Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 23*x^19 + 222*x^18 + 211*x^17 - 3052*x^16 - 1066*x^15 + 23585*x^14 + 4211*x^13 - 111319*x^12 - 18090*x^11 + 327519*x^10 + 67407*x^9 - 587331*x^8 - 157934*x^7 + 593915*x^6 + 197792*x^5 - 276738*x^4 - 106383*x^3 + 26935*x^2 + 9946*x - 113)
gp: K = bnfinit(y^21 - 7*y^20 - 23*y^19 + 222*y^18 + 211*y^17 - 3052*y^16 - 1066*y^15 + 23585*y^14 + 4211*y^13 - 111319*y^12 - 18090*y^11 + 327519*y^10 + 67407*y^9 - 587331*y^8 - 157934*y^7 + 593915*y^6 + 197792*y^5 - 276738*y^4 - 106383*y^3 + 26935*y^2 + 9946*y - 113, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 7*x^20 - 23*x^19 + 222*x^18 + 211*x^17 - 3052*x^16 - 1066*x^15 + 23585*x^14 + 4211*x^13 - 111319*x^12 - 18090*x^11 + 327519*x^10 + 67407*x^9 - 587331*x^8 - 157934*x^7 + 593915*x^6 + 197792*x^5 - 276738*x^4 - 106383*x^3 + 26935*x^2 + 9946*x - 113);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 23*x^19 + 222*x^18 + 211*x^17 - 3052*x^16 - 1066*x^15 + 23585*x^14 + 4211*x^13 - 111319*x^12 - 18090*x^11 + 327519*x^10 + 67407*x^9 - 587331*x^8 - 157934*x^7 + 593915*x^6 + 197792*x^5 - 276738*x^4 - 106383*x^3 + 26935*x^2 + 9946*x - 113)
\( x^{21} - 7 x^{20} - 23 x^{19} + 222 x^{18} + 211 x^{17} - 3052 x^{16} - 1066 x^{15} + 23585 x^{14} + \cdots - 113 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(3225600451670981203653263815902232576\)
\(\medspace = 2^{18}\cdot 7^{14}\cdot 1621^{6}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(54.77\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2^{7/6}7^{2/3}1621^{2/3}\approx 1133.5891962435724$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(7\), \(1621\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}+\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}+\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{4}a^{4}+\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}$, $\frac{1}{28}a^{18}+\frac{1}{28}a^{17}+\frac{1}{28}a^{16}+\frac{1}{14}a^{14}+\frac{1}{28}a^{13}-\frac{11}{28}a^{12}-\frac{9}{28}a^{11}+\frac{1}{4}a^{10}-\frac{3}{7}a^{9}-\frac{5}{28}a^{8}+\frac{1}{14}a^{7}+\frac{2}{7}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{28}a^{3}+\frac{3}{14}a^{2}-\frac{3}{28}a+\frac{3}{14}$, $\frac{1}{28}a^{19}-\frac{1}{28}a^{16}+\frac{1}{14}a^{15}-\frac{1}{28}a^{14}+\frac{1}{14}a^{13}-\frac{3}{7}a^{12}+\frac{1}{14}a^{11}+\frac{9}{28}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}+\frac{1}{4}a^{8}+\frac{3}{14}a^{7}-\frac{1}{28}a^{6}+\frac{3}{14}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}+\frac{5}{28}a^{2}+\frac{9}{28}a+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!64}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!56}{33\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!64}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!25}{33\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!64}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!82}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!35}{33\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!13}{66\!\cdots\!82}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!35}{33\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!51}{66\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!64}a-\frac{16\!\cdots\!78}{33\!\cdots\!91}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{26\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!39}{66\!\cdots\!82}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!85}{33\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!15}{66\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!93}{66\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!05}{66\!\cdots\!82}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!83}{95\!\cdots\!26}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!05}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!33}{66\!\cdots\!82}a-\frac{15\!\cdots\!97}{95\!\cdots\!26}$, $\frac{26\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!39}{66\!\cdots\!82}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!85}{33\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!15}{66\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!93}{66\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!05}{66\!\cdots\!82}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!83}{95\!\cdots\!26}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!05}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!33}{66\!\cdots\!82}a-\frac{61\!\cdots\!71}{95\!\cdots\!26}$, $\frac{16\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!52}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!64}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!51}{66\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!19}{66\!\cdots\!82}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!79}{66\!\cdots\!82}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!19}{66\!\cdots\!82}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!64}a+\frac{32\!\cdots\!17}{33\!\cdots\!91}$, $\frac{10\!\cdots\!41}{95\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!51}{33\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!29}{66\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!55}{66\!\cdots\!82}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!64}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!92}{33\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!58}{33\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!95}{66\!\cdots\!82}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!52}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!57}{66\!\cdots\!82}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!64}a+\frac{37\!\cdots\!43}{66\!\cdots\!82}$, $\frac{48\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!25}{66\!\cdots\!82}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!46}{33\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!06}{33\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!52}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!21}{66\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!73}{66\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!64}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!73}{66\!\cdots\!82}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!43}{66\!\cdots\!82}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!53}{66\!\cdots\!82}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!50}{33\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{64\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!47}{66\!