Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - x^20 - 106*x^19 + 19*x^18 + 4514*x^17 + 2212*x^16 - 98469*x^15 - 101273*x^14 + 1161058*x^13 + 1687220*x^12 - 7173629*x^11 - 12696230*x^10 + 21408857*x^9 + 41742773*x^8 - 33331528*x^7 - 62993456*x^6 + 29458695*x^5 + 39416874*x^4 - 12941586*x^3 - 5181015*x^2 - 313502*x + 8771)
gp: K = bnfinit(y^21 - y^20 - 106*y^19 + 19*y^18 + 4514*y^17 + 2212*y^16 - 98469*y^15 - 101273*y^14 + 1161058*y^13 + 1687220*y^12 - 7173629*y^11 - 12696230*y^10 + 21408857*y^9 + 41742773*y^8 - 33331528*y^7 - 62993456*y^6 + 29458695*y^5 + 39416874*y^4 - 12941586*y^3 - 5181015*y^2 - 313502*y + 8771, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - x^20 - 106*x^19 + 19*x^18 + 4514*x^17 + 2212*x^16 - 98469*x^15 - 101273*x^14 + 1161058*x^13 + 1687220*x^12 - 7173629*x^11 - 12696230*x^10 + 21408857*x^9 + 41742773*x^8 - 33331528*x^7 - 62993456*x^6 + 29458695*x^5 + 39416874*x^4 - 12941586*x^3 - 5181015*x^2 - 313502*x + 8771);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - x^20 - 106*x^19 + 19*x^18 + 4514*x^17 + 2212*x^16 - 98469*x^15 - 101273*x^14 + 1161058*x^13 + 1687220*x^12 - 7173629*x^11 - 12696230*x^10 + 21408857*x^9 + 41742773*x^8 - 33331528*x^7 - 62993456*x^6 + 29458695*x^5 + 39416874*x^4 - 12941586*x^3 - 5181015*x^2 - 313502*x + 8771)
\( x^{21} - x^{20} - 106 x^{19} + 19 x^{18} + 4514 x^{17} + 2212 x^{16} - 98469 x^{15} - 101273 x^{14} + \cdots + 8771 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(316768269303064912141617448027213301889478849\)
\(\medspace = 7^{14}\cdot 43^{20}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(131.55\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{2/3}43^{20/21}\approx 131.54760232535784$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(43\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(301=7\cdot 43\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{301}(64,·)$, $\chi_{301}(1,·)$, $\chi_{301}(67,·)$, $\chi_{301}(9,·)$, $\chi_{301}(74,·)$, $\chi_{301}(78,·)$, $\chi_{301}(79,·)$, $\chi_{301}(81,·)$, $\chi_{301}(274,·)$, $\chi_{301}(275,·)$, $\chi_{301}(142,·)$, $\chi_{301}(221,·)$, $\chi_{301}(176,·)$, $\chi_{301}(100,·)$, $\chi_{301}(298,·)$, $\chi_{301}(109,·)$, $\chi_{301}(240,·)$, $\chi_{301}(53,·)$, $\chi_{301}(183,·)$, $\chi_{301}(58,·)$, $\chi_{301}(127,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{7}a^{15}-\frac{2}{7}a^{14}+\frac{3}{7}a^{13}-\frac{1}{7}a^{12}-\frac{3}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{3}{7}a^{9}-\frac{2}{7}a^{8}+\frac{1}{7}a^{7}+\frac{1}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}+\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{16}-\frac{1}{7}a^{14}-\frac{2}{7}a^{13}+\frac{2}{7}a^{12}-\frac{2}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}-\frac{3}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{3}$, $\frac{1}{259}a^{17}-\frac{11}{259}a^{16}-\frac{4}{259}a^{15}+\frac{29}{259}a^{14}+\frac{36}{259}a^{13}+\frac{16}{37}a^{12}-\frac{7}{37}a^{11}+\frac{81}{259}a^{10}-\frac{18}{37}a^{9}+\frac{17}{37}a^{8}-\frac{92}{259}a^{7}+\frac{25}{259}a^{6}+\frac{15}{259}a^{5}+\frac{108}{259}a^{4}+\frac{80}{259}a^{3}-\frac{16}{37}a^{2}+\frac{13}{37}a-\frac{1}{37}$, $\frac{1}{259}a^{18}-\frac{2}{37}a^{16}-\frac{15}{259}a^{15}-\frac{15}{259}a^{14}+\frac{27}{259}a^{13}+\frac{110}{259}a^{12}+\frac{97}{259}a^{11}-\frac{86}{259}a^{10}-\frac{46}{259}a^{9}+\frac{107}{259}a^{8}+\frac{123}{259}a^{7}+\frac{31}{259}a^{6}+\frac{2}{37}a^{5}-\frac{64}{259}a^{4}-\frac{46}{259}a^{3}-\frac{15}{37}a^{2}-\frac{6}{37}a-\frac{11}{37}$, $\frac{1}{46361}a^{19}-\frac{89}{46361}a^{18}-\frac{29}{46361}a^{17}-\frac{3007}{46361}a^{16}+\frac{1417}{46361}a^{15}+\frac{9141}{46361}a^{14}-\frac{7902}{46361}a^{13}+\frac{2995}{6623}a^{12}-\frac{11462}{46361}a^{11}+\frac{15865}{46361}a^{10}+\frac{3254}{6623}a^{9}+\frac{18008}{46361}a^{8}+\frac{1122}{6623}a^{7}-\frac{2565}{46361}a^{6}+\frac{981}{46361}a^{5}+\frac{12725}{46361}a^{4}+\frac{11632}{46361}a^{3}+\frac{570}{6623}a^{2}+\frac{1919}{6623}a+\frac{7}{37}$, $\frac{1}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{66\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!39}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!77}a+\frac{90\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!63}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{24\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!38}{54\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!77}a+\frac{21\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!63}$, $\frac{36\!\cdots\!05}{38\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!08}{38\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!08}{38\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!77}a+\frac{13\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!63}$, $\frac{87\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!42}{38\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!38}{38\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!19}{54\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!77}a+\frac{22\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!63}$, $\frac{15\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!78}{38\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{90\!\cdots\!27}{54\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!28}{38\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!70}{38\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!84}{54\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{59\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!77}a+\frac{13\!\cdots\!38}{43\!\cdots\!63}$, $\frac{78\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!08}{38\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!50}{38\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!42}{38\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!67}{54\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!05}{54\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!77}a+\frac{49\!\cdots\!71}{43\!\cdots\!63}$, $\frac{27\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!12}{38\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{60\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!13}{54\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!77}a+\frac{21\!