Number field 21.21.373181000690273382911499008901975594970451729658121.1

• Label: 21.21.373...121.1
• Degree: $21$
• Signature: $[21, 0]$
• Discriminant: $3.732\times 10^{50}$
• Root discriminant: \(255.97\)
• Ramified primes: $19,43$
• Class number: $3$ (GRH)
• Class group: [3] (GRH)
• Galois group: $C_{21}$ (as 21T1)

Normalized defining polynomial

x^21 - x^20 - 278*x^19 - 325*x^18 + 30572*x^17 + 90706*x^16 - 1619293*x^15 - 7475214*x^14 + 39793032*x^13 + 274015207*x^12 - 273602661*x^11 - 4607226493*x^10 - 4412589549*x^9 + 30914338952*x^8 + 60233241889*x^7 - 74040616576*x^6 - 218112157253*x^5 + 55980136111*x^4 + 294993180914*x^3 - 10861258704*x^2 - 116080052977*x - 14284976423

Invariants

Degree:		$21$
Signature:		$[21, 0]$
Discriminant:		\(373181000690273382911499008901975594970451729658121\) \(\medspace = 19^{14}\cdot 43^{20}\)
Root discriminant:		\(255.97\)
Galois root discriminant:		$19^{2/3}43^{20/21}\approx 255.9685710799544$
Ramified primes:		\(19\), \(43\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$21$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(817=19\cdot 43\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{817}(704,·)$, $\chi_{817}(1,·)$, $\chi_{817}(514,·)$, $\chi_{817}(771,·)$, $\chi_{817}(197,·)$, $\chi_{817}(273,·)$, $\chi_{817}(723,·)$, $\chi_{817}(666,·)$, $\chi_{817}(410,·)$, $\chi_{817}(482,·)$, $\chi_{817}(676,·)$, $\chi_{817}(742,·)$, $\chi_{817}(305,·)$, $\chi_{817}(296,·)$, $\chi_{817}(615,·)$, $\chi_{817}(748,·)$, $\chi_{817}(239,·)$, $\chi_{817}(49,·)$, $\chi_{817}(182,·)$, $\chi_{817}(444,·)$, $\chi_{817}(767,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{79}a^{19}-\frac{20}{79}a^{18}-\frac{23}{79}a^{17}+\frac{5}{79}a^{16}+\frac{14}{79}a^{15}-\frac{8}{79}a^{14}+\frac{31}{79}a^{13}+\frac{19}{79}a^{12}-\frac{28}{79}a^{11}-\frac{32}{79}a^{10}+\frac{14}{79}a^{9}-\frac{34}{79}a^{8}+\frac{9}{79}a^{7}-\frac{11}{79}a^{6}+\frac{21}{79}a^{5}-\frac{22}{79}a^{4}+\frac{9}{79}a^{3}-\frac{39}{79}a^{2}-\frac{17}{79}a+\frac{32}{79}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!93}a+\frac{57\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!93}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$20$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{10\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!31}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{99\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!31}a-\frac{49\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{34\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{75\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!31}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!31}a-\frac{16\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{52\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!31}a-\frac{27\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{79\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!31}a-\frac{62\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{46\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!31}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!31}a-\frac{24\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{40\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!31}a-\frac{22\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!31}$, $\frac{19\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!93}a-\frac{10\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{44\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!93}a-\frac{26\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{20\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{96\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!93}a-\frac{24\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{11\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!93}a-\frac{62\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{12\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!93}a+\frac{14\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{75\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!93}a+\frac{62\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{39\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{55\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!93}a-\frac{20\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{13\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!93}a-\frac{25\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{39\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!93}a-\frac{19\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{14\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!93}a-\frac{74\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{46\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!93}a-\frac{25\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{14\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{78\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!93}a-\frac{13\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{48\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!93}a+\frac{43\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!93}$, $\frac{35\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{95\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{68\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!93}a-\frac{18\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!93}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 864898073802425300 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 864898073802425300 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{373181000690273382911499008901975594970451729658121}}\cr\approx \mathstrut & 0.140840103462059 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

A cyclic group of order 21

The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$

Character table for $C_{21}$

Intermediate fields

3.3.667489.2, 7.7.6321363049.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$21$	$21$	$21$	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{7}$	${\href{/padicField/11.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{3}$	R	${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	$21$	${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{7}$	$21$	R	$21$	${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(19\)	19.21.14.3	$x^{21} + 282275286 x^{3} - 15195819563$	$3$	$7$	$14$	$C_{21}$	$[\ ]_{3}^{7}$
\(43\)	43.21.20.15	$x^{21} + 258$	$21$	$1$	$20$	$C_{21}$	$[\ ]_{21}$