\cdots\!82}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!99}{66\!\cdots\!82}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!91}a+\frac{27\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!64}$, $\frac{15\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!67}{66\!\cdots\!82}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!52}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!52}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!75}{66\!\cdots\!82}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!27}{66\!\cdots\!82}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{99\!\cdots\!11}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!93}{66\!\cdots\!82}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!35}{66\!\cdots\!82}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!64}a+\frac{52\!\cdots\!51}{33\!\cdots\!91}$, $\frac{20\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!64}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!52}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!43}{66\!\cdots\!82}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!59}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!94}{33\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!87}{33\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!64}a+\frac{75\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!91}$, $\frac{52\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!82}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!73}{66\!\cdots\!82}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!64}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!52}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!82}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!52}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!55}{33\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!55}{66\!\cdots\!82}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!62}{33\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{94\!\cdots\!83}{33\!\cdots\!91}a+\frac{28\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!64}$, $\frac{10\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!17}{33\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!52}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!52}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!29}{66\!\cdots\!82}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!64}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!41}{66\!\cdots\!82}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!59}{33\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!64}a+\frac{22\!\cdots\!93}{66\!\cdots\!82}$, $\frac{35\!\cdots\!01}{66\!\cdots\!82}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!82}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!64}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!52}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!52}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!27}{66\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!35}{33\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!09}{66\!\cdots\!82}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!05}{33\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!77}{66\!\cdots\!82}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!43}{66\!\cdots\!82}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!91}a+\frac{18\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!64}$, $\frac{54\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!07}{66\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{84\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!64}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!29}{66\!\cdots\!82}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!77}{66\!\cdots\!82}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!34}{33\!\cdots\!91}a+\frac{94\!\cdots\!05}{66\!\cdots\!82}$, $\frac{10\!\cdots\!77}{33\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!57}{66\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!52}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!90}{33\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!70}{47\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!89}{66\!\cdots\!82}a+\frac{11\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!91}$, $\frac{24\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!83}{66\!\cdots\!82}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!45}{66\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!52}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!45}{66\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!64}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!57}{33\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{71\!\cdots\!87}{33\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{98\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!32}{33\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!52}a+\frac{31\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!64}$, $\frac{16\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!28}{33\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!01}{66\!\cdots\!82}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!64}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!35}{66\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{84\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!09}{66\!\cdots\!82}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!69}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!13}{66\!\cdots\!82}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!64}a+\frac{36\!\cdots\!11}{66\!\cdots\!82}$, $\frac{21\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!78}{33\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!64}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!33}{66\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!36}{33\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!64}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!49}{66\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!22}{33\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!64}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!64}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!89}{95\!