\cdots\!15}{43\!\cdots\!63}$, $\frac{41\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!77}a+\frac{42\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{25\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!16}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{91\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!77}a+\frac{28\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{97\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!82}{47\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!22}{32\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{95\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!11}{32\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!32}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!15}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!77}a+\frac{33\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{55\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!16}{32\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!96}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!83}{47\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!77}a-\frac{74\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{13\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{74\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!77}a+\frac{49\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{55\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{84\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!82}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!77}a+\frac{40\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{91\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!64}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!39}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!39}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!44}{47\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!77}a-\frac{15\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{41\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!44}{47\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!77}a-\frac{56\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{20\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{92\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!77}a+\frac{14\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{14\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!84}{47\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!77}a+\frac{12\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{17\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!10}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!20}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!96}{47\!\cdots\!77}a+\frac{12\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!05}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{86\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!18}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!77}a+\frac{90\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{85\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{97\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!92}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{90\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!77}a+\frac{45\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!63}$, $\frac{14\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!13}{88\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{59\!\cdots\!82}{47\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{70\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!77}a+\frac{98\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!63}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 2941850439885216.0 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 2941850439885216.0 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{316768269303064912141617448027213301889478849}}\cr\approx \mathstrut & 0.519961181651704 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - x^20 - 106*x^19 + 19*x^18 + 4514*x^17 + 2212*x^16 - 98469*x^15 - 101273*x^14 + 1161058*x^13 + 1687220*x^12 - 7173629*x^11 - 12696230*x^10 + 21408857*x^9 + 41742773*x^8 - 33331528*x^7 - 62993456*x^6 + 29458695*x^5 + 39416874*x^4 - 12941586*x^3 - 5181015*x^2 - 313502*x + 8771)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - x^20 - 106*x^19 + 19*x^18 + 4514*x^17 + 2212*x^16 - 98469*x^15 - 101273*x^14 + 1161058*x^13 + 1687220*x^12 - 7173629*x^11 - 12696230*x^10 + 21408857*x^9 + 41742773*x^8 - 33331528*x^7 - 62993456*x^6 + 29458695*x^5 + 39416874*x^4 - 12941586*x^3 - 5181015*x^2 - 313502*x + 8771, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - x^20 - 106*x^19 + 19*x^18 + 4514*x^17 + 2212*x^16 - 98469*x^15 - 101273*x^14 + 1161058*x^13 + 1687220*x^12 - 7173629*x^11 - 12696230*x^10 + 21408857*x^9 + 41742773*x^8 - 33331528*x^7 - 62993456*x^6 + 29458695*x^5 + 39416874*x^4 - 12941586*x^3 - 5181015*x^2 - 313502*x + 8771);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - x^20 - 106*x^19 + 19*x^18 + 4514*x^17 + 2212*x^16 - 98469*x^15 - 101273*x^14 + 1161058*x^13 + 1687220*x^12 - 7173629*x^11 - 12696230*x^10 + 21408857*x^9 + 41742773*x^8 - 33331528*x^7 - 62993456*x^6 + 29458695*x^5 + 39416874*x^4 - 12941586*x^3 - 5181015*x^2 - 313502*x + 8771);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ |
Intermediate fields
| 3.3.90601.2, 7.7.6321363049.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }^{3}$ | R | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{21}$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{3}$ | R | $21$ | $21$ | $21$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| 7.3.2.1 | $x^{3} + 14$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |
| 7.3.2.1 | $x^{3} + 14$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.1 | $x^{3} + 14$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.1 | $x^{3} + 14$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.1 | $x^{3} + 14$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.1 | $x^{3} + 14$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.1 | $x^{3} + 14$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
|
\(43\)
| 43.21.20.1 | $x^{21} + 43$ | $21$ | $1$ | $20$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{21}$ |