Properties

Label 20.20.791...209.1
Degree $20$
Signature $[20, 0]$
Discriminant $7.920\times 10^{34}$
Root discriminant \(55.58\)
Ramified primes $19,293$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_2\times A_5$ (as 20T31)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 45*x^18 - 12*x^17 + 851*x^16 + 407*x^15 - 8787*x^14 - 5526*x^13 + 54107*x^12 + 38628*x^11 - 204919*x^10 - 149409*x^9 + 477144*x^8 + 320340*x^7 - 658303*x^6 - 352394*x^5 + 484524*x^4 + 150931*x^3 - 142212*x^2 + 2654*x + 3877)
 
gp: K = bnfinit(y^20 - 45*y^18 - 12*y^17 + 851*y^16 + 407*y^15 - 8787*y^14 - 5526*y^13 + 54107*y^12 + 38628*y^11 - 204919*y^10 - 149409*y^9 + 477144*y^8 + 320340*y^7 - 658303*y^6 - 352394*y^5 + 484524*y^4 + 150931*y^3 - 142212*y^2 + 2654*y + 3877, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - 45*x^18 - 12*x^17 + 851*x^16 + 407*x^15 - 8787*x^14 - 5526*x^13 + 54107*x^12 + 38628*x^11 - 204919*x^10 - 149409*x^9 + 477144*x^8 + 320340*x^7 - 658303*x^6 - 352394*x^5 + 484524*x^4 + 150931*x^3 - 142212*x^2 + 2654*x + 3877);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 45*x^18 - 12*x^17 + 851*x^16 + 407*x^15 - 8787*x^14 - 5526*x^13 + 54107*x^12 + 38628*x^11 - 204919*x^10 - 149409*x^9 + 477144*x^8 + 320340*x^7 - 658303*x^6 - 352394*x^5 + 484524*x^4 + 150931*x^3 - 142212*x^2 + 2654*x + 3877)
 

