Number field 21.21.10684747015052975538074582285998174444374188961.2

• Label: 21.21.106...961.2
• Degree: $21$
• Signature: $[21, 0]$
• Discriminant: $1.068\times 10^{46}$
• Root discriminant: \(155.54\)
• Ramified primes: $3,43$
• Class number: $3$ (GRH)
• Class group: [3] (GRH)
• Galois group: $C_{21}$ (as 21T1)

Normalized defining polynomial

x^21 - 129*x^19 - 86*x^18 + 6579*x^17 + 7998*x^16 - 169635*x^15 - 279414*x^14 + 2373600*x^13 + 4785298*x^12 - 17868564*x^11 - 43218999*x^10 + 64742219*x^9 + 202286448*x^8 - 64709754*x^7 - 440981770*x^6 - 148287951*x^5 + 334614390*x^4 + 261995044*x^3 + 27998289*x^2 - 12075690*x + 521117

Invariants

Degree:		$21$
Signature:		$[21, 0]$
Discriminant:		\(10684747015052975538074582285998174444374188961\) \(\medspace = 3^{28}\cdot 43^{20}\)
Root discriminant:		\(155.54\)
Galois root discriminant:		$3^{4/3}43^{20/21}\approx 155.5413687430282$
Ramified primes:		\(3\), \(43\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$21$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(387=3^{2}\cdot 43\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{387}(64,·)$, $\chi_{387}(1,·)$, $\chi_{387}(67,·)$, $\chi_{387}(262,·)$, $\chi_{387}(139,·)$, $\chi_{387}(142,·)$, $\chi_{387}(79,·)$, $\chi_{387}(145,·)$, $\chi_{387}(25,·)$, $\chi_{387}(31,·)$, $\chi_{387}(226,·)$, $\chi_{387}(187,·)$, $\chi_{387}(358,·)$, $\chi_{387}(40,·)$, $\chi_{387}(238,·)$, $\chi_{387}(49,·)$, $\chi_{387}(52,·)$, $\chi_{387}(379,·)$, $\chi_{387}(232,·)$, $\chi_{387}(382,·)$, $\chi_{387}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{13}+\frac{2}{7}a^{12}+\frac{2}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{5}-\frac{2}{7}a^{4}+\frac{3}{7}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}-\frac{2}{7}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{16}+\frac{1}{7}a^{14}+\frac{2}{7}a^{13}+\frac{2}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{10}+\frac{3}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}+\frac{3}{7}a^{4}-\frac{3}{7}a^{3}-\frac{2}{7}a^{2}+\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{17}+\frac{2}{7}a^{14}-\frac{1}{7}a^{13}-\frac{1}{7}a^{11}-\frac{2}{7}a^{10}+\frac{1}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{7}-\frac{2}{7}a^{6}-\frac{1}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}+\frac{2}{7}a-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{18}-\frac{1}{7}a^{14}-\frac{2}{7}a^{13}+\frac{2}{7}a^{12}-\frac{2}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{2}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{8}-\frac{2}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}+\frac{1}{7}a^{2}+\frac{3}{7}a-\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{19}-\frac{2}{7}a^{14}+\frac{3}{7}a^{13}-\frac{3}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{2}{7}a^{9}-\frac{2}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{5}+\frac{3}{7}a^{4}-\frac{3}{7}a^{3}+\frac{3}{7}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!03}a-\frac{35\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!37}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$20$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{84\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!24}{49\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!12}{49\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!84}{49\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!21}a-\frac{10\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!59}$, $\frac{20\!\cdots\!34}{49\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{96\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!88}{49\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{83\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!73}{49\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!21}a+\frac{26\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!59}$, $\frac{28\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!65}{49\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!10}{49\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!15}{49\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!21}a-\frac{40\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!59}$, $\frac{38\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!45}{49\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!11}{49\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!21}a+\frac{29\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!59}$, $\frac{15\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!38}{49\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!06}{49\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!21}a+\frac{98\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!59}$, $\frac{60\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!84}{49\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!61}{49\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!32}{34\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{77\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!02}{49\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!21}a+\frac{27\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!59}$, $\frac{17\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!03}a+\frac{72\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!03}a+\frac{47\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{33\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{85\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!03}a+\frac{26\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{85\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!03}a+\frac{29\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{27\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{99\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!03}a-\frac{40\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!03}a+\frac{25\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{65\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!03}a-\frac{57\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!91}$, $\frac{26\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!03}a+\frac{19\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{20\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!03}a-\frac{10\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!03}a+\frac{11\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{30\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{97\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!03}a-\frac{23\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{15\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!03}a-\frac{11\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{20\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!03}a+\frac{60\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!37}$, $\frac{98\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!03}a+\frac{25\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!37}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 3551271732999900.0 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 3551271732999900.0 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{10684747015052975538074582285998174444374188961}}\cr\approx \mathstrut & 0.108074429246782 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{21}$ (as 21T1):

A cyclic group of order 21

The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$

Character table for $C_{21}$

Intermediate fields

3.3.149769.2, 7.7.6321363049.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$21$	R	$21$	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{7}$	$21$	${\href{/padicField/13.7.0.1}{7} }^{3}$	$21$	$21$	$21$	$21$	$21$	${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{7}$	$21$	R	$21$	$21$	$21$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $21$	$3$	$7$	$28$
\(43\)	43.21.20.8	$x^{21} + 301$	$21$	$1$	$20$	$C_{21}$	$[\ ]_{21}$