Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 180*x^19 + 295*x^18 + 13605*x^17 - 5157*x^16 - 551346*x^15 - 398277*x^14 + 12659553*x^13 + 21281696*x^12 - 159042903*x^11 - 417305250*x^10 + 922946239*x^9 + 3784485999*x^8 - 675851490*x^7 - 14780825192*x^6 - 12395275152*x^5 + 16098793473*x^4 + 29396147584*x^3 + 14346185940*x^2 + 2403226995*x + 72232579)
gp: K = bnfinit(y^21 - 3*y^20 - 180*y^19 + 295*y^18 + 13605*y^17 - 5157*y^16 - 551346*y^15 - 398277*y^14 + 12659553*y^13 + 21281696*y^12 - 159042903*y^11 - 417305250*y^10 + 922946239*y^9 + 3784485999*y^8 - 675851490*y^7 - 14780825192*y^6 - 12395275152*y^5 + 16098793473*y^4 + 29396147584*y^3 + 14346185940*y^2 + 2403226995*y + 72232579, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 180*x^19 + 295*x^18 + 13605*x^17 - 5157*x^16 - 551346*x^15 - 398277*x^14 + 12659553*x^13 + 21281696*x^12 - 159042903*x^11 - 417305250*x^10 + 922946239*x^9 + 3784485999*x^8 - 675851490*x^7 - 14780825192*x^6 - 12395275152*x^5 + 16098793473*x^4 + 29396147584*x^3 + 14346185940*x^2 + 2403226995*x + 72232579);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 180*x^19 + 295*x^18 + 13605*x^17 - 5157*x^16 - 551346*x^15 - 398277*x^14 + 12659553*x^13 + 21281696*x^12 - 159042903*x^11 - 417305250*x^10 + 922946239*x^9 + 3784485999*x^8 - 675851490*x^7 - 14780825192*x^6 - 12395275152*x^5 + 16098793473*x^4 + 29396147584*x^3 + 14346185940*x^2 + 2403226995*x + 72232579)
\( x^{21} - 3 x^{20} - 180 x^{19} + 295 x^{18} + 13605 x^{17} - 5157 x^{16} - 551346 x^{15} + \cdots + 72232579 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(3265364406784528133678938964803591475967396373221129\)
\(\medspace = 3^{28}\cdot 7^{14}\cdot 29^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(283.82\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{4/3}7^{2/3}29^{6/7}\approx 283.82089453046984$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(7\), \(29\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(1827=3^{2}\cdot 7\cdot 29\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{1827}(1,·)$, $\chi_{1827}(1474,·)$, $\chi_{1827}(1096,·)$, $\chi_{1827}(529,·)$, $\chi_{1827}(277,·)$, $\chi_{1827}(88,·)$, $\chi_{1827}(25,·)$, $\chi_{1827}(1822,·)$, $\chi_{1827}(1444,·)$, $\chi_{1827}(1765,·)$, $\chi_{1827}(1702,·)$, $\chi_{1827}(625,·)$, $\chi_{1827}(1387,·)$, $\chi_{1827}(877,·)$, $\chi_{1827}(1009,·)$, $\chi_{1827}(436,·)$, $\chi_{1827}(373,·)$, $\chi_{1827}(310,·)$, $\chi_{1827}(442,·)$, $\chi_{1827}(1789,·)$, $\chi_{1827}(190,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{6494}a^{18}+\frac{1485}{6494}a^{17}+\frac{291}{3247}a^{16}-\frac{341}{3247}a^{15}-\frac{12}{191}a^{14}-\frac{1050}{3247}a^{13}-\frac{2617}{6494}a^{12}+\frac{609}{3247}a^{11}-\frac{907}{3247}a^{10}+\frac{693}{6494}a^{9}-\frac{2141}{6494}a^{8}+\frac{1079}{3247}a^{7}-\frac{523}{6494}a^{6}-\frac{30}{3247}a^{5}+\frac{351}{3247}a^{4}+\frac{1271}{3247}a^{3}+\frac{2563}{6494}a^{2}+\frac{1967}{6494}a+\frac{2525}{6494}$, $\frac{1}{383146}a^{19}+\frac{5}{383146}a^{18}+\frac{31347}{191573}a^{17}-\frac{15405}{191573}a^{16}-\frac{47514}{191573}a^{15}-\frac{5449}{383146}a^{14}-\frac{59444}{191573}a^{13}-\frac{142161}{383146}a^{12}+\frac{172969}{383146}a^{11}-\frac{171947}{383146}a^{10}+\frac{128151}{383146}a^{9}+\frac{72317}{191573}a^{8}+\frac{63659}{191573}a^{7}+\frac{62290}{191573}a^{6}-\frac{85129}{191573}a^{5}+\frac{129255}{383146}a^{4}-\frac{85831}{191573}a^{3}+\frac{157079}{383146}a^{2}+\frac{70149}{191573}a+\frac{3197}{6494}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{80\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!54}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!54}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!98}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!19}{90\!\cdots\!62}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!54}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!27}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!27}a-\frac{58\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!53}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{49\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{86\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!14}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{60\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!52}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!27}a-\frac{15\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{54\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!31}a+\frac{36\!\cdots\!01}{76\!\cdots\!09}$, $\frac{30\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!99}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!71}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!62}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!93}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!82}{77\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!60}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!20}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!62}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!71}{77\!\cdots\!27}a-\frac{40\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{41\!\cdots\!42}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!78}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{70\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!60}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!78}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!94}{77\!\cdots\!27}a-\frac{17\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{71\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!77}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!17}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!94}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!94}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!13}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!27}a-\frac{84\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{42\!\cdots\!30}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!17}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!12}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{52\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!82}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!27}a+\frac{10\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{33\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{85\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!31}a+\frac{19\!\cdots\!54}{76\!\cdots\!09}$, $\frac{10\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!31}a+\frac{30\!\cdots\!29}{76\!\cdots\!09}$, $\frac{44\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!54}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!99}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!54}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!84}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!54}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!80}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!54}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!54}a+\frac{28\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!06}$, $\frac{63\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!60}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{96\!\cdots\!04}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{97\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!43}{90\!\cdots\!62}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!54}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!54}a-\frac{45\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!06}$, $\frac{39\!\cdots\!31}{90\!\cdots\!62}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!12}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!22}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!27}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!54}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!39}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!54}a+\frac{51\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!06}$, $\frac{33\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!60}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!54}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!09}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!64}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!39}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{96\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!31}a+\frac{54\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!06}$, $\frac{29\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!27}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!12}{40\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!54}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!06}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!54}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!27}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!15}{77\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!54}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!54}a+\frac{11\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{14\!\cdots\!21}{90\!\cdots\!62}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!54}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{97\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!60}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!54}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!54}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!54}a+\frac{11\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{27\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!54}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!54}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!26}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!54}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!65}{90\!\cdots\!62}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!47}{90\!\cdots\!62}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!52}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!54}a+\frac{74\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{31\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!54}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!86}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!29}{90\!\cdots\!62}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!54}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!40}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!80}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!54}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!54}a+\frac{63\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{39\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!54}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!72}{77\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!12}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!52}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{94\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!54}a^{10}-\frac{71\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!54}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!54}a-\frac{23\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!53}$, $\frac{56\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!54}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!54}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!54}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!62}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{86\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!54}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!54}a+\frac{11\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!06}$, $\frac{27\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!88}{77\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!04}{77\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!54}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!22}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!88}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!42}{77\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!54}a+\frac{28\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!06}$, $\frac{15\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!54}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!04}{77\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{75\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!80}{77\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!55}{90\!\cdots\!62}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!54}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!27}a+\frac{12\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!53}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 4220636828185508400 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 4220636828185508400 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{3265364406784528133678938964803591475967396373221129}}\cr\approx \mathstrut & 0.232344996723661 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 180*x^19 + 295*x^18 + 13605*x^17 - 5157*x^16 - 551346*x^15 - 398277*x^14 + 12659553*x^13 + 21281696*x^12 - 159042903*x^11 - 417305250*x^10 + 922946239*x^9 + 3784485999*x^8 - 675851490*x^7 - 14780825192*x^6 - 12395275152*x^5 + 16098793473*x^4 + 29396147584*x^3 + 14346185940*x^2 + 2403226995*x + 72232579)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 3*x^20 - 180*x^19 + 295*x^18 + 13605*x^17 - 5157*x^16 - 551346*x^15 - 398277*x^14 + 12659553*x^13 + 21281696*x^12 - 159042903*x^11 - 417305250*x^10 + 922946239*x^9 + 3784485999*x^8 - 675851490*x^7 - 14780825192*x^6 - 12395275152*x^5 + 16098793473*x^4 + 29396147584*x^3 + 14346185940*x^2 + 2403226995*x + 72232579, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 180*x^19 + 295*x^18 + 13605*x^17 - 5157*x^16 - 551346*x^15 - 398277*x^14 + 12659553*x^13 + 21281696*x^12 - 159042903*x^11 - 417305250*x^10 + 922946239*x^9 + 3784485999*x^8 - 675851490*x^7 - 14780825192*x^6 - 12395275152*x^5 + 16098793473*x^4 + 29396147584*x^3 + 14346185940*x^2 + 2403226995*x + 72232579);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 180*x^19 + 295*x^18 + 13605*x^17 - 5157*x^16 - 551346*x^15 - 398277*x^14 + 12659553*x^13 + 21281696*x^12 - 159042903*x^11 - 417305250*x^10 + 922946239*x^9 + 3784485999*x^8 - 675851490*x^7 - 14780825192*x^6 - 12395275152*x^5 + 16098793473*x^4 + 29396147584*x^3 + 14346185940*x^2 + 2403226995*x + 72232579);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ is not computed |
Intermediate fields
| 3.3.3969.1, 7.7.594823321.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.7.0.1}{7} }^{3}$ | R | $21$ | R | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | $21$ | R | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | ${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{21}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $21$ | $3$ | $7$ | $28$ | |||
|
\(7\)
| Deg $21$ | $3$ | $7$ | $14$ | |||
|
\(29\)
| 29.21.18.1 | $x^{21} + 14 x^{19} + 189 x^{18} + 84 x^{17} + 2268 x^{16} + 15589 x^{15} + 11427 x^{14} + 153650 x^{13} + 717115 x^{12} + 432159 x^{11} + 5567156 x^{10} + 20264083 x^{9} + 39216891 x^{8} + 112106489 x^{7} + 327839953 x^{6} - 232537242 x^{5} + 1236492831 x^{4} + 2628708565 x^{3} + 2505798050 x^{2} + 5356579151 x + 10679149938$ | $7$ | $3$ | $18$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{7}^{3}$ |