\( x^{20} - 45 x^{18} - 12 x^{17} + 851 x^{16} + 407 x^{15} - 8787 x^{14} - 5526 x^{13} + 54107 x^{12} + 38628 x^{11} - 204919 x^{10} - 149409 x^{9} + 477144 x^{8} + 320340 x^{7} + \cdots + 3877 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $20$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[20, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(79196321710980185081864322433061209\) \(\medspace = 19^{8}\cdot 293^{10}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(55.58\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Ramified primes:   \(19\), \(293\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:  $2$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!30}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!68}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{93\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!68}{85\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!75}{85\!\cdots\!23}a-\frac{15\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!23}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $19$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{61\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!89}a+\frac{13\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{14\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{94\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!89}a+\frac{27\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{13\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!89}a+\frac{26\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{16\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{96\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!89}a+\frac{37\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{22\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!95}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!75}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{81\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!00}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!73}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!23}a+\frac{41\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{22\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{93\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!89}a+\frac{42\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{12\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!40}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{90\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{80\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!95}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!42}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!18}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!73}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!23}a+\frac{22\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{56\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!71}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!21}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!58}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{96\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!87}{85\!\cdots\!23}a+\frac{10\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{59\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!95}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!00}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{66\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!70}{85\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{92\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{76\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!16}{85\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!23}a-\frac{89\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{25\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!15}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!23}a+\frac{63\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{65\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{93\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{92\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!89}a+\frac{39\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{72\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{53\!\cdots\!60}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!59}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!68}{85\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!06}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!93}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!73}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{86\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!23}a+\frac{69\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{58\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!90}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!16}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!23}a+\frac{10\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{16\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!25}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!40}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!00}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!00}{85\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!23}a+\frac{18\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{97\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!90}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!71}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!93}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!11}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{72\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!23}a+\frac{19\!\cdots\!11}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{31\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!00}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!60}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!71}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!58}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!56}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!53}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!23}a+\frac{51\!\cdots\!21}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{44\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!40}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!66}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!60}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!24}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!23}a+\frac{91\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{11\!\cdots\!98}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!42}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{88\!\cdots\!15}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!25}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!58}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!68}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!16}{85\!\cdots\!23}a+\frac{22\!\cdots\!75}{85\!\cdots\!23}$, $\frac{81\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!58}{85\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!06}{85\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!71}{85\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!23}a+\frac{14\!\cdots\!95}{85\!\cdots\!23}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 96962157521.7 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{20}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 96962157521.7 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{79196321710980185081864322433061209}}\cr\approx \mathstrut & 0.180642394969 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 45*x^18 - 12*x^17 + 851*x^16 + 407*x^15 - 8787*x^14 - 5526*x^13 + 54107*x^12 + 38628*x^11 - 204919*x^10 - 149409*x^9 + 477144*x^8 + 320340*x^7 - 658303*x^6 - 352394*x^5 + 484524*x^4 + 150931*x^3 - 142212*x^2 + 2654*x + 3877)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^20 - 45*x^18 - 12*x^17 + 851*x^16 + 407*x^15 - 8787*x^14 - 5526*x^13 + 54107*x^12 + 38628*x^11 - 204919*x^10 - 149409*x^9 + 477144*x^8 + 320340*x^7 - 658303*x^6 - 352394*x^5 + 484524*x^4 + 150931*x^3 - 142212*x^2 + 2654*x + 3877, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - 45*x^18 - 12*x^17 + 851*x^16 + 407*x^15 - 8787*x^14 - 5526*x^13 + 54107*x^12 + 38628*x^11 - 204919*x^10 - 149409*x^9 + 477144*x^8 + 320340*x^7 - 658303*x^6 - 352394*x^5 + 484524*x^4 + 150931*x^3 - 142212*x^2 + 2654*x + 3877);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 45*x^18 - 12*x^17 + 851*x^16 + 407*x^15 - 8787*x^14 - 5526*x^13 + 54107*x^12 + 38628*x^11 - 204919*x^10 - 149409*x^9 + 477144*x^8 + 320340*x^7 - 658303*x^6 - 352394*x^5 + 484524*x^4 + 150931*x^3 - 142212*x^2 + 2654*x + 3877);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_2\times A_5$ (as 20T31):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A non-solvable group of order 120
The 10 conjugacy class representatives for $C_2\times A_5$
Character table for $C_2\times A_5$

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{293}) \), 10.10.960472390437121.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Sibling fields

Degree 10 sibling: data not computed
Degree 12 siblings: data not computed
Degree 20 sibling: data not computed
Degree 24 sibling: data not computed
Degree 30 siblings: data not computed
Degree 40 sibling: data not computed
Minimal sibling: 10.10.281418410398076453.1

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type ${\href{/padicField/2.10.0.1}{10} }^{2}$ ${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }^{2}$ ${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }^{2}$ ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }$ ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }$ ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{2}$ ${\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{4}$ R ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }$ ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }$ ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{2}$ ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{2}$ ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(19\) Copy content Toggle raw display 19.2.0.1$x^{2} + 18 x + 2$$1$$2$$0$$C_2$$[\ ]^{2}$
19.2.0.1$x^{2} + 18 x + 2$$1$$2$$0$$C_2$$[\ ]^{2}$
19.4.2.1$x^{4} + 36 x^{3} + 366 x^{2} + 756 x + 6445$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
19.4.2.1$x^{4} + 36 x^{3} + 366 x^{2} + 756 x + 6445$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
19.4.2.1$x^{4} + 36 x^{3} + 366 x^{2} + 756 x + 6445$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
19.4.2.1$x^{4} + 36 x^{3} + 366 x^{2} + 756 x + 6445$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
\(293\) Copy content Toggle raw display Deg $2$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$
Deg $2$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$
Deg $4$$2$$2$$2$
Deg $4$$2$$2$$2$
Deg $4$$2$$2$$2$
Deg $4$$2$$2$$2$