Properties

Label 21.21.466...769.1
Degree $21$
Signature $[21, 0]$
Discriminant $4.661\times 10^{53}$
Root discriminant \(359.45\)
Ramified primes $7,211$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{21}$ (as 21T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 280*x^19 + 1434*x^18 + 28400*x^17 - 174768*x^16 - 1259964*x^15 + 9241088*x^14 + 24220628*x^13 - 224432817*x^12 - 225043591*x^11 + 2800292150*x^10 + 1310509833*x^9 - 18643709590*x^8 - 7862755157*x^7 + 62071423969*x^6 + 36855850475*x^5 - 78614032446*x^4 - 59296509039*x^3 + 18479082734*x^2 + 15129157356*x - 692122129)
 
gp: K = bnfinit(y^21 - 4*y^20 - 280*y^19 + 1434*y^18 + 28400*y^17 - 174768*y^16 - 1259964*y^15 + 9241088*y^14 + 24220628*y^13 - 224432817*y^12 - 225043591*y^11 + 2800292150*y^10 + 1310509833*y^9 - 18643709590*y^8 - 7862755157*y^7 + 62071423969*y^6 + 36855850475*y^5 - 78614032446*y^4 - 59296509039*y^3 + 18479082734*y^2 + 15129157356*y - 692122129, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 4*x^20 - 280*x^19 + 1434*x^18 + 28400*x^17 - 174768*x^16 - 1259964*x^15 + 9241088*x^14 + 24220628*x^13 - 224432817*x^12 - 225043591*x^11 + 2800292150*x^10 + 1310509833*x^9 - 18643709590*x^8 - 7862755157*x^7 + 62071423969*x^6 + 36855850475*x^5 - 78614032446*x^4 - 59296509039*x^3 + 18479082734*x^2 + 15129157356*x - 692122129);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 280*x^19 + 1434*x^18 + 28400*x^17 - 174768*x^16 - 1259964*x^15 + 9241088*x^14 + 24220628*x^13 - 224432817*x^12 - 225043591*x^11 + 2800292150*x^10 + 1310509833*x^9 - 18643709590*x^8 - 7862755157*x^7 + 62071423969*x^6 + 36855850475*x^5 - 78614032446*x^4 - 59296509039*x^3 + 18479082734*x^2 + 15129157356*x - 692122129)
 

\( x^{21} - 4 x^{20} - 280 x^{19} + 1434 x^{18} + 28400 x^{17} - 174768 x^{16} - 1259964 x^{15} + 9241088 x^{14} + 24220628 x^{13} - 224432817 x^{12} + \cdots - 692122129 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $21$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[21, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(466076016634532996579786361302348154829875801567723769\) \(\medspace = 7^{14}\cdot 211^{18}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(359.45\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $7^{2/3}211^{6/7}\approx 359.4519118565782$
Ramified primes:   \(7\), \(211\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $21$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1477=7\cdot 211\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1477}(1,·)$, $\chi_{1477}(967,·)$, $\chi_{1477}(1226,·)$, $\chi_{1477}(781,·)$, $\chi_{1477}(144,·)$, $\chi_{1477}(212,·)$, $\chi_{1477}(1465,·)$, $\chi_{1477}(1437,·)$, $\chi_{1477}(1178,·)$, $\chi_{1477}(988,·)$, $\chi_{1477}(58,·)$, $\chi_{1477}(410,·)$, $\chi_{1477}(480,·)$, $\chi_{1477}(1254,·)$, $\chi_{1477}(359,·)$, $\chi_{1477}(1324,·)$, $\chi_{1477}(1199,·)$, $\chi_{1477}(148,·)$, $\chi_{1477}(634,·)$, $\chi_{1477}(123,·)$, $\chi_{1477}(382,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{19}a^{15}+\frac{2}{19}a^{14}-\frac{6}{19}a^{13}+\frac{1}{19}a^{12}+\frac{9}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}-\frac{3}{19}a^{9}-\frac{1}{19}a^{8}+\frac{4}{19}a^{7}+\frac{4}{19}a^{6}-\frac{5}{19}a^{5}-\frac{9}{19}a^{4}-\frac{7}{19}a^{3}+\frac{3}{19}a^{2}-\frac{1}{19}$, $\frac{1}{19}a^{16}+\frac{9}{19}a^{14}-\frac{6}{19}a^{13}+\frac{7}{19}a^{12}-\frac{9}{19}a^{11}-\frac{2}{19}a^{10}+\frac{5}{19}a^{9}+\frac{6}{19}a^{8}-\frac{4}{19}a^{7}+\frac{6}{19}a^{6}+\frac{1}{19}a^{5}-\frac{8}{19}a^{4}-\frac{2}{19}a^{3}-\frac{6}{19}a^{2}-\frac{1}{19}a+\frac{2}{19}$, $\frac{1}{19}a^{17}-\frac{5}{19}a^{14}+\frac{4}{19}a^{13}+\frac{1}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}-\frac{5}{19}a^{9}+\frac{5}{19}a^{8}+\frac{8}{19}a^{7}+\frac{3}{19}a^{6}-\frac{1}{19}a^{5}+\frac{3}{19}a^{4}-\frac{9}{19}a^{2}+\frac{2}{19}a+\frac{9}{19}$, $\frac{1}{1137511}a^{18}-\frac{590}{1137511}a^{17}-\frac{8479}{1137511}a^{16}+\frac{24185}{1137511}a^{15}+\frac{266008}{1137511}a^{14}-\frac{557242}{1137511}a^{13}-\frac{144782}{1137511}a^{12}+\frac{487106}{1137511}a^{11}+\frac{257957}{1137511}a^{10}+\frac{180723}{1137511}a^{9}-\frac{518901}{1137511}a^{8}+\frac{247996}{1137511}a^{7}-\frac{476447}{1137511}a^{6}+\frac{514941}{1137511}a^{5}+\frac{456998}{1137511}a^{4}+\frac{480794}{1137511}a^{3}-\frac{503146}{1137511}a^{2}+\frac{519396}{1137511}a-\frac{223728}{1137511}$, $\frac{1}{80763281}a^{19}+\frac{21}{80763281}a^{18}+\frac{1427101}{80763281}a^{17}+\frac{1728451}{80763281}a^{16}-\frac{1899884}{80763281}a^{15}-\frac{30505189}{80763281}a^{14}-\frac{23972503}{80763281}a^{13}+\frac{29248806}{80763281}a^{12}+\frac{6018348}{80763281}a^{11}-\frac{34626516}{80763281}a^{10}+\frac{15549308}{80763281}a^{9}+\frac{15472435}{80763281}a^{8}+\frac{31430847}{80763281}a^{7}+\frac{1147461}{80763281}a^{6}+\frac{1613070}{4250699}a^{5}+\frac{16223103}{80763281}a^{4}-\frac{7998820}{80763281}a^{3}+\frac{34111014}{80763281}a^{2}+\frac{1018908}{80763281}a+\frac{144797}{1137511}$, $\frac{1}{12\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!57}a-\frac{76\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!67}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{65\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!87}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!87}a-\frac{20\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!97}$, $\frac{65\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!87}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!87}a-\frac{35\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!97}$, $\frac{19\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!02}{65\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!69}{65\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!57}a-\frac{26\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{12\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!70}{65\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!03}a-\frac{18\!\cdots\!78}{92\!\cdots\!93}$, $\frac{18\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!57}a-\frac{33\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{11\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{90\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!57}a-\frac{14\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{11\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{84\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!26}{65\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!57}a-\frac{14\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{20\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!09}{92\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!57}a-\frac{47\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{80\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!57}a+\frac{13\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{10\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!57}a-\frac{88\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{60\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!41}{54\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!57}a-\frac{45\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{56\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!57}a-\frac{76\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{92\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!65}{54\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{96\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{71\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!57}a-\frac{68\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{20\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{57\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!57}a-\frac{22\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{31\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!85}{90\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!54}{54\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!57}a+\frac{78\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{83\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!57}a+\frac{16\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{64\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!51}{54\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!57}a-\frac{34\!\cdots\!19}{76\!\cdots\!29}$, $\frac{12\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!79}{90\!\cdots\!61}a+\frac{13\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!67}$, $\frac{77\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{60\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!57}a-\frac{14\!\cdots\!12}{92\!\cdots\!93}$, $\frac{93\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!96}{54\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!40}{54\!\cdots\!59}a+\frac{64\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!67}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 115303717001291800000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 115303717001291800000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{466076016634532996579786361302348154829875801567723769}}\cr\approx \mathstrut & 0.177098483857077 \end{aligned}\] (assuming GRH)

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x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 280*x^19 + 1434*x^18 + 28400*x^17 - 174768*x^16 - 1259964*x^15 + 9241088*x^14 + 24220628*x^13 - 224432817*x^12 - 225043591*x^11 + 2800292150*x^10 + 1310509833*x^9 - 18643709590*x^8 - 7862755157*x^7 + 62071423969*x^6 + 36855850475*x^5 - 78614032446*x^4 - 59296509039*x^3 + 18479082734*x^2 + 15129157356*x - 692122129)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^21 - 4*x^20 - 280*x^19 + 1434*x^18 + 28400*x^17 - 174768*x^16 - 1259964*x^15 + 9241088*x^14 + 24220628*x^13 - 224432817*x^12 - 225043591*x^11 + 2800292150*x^10 + 1310509833*x^9 - 18643709590*x^8 - 7862755157*x^7 + 62071423969*x^6 + 36855850475*x^5 - 78614032446*x^4 - 59296509039*x^3 + 18479082734*x^2 + 15129157356*x - 692122129, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 4*x^20 - 280*x^19 + 1434*x^18 + 28400*x^17 - 174768*x^16 - 1259964*x^15 + 9241088*x^14 + 24220628*x^13 - 224432817*x^12 - 225043591*x^11 + 2800292150*x^10 + 1310509833*x^9 - 18643709590*x^8 - 7862755157*x^7 + 62071423969*x^6 + 36855850475*x^5 - 78614032446*x^4 - 59296509039*x^3 + 18479082734*x^2 + 15129157356*x - 692122129);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 280*x^19 + 1434*x^18 + 28400*x^17 - 174768*x^16 - 1259964*x^15 + 9241088*x^14 + 24220628*x^13 - 224432817*x^12 - 225043591*x^11 + 2800292150*x^10 + 1310509833*x^9 - 18643709590*x^8 - 7862755157*x^7 + 62071423969*x^6 + 36855850475*x^5 - 78614032446*x^4 - 59296509039*x^3 + 18479082734*x^2 + 15129157356*x - 692122129);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 21
The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$
Character table for $C_{21}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{7})^+\), 7.7.88245939632761.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $21$ $21$ $21$ R $21$ ${\href{/padicField/13.7.0.1}{7} }^{3}$ $21$ ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{7}$ ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{7}$ ${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{3}$ $21$ $21$ ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{3}$ ${\href{/padicField/43.7.0.1}{7} }^{3}$ $21$ $21$ $21$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(7\) Copy content Toggle raw display Deg $21$$3$$7$$14$
\(211\) Copy content Toggle raw display Deg $7$$7$$1$$6$
Deg $7$$7$$1$$6$
Deg $7$$7$$1$$6$