Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 273*x^19 - 574*x^18 + 28462*x^17 + 108276*x^16 - 1365336*x^15 - 7387297*x^14 + 29273335*x^13 + 236399408*x^12 - 136995908*x^11 - 3677713942*x^10 - 4292878786*x^9 + 24629746463*x^8 + 60756994317*x^7 - 36501637424*x^6 - 239196844705*x^5 - 155322145538*x^4 + 236480949201*x^3 + 369969955635*x^2 + 170427535873*x + 24521880853)
gp: K = bnfinit(y^21 - 273*y^19 - 574*y^18 + 28462*y^17 + 108276*y^16 - 1365336*y^15 - 7387297*y^14 + 29273335*y^13 + 236399408*y^12 - 136995908*y^11 - 3677713942*y^10 - 4292878786*y^9 + 24629746463*y^8 + 60756994317*y^7 - 36501637424*y^6 - 239196844705*y^5 - 155322145538*y^4 + 236480949201*y^3 + 369969955635*y^2 + 170427535873*y + 24521880853, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 273*x^19 - 574*x^18 + 28462*x^17 + 108276*x^16 - 1365336*x^15 - 7387297*x^14 + 29273335*x^13 + 236399408*x^12 - 136995908*x^11 - 3677713942*x^10 - 4292878786*x^9 + 24629746463*x^8 + 60756994317*x^7 - 36501637424*x^6 - 239196844705*x^5 - 155322145538*x^4 + 236480949201*x^3 + 369969955635*x^2 + 170427535873*x + 24521880853);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 273*x^19 - 574*x^18 + 28462*x^17 + 108276*x^16 - 1365336*x^15 - 7387297*x^14 + 29273335*x^13 + 236399408*x^12 - 136995908*x^11 - 3677713942*x^10 - 4292878786*x^9 + 24629746463*x^8 + 60756994317*x^7 - 36501637424*x^6 - 239196844705*x^5 - 155322145538*x^4 + 236480949201*x^3 + 369969955635*x^2 + 170427535873*x + 24521880853)
\( x^{21} - 273 x^{19} - 574 x^{18} + 28462 x^{17} + 108276 x^{16} - 1365336 x^{15} - 7387297 x^{14} + \cdots + 24521880853 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(103818783062189717738091671292152377422379176428329\)
\(\medspace = 7^{38}\cdot 19^{14}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(240.84\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{38/21}19^{2/3}\approx 240.83933835506394$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(931=7^{2}\cdot 19\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{931}(1,·)$, $\chi_{931}(900,·)$, $\chi_{931}(134,·)$, $\chi_{931}(267,·)$, $\chi_{931}(400,·)$, $\chi_{931}(533,·)$, $\chi_{931}(666,·)$, $\chi_{931}(30,·)$, $\chi_{931}(799,·)$, $\chi_{931}(163,·)$, $\chi_{931}(102,·)$, $\chi_{931}(296,·)$, $\chi_{931}(235,·)$, $\chi_{931}(429,·)$, $\chi_{931}(368,·)$, $\chi_{931}(562,·)$, $\chi_{931}(501,·)$, $\chi_{931}(695,·)$, $\chi_{931}(634,·)$, $\chi_{931}(828,·)$, $\chi_{931}(767,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{19}a^{18}+\frac{8}{19}a^{17}+\frac{4}{19}a^{16}-\frac{9}{19}a^{15}+\frac{6}{19}a^{13}+\frac{8}{19}a^{12}-\frac{9}{19}a^{11}-\frac{1}{19}a^{10}-\frac{5}{19}a^{9}+\frac{8}{19}a^{8}+\frac{5}{19}a^{7}+\frac{4}{19}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}-\frac{9}{19}a^{4}+\frac{6}{19}a^{3}+\frac{6}{19}a^{2}+\frac{6}{19}a+\frac{8}{19}$, $\frac{1}{2040956839}a^{19}+\frac{46717285}{2040956839}a^{18}-\frac{952954412}{2040956839}a^{17}-\frac{401982188}{2040956839}a^{16}+\frac{105929323}{2040956839}a^{15}+\frac{879552091}{2040956839}a^{14}+\frac{988227083}{2040956839}a^{13}-\frac{451830014}{2040956839}a^{12}-\frac{146695039}{2040956839}a^{11}+\frac{297287503}{2040956839}a^{10}+\frac{400953640}{2040956839}a^{9}+\frac{680907440}{2040956839}a^{8}+\frac{2990423}{6965723}a^{7}+\frac{974307257}{2040956839}a^{6}+\frac{899090215}{2040956839}a^{5}-\frac{982781938}{2040956839}a^{4}+\frac{105530667}{2040956839}a^{3}-\frac{179120189}{2040956839}a^{2}+\frac{139674087}{2040956839}a+\frac{89443629}{2040956839}$, $\frac{1}{28\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{86\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{86\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!61}a-\frac{95\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!61}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{98\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!03}a+\frac{14\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!03}$, $\frac{18\!\cdots\!82}{32\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!03}a+\frac{13\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!03}$, $\frac{16\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!15}{32\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!03}a+\frac{66\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!03}$, $\frac{48\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{77\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!03}a+\frac{33\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!03}$, $\frac{54\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!22}{32\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!03}a-\frac{57\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!03}$, $\frac{23\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!51}{32\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!10}{32\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!60}{32\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!03}a+\frac