Number field 21.21.30594398325772002447442992111668517593745691297844401.1

• Label: 21.21.305...401.1
• Degree: $21$
• Signature: $[21, 0]$
• Discriminant: $3.059\times 10^{52}$
• Root discriminant: \(315.73\)
• Ramified prime: $421$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_{21}$ (as 21T1)

Normalized defining polynomial

x^21 - x^20 - 200*x^19 + 67*x^18 + 16134*x^17 + 828*x^16 - 697221*x^15 - 222713*x^14 + 17859943*x^13 + 9863681*x^12 - 280861686*x^11 - 223777460*x^10 + 2686381285*x^9 + 2906746078*x^8 - 14625774577*x^7 - 21119020890*x^6 + 36814363818*x^5 + 75239240850*x^4 - 8634241360*x^3 - 86032090549*x^2 - 56191978934*x - 10850554247

Invariants

Degree:		$21$
Signature:		$[21, 0]$
Discriminant:		\(30594398325772002447442992111668517593745691297844401\) \(\medspace = 421^{20}\)
Root discriminant:		\(315.73\)
Galois root discriminant:		$421^{20/21}\approx 315.7303141696199$
Ramified primes:		\(421\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$21$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(421\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{421}(1,·)$, $\chi_{421}(385,·)$, $\chi_{421}(75,·)$, $\chi_{421}(237,·)$, $\chi_{421}(400,·)$, $\chi_{421}(20,·)$, $\chi_{421}(149,·)$, $\chi_{421}(152,·)$, $\chi_{421}(335,·)$, $\chi_{421}(93,·)$, $\chi_{421}(286,·)$, $\chi_{421}(33,·)$, $\chi_{421}(229,·)$, $\chi_{421}(109,·)$, $\chi_{421}(239,·)$, $\chi_{421}(176,·)$, $\chi_{421}(370,·)$, $\chi_{421}(243,·)$, $\chi_{421}(309,·)$, $\chi_{421}(247,·)$, $\chi_{421}(122,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{13}a^{12}-\frac{3}{13}a^{11}-\frac{4}{13}a^{10}-\frac{1}{13}a^{9}+\frac{3}{13}a^{8}+\frac{4}{13}a^{7}+\frac{1}{13}a^{6}-\frac{3}{13}a^{5}-\frac{4}{13}a^{4}-\frac{1}{13}a^{3}+\frac{3}{13}a^{2}+\frac{4}{13}a$, $\frac{1}{13}a^{13}-\frac{1}{13}a$, $\frac{1}{377}a^{14}+\frac{6}{377}a^{13}+\frac{3}{377}a^{12}-\frac{22}{377}a^{11}+\frac{92}{377}a^{10}+\frac{10}{377}a^{9}-\frac{30}{377}a^{8}-\frac{118}{377}a^{7}+\frac{172}{377}a^{6}-\frac{48}{377}a^{5}+\frac{144}{377}a^{4}-\frac{1}{13}a^{3}+\frac{86}{377}a^{2}+\frac{110}{377}a$, $\frac{1}{377}a^{15}-\frac{4}{377}a^{13}-\frac{11}{377}a^{12}+\frac{137}{377}a^{11}+\frac{96}{377}a^{10}-\frac{119}{377}a^{9}+\frac{149}{377}a^{8}-\frac{135}{377}a^{7}+\frac{80}{377}a^{6}-\frac{32}{377}a^{5}+\frac{122}{377}a^{4}-\frac{146}{377}a^{3}+\frac{2}{13}a^{2}+\frac{181}{377}a$, $\frac{1}{25259}a^{16}+\frac{3}{25259}a^{15}+\frac{16}{25259}a^{14}-\frac{164}{25259}a^{13}+\frac{193}{25259}a^{12}+\frac{9405}{25259}a^{11}-\frac{4516}{25259}a^{10}-\frac{7954}{25259}a^{9}-\frac{2463}{25259}a^{8}-\frac{5208}{25259}a^{7}+\frac{12348}{25259}a^{6}-\frac{4037}{25259}a^{5}+\frac{2230}{25259}a^{4}+\frac{8813}{25259}a^{3}-\frac{5755}{25259}a^{2}+\frac{762}{1943}a-\frac{8}{67}$, $\frac{1}{25259}a^{17}+\frac{7}{25259}a^{15}-\frac{11}{25259}a^{14}-\frac{4}{1943}a^{13}-\frac{22}{1943}a^{12}-\frac{616}{1943}a^{11}+\frac{956}{1943}a^{10}+\frac{605}{1943}a^{9}-\frac{595}{1943}a^{8}-\frac{719}{1943}a^{7}+\frac{695}{1943}a^{6}+\frac{8579}{25259}a^{5}-\frac{450}{1943}a^{4}-\frac{3049}{25259}a^{3}-\frac{343}{871}a^{2}+\frac{229}{1943}a+\frac{24}{67}$, $\frac{1}{25259}a^{18}-\frac{32}{25259}a^{15}-\frac{30}{25259}a^{14}-\frac{277}{25259}a^{13}+\frac{758}{25259}a^{12}-\frac{9723}{25259}a^{11}-\frac{12314}{25259}a^{10}-\frac{10950}{25259}a^{9}+\frac{7760}{25259}a^{8}-\frac{7238}{25259}a^{7}+\frac{5424}{25259}a^{6}+\frac{12091}{25259}a^{5}+\frac{12295}{25259}a^{4}-\frac{9462}{25259}a^{3}+\frac{8154}{25259}a^{2}-\frac{4751}{25259}a-\frac{11}{67}$, $\frac{1}{328367}a^{19}-\frac{2}{328367}a^{18}-\frac{4}{328367}a^{17}-\frac{5}{328367}a^{16}-\frac{315}{328367}a^{15}-\frac{9}{328367}a^{14}+\frac{10693}{328367}a^{13}+\frac{10392}{328367}a^{12}-\frac{18384}{328367}a^{11}+\frac{35262}{328367}a^{10}+\frac{19014}{328367}a^{9}+\frac{51092}{328367}a^{8}+\frac{99716}{328367}a^{7}-\frac{121725}{328367}a^{6}-\frac{63412}{328367}a^{5}-\frac{34192}{328367}a^{4}+\frac{79441}{328367}a^{3}+\frac{79285}{328367}a^{2}+\frac{8917}{25259}a-\frac{12}{67}$, $\frac{1}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!08}{29\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{80\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{82\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!31}{67\!\cdots\!57}a-\frac{57\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!41}$

