Number field 21.21.2972491714150324080426899160865869074720055489.2

• Label: 21.21.297...489.2
• Degree: $21$
• Signature: $[21, 0]$
• Discriminant: $2.972\times 10^{45}$
• Root discriminant: \(146.35\)
• Ramified primes: $3,7$
• Class number: $3$ (GRH)
• Class group: [3] (GRH)
• Galois group: $C_{21}$ (as 21T1)

Normalized defining polynomial

x^21 - 126*x^19 - 63*x^18 + 6174*x^17 + 5145*x^16 - 151263*x^15 - 153909*x^14 + 2036391*x^13 + 2323482*x^12 - 15568182*x^11 - 19772382*x^10 + 67561690*x^9 + 96070968*x^8 - 159797400*x^7 - 258336281*x^6 + 184053996*x^5 + 356224953*x^4 - 78664992*x^3 - 218834343*x^2 + 6835059*x + 48473999

Invariants

Degree:		$21$
Signature:		$[21, 0]$
Discriminant:		\(2972491714150324080426899160865869074720055489\) \(\medspace = 3^{28}\cdot 7^{38}\)
Root discriminant:		\(146.35\)
Galois root discriminant:		$3^{4/3}7^{38/21}\approx 146.3479683340138$
Ramified primes:		\(3\), \(7\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$21$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(441=3^{2}\cdot 7^{2}\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{441}(256,·)$, $\chi_{441}(1,·)$, $\chi_{441}(130,·)$, $\chi_{441}(67,·)$, $\chi_{441}(4,·)$, $\chi_{441}(193,·)$, $\chi_{441}(64,·)$, $\chi_{441}(394,·)$, $\chi_{441}(331,·)$, $\chi_{441}(268,·)$, $\chi_{441}(205,·)$, $\chi_{441}(142,·)$, $\chi_{441}(79,·)$, $\chi_{441}(16,·)$, $\chi_{441}(319,·)$, $\chi_{441}(190,·)$, $\chi_{441}(379,·)$, $\chi_{441}(316,·)$, $\chi_{441}(253,·)$, $\chi_{441}(382,·)$, $\chi_{441}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!99}a-\frac{43\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!07}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$20$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{74\!\cdots\!86}{76\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!22}{76\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!47}{76\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{86\!\cdots\!76}{76\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!50}{76\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!54}{76\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!33}{76\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!13}{76\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!18}{76\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!66}{76\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!14}{76\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!85}{76\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!26}{76\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!10}{76\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!16}{76\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!43}{76\!\cdots\!67}a+\frac{35\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!31}$, $\frac{41\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!91}{76\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!12}{76\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!76}{76\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!92}{76\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{99\!\cdots\!65}{76\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!77}{76\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{83\!\cdots\!75}{76\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!40}{76\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!55}{76\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!04}{76\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!32}{76\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!09}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!73}{76\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{99\!\cdots\!41}{76\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!60}{76\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!54}{76\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!33}{76\!\cdots\!67}a+\frac{23\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!31}$, $\frac{59\!\cdots\!40}{76\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!68}{76\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{73\!\cdots\!73}{76\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!36}{76\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!25}{76\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!78}{76\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!20}{76\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{86\!\cdots\!27}{76\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!45}{76\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!14}{76\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!92}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!84}{76\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!01}{76\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!96}{76\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!03}{76\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!67}a+\frac{27\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!31}$, $\frac{21\!\cdots\!29}{76\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!17}{76\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!64}{76\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!05}{76\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!26}{76\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!56}{76\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!23}{76\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!83}{76\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!85}{76\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!36}{76\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!16}{76\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!99}{76\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!38}{76\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!57}{76\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!67}a+\frac{10\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!31}$, $\frac{44\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!55}{76\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!43}{76\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!53}{76\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!79}{76\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!94}{76\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!17}{76\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!96}{76\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!35}{76\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!24}{76\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!71}{76\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{76\!\cdots\!65}{76\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!50}{76\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!76}{76\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{71\!\cdots\!08}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!26}{76\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{95\!\cdots\!67}{76\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!76}{76\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!34}{76\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!67}a+\frac{21\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!31}$, $\frac{25\!\cdots\!12}{76\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!14}{76\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!17}{76\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!22}{76\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!88}{76\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!58}{76\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!03}{76\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!57}{76\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!96}{76\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!74}{76\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!09}{76\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!20}{76\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!82}{76\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!85}{76\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!93}{76\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!67}a+\frac{12\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!31}$, $\frac{61\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!52}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!99}a+\frac{30\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{31\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!35}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!99}a+\frac{14\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{60\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{87\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!25}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!99}a+\frac{29\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{12\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!91}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!99}a+\frac{65\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{17\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!45}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!99}a+\frac{89\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{15\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!11}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!99}a+\frac{78\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{14\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!49}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!99}a+\frac{72\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{81\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!11}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!99}a+\frac{39\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{96\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!20}{66\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!93}{66\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!58}{66\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!94}{66\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!48}{66\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!36}{66\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!39}{66\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!80}{66\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{80\!\cdots\!28}{33\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!51}{66\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!68}{66\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!84}{66\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!19}{66\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!15}{66\!\cdots\!09}a+\frac{33\!\cdots\!49}{66\!\cdots\!09}$, $\frac{98\!\cdots\!76}{66\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!94}{66\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!69}{66\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!54}{66\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!28}{66\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!50}{66\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!72}{66\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!55}{66\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!94}{66\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!82}{66\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!65}{66\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!09}{66\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!95}{66\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!11}{66\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!32}{33\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!57}{66\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!61}{66\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!78}{66\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!09}{66\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!04}{66\!\cdots\!09}a+\frac{35\!\cdots\!99}{66\!\cdots\!09}$, $\frac{19\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!99}a+\frac{10\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{32\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!55}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!99}a+\frac{15\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{58\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!83}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{80\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!99}a+\frac{28\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!07}$, $\frac{52\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!78}{76\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!72}{76\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!05}{76\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!97}{76\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!55}{76\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!97}{76\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!38}{76\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!58}{76\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!30}{76\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!47}{76\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!77}{76\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!56}{76\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!54}{76\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!18}{76\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!18}{76\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!25}{76\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!67}a+\frac{26\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!31}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 2623927281262563.0 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 2623927281262563.0 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{2972491714150324080426899160865869074720055489}}\cr\approx \mathstrut & 0.151395384961757 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

A cyclic group of order 21

The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$

Character table for $C_{21}$

Intermediate fields

3.3.3969.2, 7.7.13841287201.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$21$	R	${\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }^{3}$	R	${\href{/padicField/11.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	$21$	${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{7}$	${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{7}$	$21$	$21$	$21$	$21$	$21$	$21$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $21$	$3$	$7$	$28$
\(7\)		Deg $21$	$21$	$1$	$38$