{13\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!03}$, $\frac{42\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!80}{58\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!61}a+\frac{12\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{11\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{78\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!61}a+\frac{28\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{25\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!67}a+\frac{26\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{52\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{93\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!67}a+\frac{15\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!67}$, $\frac{26\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{99\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{78\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!61}a+\frac{48\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{14\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{85\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!32}{58\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!61}a+\frac{12\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{15\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!88}{98\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{55\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!61}a-\frac{32\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{57\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!61}a+\frac{87\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{61\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!61}a+\frac{29\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{29\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{99\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!17}{58\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!61}a+\frac{11\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!19}$, $\frac{77\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{88\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!61}a+\frac{88\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{15\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{73\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!61}a-\frac{23\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!13}$, $\frac{15\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{92\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!61}a+\frac{13\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!61}$, $\frac{59\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!61}a+\frac{26\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!61}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 644113238376879900 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 644113238376879900 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{103818783062189717738091671292152377422379176428329}}\cr\approx \mathstrut & 0.198859080200619 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 273*x^19 - 574*x^18 + 28462*x^17 + 108276*x^16 - 1365336*x^15 - 7387297*x^14 + 29273335*x^13 + 236399408*x^12 - 136995908*x^11 - 3677713942*x^10 - 4292878786*x^9 + 24629746463*x^8 + 60756994317*x^7 - 36501637424*x^6 - 239196844705*x^5 - 155322145538*x^4 + 236480949201*x^3 + 369969955635*x^2 + 170427535873*x + 24521880853)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 273*x^19 - 574*x^18 + 28462*x^17 + 108276*x^16 - 1365336*x^15 - 7387297*x^14 + 29273335*x^13 + 236399408*x^12 - 136995908*x^11 - 3677713942*x^10 - 4292878786*x^9 + 24629746463*x^8 + 60756994317*x^7 - 36501637424*x^6 - 239196844705*x^5 - 155322145538*x^4 + 236480949201*x^3 + 369969955635*x^2 + 170427535873*x + 24521880853, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 273*x^19 - 574*x^18 + 28462*x^17 + 108276*x^16 - 1365336*x^15 - 7387297*x^14 + 29273335*x^13 + 236399408*x^12 - 136995908*x^11 - 3677713942*x^10 - 4292878786*x^9 + 24629746463*x^8 + 60756994317*x^7 - 36501637424*x^6 - 239196844705*x^5 - 155322145538*x^4 + 236480949201*x^3 + 369969955635*x^2 + 170427535873*x + 24521880853);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 273*x^19 - 574*x^18 + 28462*x^17 + 108276*x^16 - 1365336*x^15 - 7387297*x^14 + 29273335*x^13 + 236399408*x^12 - 136995908*x^11 - 3677713942*x^10 - 4292878786*x^9 + 24629746463*x^8 + 60756994317*x^7 - 36501637424*x^6 - 239196844705*x^5 - 155322145538*x^4 + 236480949201*x^3 + 369969955635*x^2 + 170427535873*x + 24521880853);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ is not computed |
Intermediate fields
| 3.3.17689.1, 7.7.13841287201.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | ${\href{/padicField/3.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | R | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{3}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| Deg $21$ | $21$ | $1$ | $38$ | |||
|
\(19\)
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |