Number field 21.21.3739247391481032835088920564931572276509155285348401.1

• Label: 21.21.373...401.1
• Degree: $21$
• Signature: $[21, 0]$
• Discriminant: $3.739\times 10^{51}$
• Root discriminant: \(285.66\)
• Ramified prime: $379$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_{21}$ (as 21T1)

Normalized defining polynomial

x^21 - x^20 - 180*x^19 + 325*x^18 + 12681*x^17 - 28085*x^16 - 466147*x^15 + 1104481*x^14 + 9994129*x^13 - 23230778*x^12 - 131326631*x^11 + 274701966*x^10 + 1071723493*x^9 - 1796606075*x^8 - 5285574412*x^7 + 5900535983*x^6 + 14227077020*x^5 - 7395125885*x^4 - 15613111936*x^3 + 1522403319*x^2 + 2278571400*x - 206124161

Invariants

Degree:		$21$
Signature:		$[21, 0]$
Discriminant:		\(3739247391481032835088920564931572276509155285348401\) \(\medspace = 379^{20}\)
Root discriminant:		\(285.66\)
Galois root discriminant:		$379^{20/21}\approx 285.6583127137164$
Ramified primes:		\(379\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$21$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(379\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{379}(1,·)$, $\chi_{379}(322,·)$, $\chi_{379}(195,·)$, $\chi_{379}(5,·)$, $\chi_{379}(327,·)$, $\chi_{379}(138,·)$, $\chi_{379}(311,·)$, $\chi_{379}(76,·)$, $\chi_{379}(86,·)$, $\chi_{379}(217,·)$, $\chi_{379}(216,·)$, $\chi_{379}(25,·)$, $\chi_{379}(91,·)$, $\chi_{379}(93,·)$, $\chi_{379}(94,·)$, $\chi_{379}(39,·)$, $\chi_{379}(51,·)$, $\chi_{379}(246,·)$, $\chi_{379}(119,·)$, $\chi_{379}(125,·)$, $\chi_{379}(255,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{12\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!59}a-\frac{76\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!59}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$20$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{67\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!59}a+\frac{69\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{71\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a+\frac{66\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{11\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a+\frac{37\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{14\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!59}a+\frac{33\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{31\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!59}a-\frac{54\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{41\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!59}a+\frac{90\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{69\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!59}a-\frac{42\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{41\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{89\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!59}a+\frac{42\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{86\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{80\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!59}a+\frac{95\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{12\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{94\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!59}a+\frac{11\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{30\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!59}a+\frac{26\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{18\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!59}a+\frac{46\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{88\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{96\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!59}a+\frac{30\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{19\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{78\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!59}a+\frac{13\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{46\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!59}a-\frac{59\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{55\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{55\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!59}a+\frac{19\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{25\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{97\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a+\frac{63\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{28\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}a+\frac{23\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{39\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!59}a+\frac{19\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!59}$, $\frac{24\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!59}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a+\frac{31\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 6959071739608064000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 6959071739608064000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3739247391481032835088920564931572276509155285348401}}\cr\approx \mathstrut & 0.119332606622122 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

A cyclic group of order 21

The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$

Character table for $C_{21}$

Intermediate fields

3.3.143641.1, 7.7.2963706958323721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$21$	$21$	${\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{7}$	$21$	$21$	$21$	${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{3}$	${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	${\href{/padicField/37.7.0.1}{7} }^{3}$	${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	$21$	$21$	${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{3}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(379\)		Deg $21$	$21$	$1$	$20$