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$13$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$20$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{50\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{95\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!02}{67\!\cdots\!57}a+\frac{46\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{26\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!13}{67\!\cdots\!57}a+\frac{65\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{83\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!89}a-\frac{75\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{36\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!53}{67\!\cdots\!57}a-\frac{48\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{42\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{91\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!76}{51\!\cdots\!89}a-\frac{73\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!71}{67\!\cdots\!57}a+\frac{12\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{26\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!43}{67\!\cdots\!57}a+\frac{16\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{10\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!89}a+\frac{24\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{40\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!54}{37\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!54}{67\!\cdots\!57}a+\frac{91\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{71\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!58}{25\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!90}{67\!\cdots\!57}a+\frac{98\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{10\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{86\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!60}{67\!\cdots\!57}a+\frac{24\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{69\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!89}a+\frac{16\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{81\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!33}a-\frac{32\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{57\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!98}{29\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!78}{67\!\cdots\!57}a+\frac{11\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{52\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{69\!\cdots\!53}{67\!\cdots\!57}a+\frac{74\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{55\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{76\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!04}{67\!\cdots\!57}a+\frac{90\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{37\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{94\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!13}{67\!\cdots\!57}a-\frac{62\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!58}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{85\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!26}{67\!\cdots\!57}a+\frac{14\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{48\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{65\!\cdots\!16}{67\!\cdots\!57}a-\frac{35\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{88\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{88\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!54}{67\!\cdots\!57}a-\frac{79\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!41}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 262575512314938100000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 262575512314938100000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{30594398325772002447442992111668517593745691297844401}}\cr\approx \mathstrut & 1.57410310808666 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

A cyclic group of order 21

The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$

Character table for $C_{21}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.177241.1, 7.7.5567914722008521.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$21$	$21$	$21$	${\href{/padicField/7.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	${\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }^{21}$	$21$	${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	${\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{21}$	$21$	${\href{/padicField/37.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	$21$	${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{3}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(421\)		Deg $21$	$21$	$1$	$20$