\cdots\!26}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!52}a-\frac{90\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!64}$, $\frac{32\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!68}{33\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!62}{47\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!82}{47\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!79}{66\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!79}{66\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!01}{33\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!63}{33\!\cdots\!91}a+\frac{82\!\cdots\!56}{33\!\cdots\!91}$, $\frac{14\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!49}{33\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!52}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!52}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!64}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!54}{33\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!77}{95\!\cdots\!26}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!52}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!78}{33\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!38}{33\!\cdots\!91}a+\frac{34\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!13}$, $\frac{10\!\cdots\!27}{66\!\cdots\!82}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!59}{33\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!52}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!77}{33\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!52}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!41}{66\!\cdots\!82}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!22}{33\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!90}{33\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!82}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!59}{66\!\cdots\!82}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!82}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!64}a+\frac{18\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!64}$, $\frac{24\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!52}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!53}{95\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!13}{66\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!75}{66\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!37}{33\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!64}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!49}{95\!\cdots\!26}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!82}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!91}{95\!\cdots\!26}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!64}a-\frac{16\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!91}$, $\frac{49\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!82}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!52}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!53}{33\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!52}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!34}{33\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!77}{95\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!38}{33\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!92}{33\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!52}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!71}{33\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{70\!\cdots\!47}{66\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!52}a+\frac{19\!\cdots\!53}{33\!\cdots\!91}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 387606904916 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 387606904916 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3225600451670981203653263815902232576}}\cr\approx \mathstrut & 0.226300822659234 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 23*x^19 + 222*x^18 + 211*x^17 - 3052*x^16 - 1066*x^15 + 23585*x^14 + 4211*x^13 - 111319*x^12 - 18090*x^11 + 327519*x^10 + 67407*x^9 - 587331*x^8 - 157934*x^7 + 593915*x^6 + 197792*x^5 - 276738*x^4 - 106383*x^3 + 26935*x^2 + 9946*x - 113)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 7*x^20 - 23*x^19 + 222*x^18 + 211*x^17 - 3052*x^16 - 1066*x^15 + 23585*x^14 + 4211*x^13 - 111319*x^12 - 18090*x^11 + 327519*x^10 + 67407*x^9 - 587331*x^8 - 157934*x^7 + 593915*x^6 + 197792*x^5 - 276738*x^4 - 106383*x^3 + 26935*x^2 + 9946*x - 113, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 7*x^20 - 23*x^19 + 222*x^18 + 211*x^17 - 3052*x^16 - 1066*x^15 + 23585*x^14 + 4211*x^13 - 111319*x^12 - 18090*x^11 + 327519*x^10 + 67407*x^9 - 587331*x^8 - 157934*x^7 + 593915*x^6 + 197792*x^5 - 276738*x^4 - 106383*x^3 + 26935*x^2 + 9946*x - 113);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 23*x^19 + 222*x^18 + 211*x^17 - 3052*x^16 - 1066*x^15 + 23585*x^14 + 4211*x^13 - 111319*x^12 - 18090*x^11 + 327519*x^10 + 67407*x^9 - 587331*x^8 - 157934*x^7 + 593915*x^6 + 197792*x^5 - 276738*x^4 - 106383*x^3 + 26935*x^2 + 9946*x - 113);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3\times A_7$ (as 21T44):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 7560 |
| The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times A_7$ |
| Character table for $C_3\times A_7$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{7})^+\), 7.7.8240282176.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 45 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | $21$ | $21$ | R | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/13.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/23.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/31.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{3}$ | $21$ | $15{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{7}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.9.6.1 | $x^{9} + 3 x^{7} + 9 x^{6} + 3 x^{5} - 26 x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 29$ | $3$ | $3$ | $6$ | $S_3\times C_3$ | $[\ ]_{3}^{6}$ |
| 2.12.12.33 | $x^{12} + 2 x^{10} + 6 x^{9} + 6 x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 24 x^{5} + 20 x^{4} + 24 x^{3} + 32 x^{2} + 24 x + 8$ | $4$ | $3$ | $12$ | 12T45 | $[4/3, 4/3]_{3}^{6}$ | |
|
\(7\)
| 7.6.4.3 | $x^{6} + 18 x^{5} + 117 x^{4} + 338 x^{3} + 477 x^{2} + 792 x + 1210$ | $3$ | $2$ | $4$ | $C_6$ | $[\ ]_{3}^{2}$ |
| 7.6.4.3 | $x^{6} + 18 x^{5} + 117 x^{4} + 338 x^{3} + 477 x^{2} + 792 x + 1210$ | $3$ | $2$ | $4$ | $C_6$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
| 7.9.6.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ | |
|
\(1621\)
| Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
| Deg $9$ | $3$ | $3$ | $6$ |