 289);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 54*x^19 + 142*x^18 + 1131*x^17 - 2619*x^16 - 12066*x^15 + 24246*x^14 + 72072*x^13 - 121339*x^12 - 250395*x^11 + 331947*x^10 + 508726*x^9 - 470445*x^8 - 589995*x^7 + 290104*x^6 + 363423*x^5 - 39813*x^4 - 91517*x^3 - 11880*x^2 + 3264*x + 289);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 7.7.594823321.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | R | $21$ | $21$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{21}$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | R | $21$ | ${\href{/padicField/37.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{7}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $21$ | $3$ | $7$ | $28$ | |||
|
\(29\)
| 29.21.18.1 | $x^{21} + 14 x^{19} + 189 x^{18} + 84 x^{17} + 2268 x^{16} + 15589 x^{15} + 11427 x^{14} + 153650 x^{13} + 717115 x^{12} + 432159 x^{11} + 5567156 x^{10} + 20264083 x^{9} + 39216891 x^{8} + 112106489 x^{7} + 327839953 x^{6} - 232537242 x^{5} + 1236492831 x^{4} + 2628708565 x^{3} + 2505798050 x^{2} + 5356579151 x + 10679149938$ | $7$ | $3$ | $18$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{7}^{3}$ |